劉玉歡

(華北電力大學數(shù)理學院，北京 102206)

五階Korteweg-deVries-Burgers方程的整體適定性*

劉玉歡

(華北電力大學數(shù)理學院，北京 102206)

研究五階Korteweg-de Vries-Burgers方程(ut+uxxxxx+|?x|2αu+(u2)x=0，u(0)=φ)的柯西問題，這里0<α≤2，并且u是實值的函數(shù).利用Bourgain空間理論和[k;Z]-乘子的方法證明了五階KdV-B方程在Hs(s>sα)的整體適定性,這里sα=-7/4(0<α≤3/2)，sα=-1-α/2(3/2<α≤2).

五階KdV-B方程；局部適定性；整體適定性

研究五階KdV-B方程

ut+uxxxxx+|?x|2αu+(u2)x=0u(0)=φ

(1)

的柯西問題.這里：0<α≤2；u是實值的函數(shù)；(x,t)∈R×R+.該方程研究的物理背景是：當耗散效應(yīng)發(fā)生時，弱非線性色散長波在某些物理介質(zhì)中的傳播.類似的問題有，經(jīng)典的KdV方程

ut+uxxx+(u2)x=0，

(2)

三階KdV-B方程

ut+uxxx+|?x|2αu+(u2)x=0，

(3)

和五階KdV方程

ut+uxxxxx+(u2)x=0.

(4)

這些方程的適定性已有學者進行了深入的研究.對于方程(2)，文獻[1]中用Bourgain空間理論，證明了它在Hs(s>-3/4)的局部適定性，關(guān)于它的整體適定性可參看文獻[2].對于方程(3)，文獻[3]中用Bourgain空間理論，文獻[4]中用Bourgain空間理論和[k;Z]-乘子方法,證明了它在Hs(s>sα)的整體適定性問題，這里sα=-3/4(0<α≤1/2)，sα=3/(2α-5)(1/2<α≤1).對于方程(4)，文獻[5]中用Bourgain空間理論和[k;Z]-乘子方法得到了它在Hs(s>-7/4)的整體適定性.對于現(xiàn)要研究的問題(1)，也能用類似的方法來證明，因此可得到如下結(jié)論:

現(xiàn)在的困難在于方程(1)的導(dǎo)數(shù)階數(shù)高，色散關(guān)系代數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，這在研究中會帶來一定的麻煩.

1 概念和定義

用Fx來表示f關(guān)于空間變量的傅里葉變換，為了簡單方便，仍用F來表示f關(guān)于空間變量的傅里葉變換.Z和N分別用來表示整數(shù)集和自然數(shù)集.對于?k∈Z+=N∪{0},記

Ik={ξ:|ξ|∈[2k-1,2k+1]}k≥1,I0={ξ:|ξ|≤2}.

令η0:R→[0,1]是在[-8/5,8/5]上的一個光滑函數(shù)且在[-5/4,5/4]上為1.對于?k∈N,令ηk(ξ)=η0(2-kξ)-η0(2-k+1ξ),對于?k∈Z，令χk(ξ)=η0(2-kξ)-η0(2-k+1ξ).一般而言，{χk}k∈Z是齊次的二進制分解函數(shù)序列，{ηk}k∈Z+是非齊次的二進制分解函數(shù)序列.經(jīng)典的KdV方程(2)所使用的空間Xb,s是標準的Bourgain空間[1].為了研究方程(1)的適定性，文獻[3]中引進了Bourgain空間的變形空間，該空間的范數(shù)記為

‖u‖Xb,s,α=‖i(τ+ξ5)+|ξ|2αb‖L2(R2),

2 五階KdV-B方程的局部適定性和整體適定性

這一節(jié)中，主要對五階KdV-B方程的積分形式

(5)

定理2 若sα=-7/4(0<α≤3/2)，sα=-1-α/2(3/2<α≤2)，s∈(sα,0]，0<δ?1，則存在Cs,α>0，使得對于?u,v∈S，均有

‖?x(uv)‖X-1/2+δ,s,α≤Cs,α‖u‖X1/2,s,α‖v‖X1/2,s,α.

(6)

(7)

這里的c以及下面的c只是代表一個常數(shù)，并非表示同一值,并且記

Dk,j={(ξ,τ):|ξ|∈[2k-1,2k+1],|τ+ξ5|∈Ij}uk1,j1=χk1(ξ)ηj1(τ+ξ5)u.

這就將對(6)式的證明轉(zhuǎn)化為對(7)式的證明.而(7)式中

(8)

的估計已由下面的引理1給出，所以在證明(7)式的過程中主要是對

下面的主要任務(wù)就是證明：

(9)

(10)

引理1[5]H,N1,N2,N3,L1,L2,L3滿足：

(ⅰ) 若Nmax～Nmin并且Lmax～H，則

(11)

(ⅱ) 若N1～N2?N3并且H～L3≥L1,H～L3≥L2，則

(12)

對于類似的情況，(12)式仍成立.

(ⅲ 對于除(ⅰ)(ⅱ)以外的其他情況，

(13)

下面分情況來討論(9)和(10)式的證明.

先來估計(9)式.因為有N3N3sN1-sN2-s≤NNmin-s+N-2sNminNmins成立，所以可得到

這里要求-2

對(10)式的估計，要比對(9)式的估計復(fù)雜得多.首先假設(shè)(11)式成立，于是有

這里要求-9/4-α/2

若(13)式成立，則得到

這里要求-2

若(12)式成立，則可分為下面3種情況來證明：

N2～N3?N1,L1≥L2,L3；

(14)

N1～N3?N2,L2≥L1,L3；

(15)

N1～N2?N3,L3≥L1,L2.

(16)

先證明(14)式，有

先來估計Ⅰ.

這里要求-7/2

這里要求-7/2

根據(jù)對稱性可知，(15)式的證明類似于(14)式,因此就不再對(15)式進行詳細的證明.下面證明(16)式.

先來估計Ⅰ.

下面分2種情形來討論Ⅰ.當0<α≤3/2時，

這里要求-7/4

這里要求-1-α/2

對于Ⅱ，有

下面也分2種情形來討論Ⅱ.當0<α≤3/2時，

這里要求-7/4

這里要求-1-α/2

至此，就完成了對定理2的證明.應(yīng)用定理2得到雙線性估計，再結(jié)合壓縮映射原理就可以得到方程(1)的局部適定性，然后根據(jù)標準的方法[6]，可將局部解延拓到整體.

3 結(jié)語

通過對定理2中非線性估計的證明，再結(jié)合壓縮映像原理，可得到五階KdV-B方程解的局部適定性理論，然后根據(jù)五階KdV-B方程的無窮次光滑性和守恒結(jié)構(gòu)，可以用標準的方法，將解的存在區(qū)間延拓到[0,+]上，從而得到它的整體適定性.

[1] KENIG C,PONE G,VEGA L.A Bilinear Estimate with Applications to the KdV Equation[J].J. Amer. Math. Soc.,1996,9:573-603.

[2] COLLIANDER J,KEEL M,STAFFILANI G,et al.Sharp Global Well-Posedness for KdV and Modified KdV onRandT[J].J. Amer. Math. Soc.,2003,16(3):705-749.

[3] MOLINET L,RIBAUD F.On the Low Regularity of the Korteweg-de Vries-Burgers Equation [J].Internat. Math. Res. Notices,2002,37:1 979-2 005.

[4] GUO Zihua,WANG BAOxiang.Global Well Posedness and Inviscid Limit for the Korteweg-de Vries-Burgers Equation [J].J. Differential Equations,2009,246:3 864-3 901.

[5] CHEN Wengu,GUO Zihua.Global Well Posedness andI-Method for the Fifth-Order Korteweg-de Vries-Burgers Equation [J].J. Anal. Math,2011,114:121-156.

[6] HAN Jinsheng,PENG Lizhong.The Well Posedness of the Dissipative Korteweg-de Vries-Burgers Equations with Low Regularity Data [J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods & Applications,2008,69:171-188.

(責任編輯 向陽潔)

GlobalWell-PosednessfortheFifth-OrderKorteweg-deVries-BurgersEquation

LIU Yuhuan

(Department of Mathematical and Physical Sciences,North China Electric Power University,Beijing 102206,China)

Considering the Cauchy problem for the fifth-order Korteweg-de Vries-Burgers equation

where 0<α≤2 anduis a real-valued function.It is globally well-posed inHs(s>sα) by usingXb,s-theory and [k;Z]-multiplier method,when 0<α≤3/2,sα=-7/4;3/2<α≤2,sα=-1-α/2.

fifth-order KdV-B equation;local well-posedness;global well-posedness

1007-2985(2014)01-0015-05

2013-06-01

中央高?？蒲袠I(yè)務(wù)費資助(12MS79)

劉玉歡(1989-)，女，河北邯鄲人，華北電力大學數(shù)理學院碩士研究生，主要從事偏微分方程研究.

O175.29

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.01.005

ut+uxxxxx+|?x|2αu+(u2)x=0u(0)=φ,