張申貴

(西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,甘肅 蘭州 730030)

一類次線性Hamilton系統(tǒng)的周期解*

張申貴

(西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,甘肅 蘭州 730030)

Hamilton系統(tǒng)是一類比較重要的微分方程模型.利用臨界點(diǎn)理論中的鞍點(diǎn)定理研究非自治Hamilton系統(tǒng)周期解的存在性.在具有次線性增長(zhǎng)非線性項(xiàng)時(shí),給出了相關(guān)周期解存在的充分條件,推廣了Ahmad-Lazer-Paul型強(qiáng)制性條件.

非自治Hamiltonian系統(tǒng);次線性增長(zhǎng)非線性項(xiàng);周期解;臨界點(diǎn)

Hamilton系統(tǒng)廣泛存在于數(shù)理科學(xué)、生命科學(xué)以及社會(huì)科學(xué)的整個(gè)領(lǐng)域,特別是天體力學(xué)、等離子物理、航天科學(xué)以及生物工程中的很多模型都以Hamilton系統(tǒng)(或它的擾動(dòng)系統(tǒng))的形式出現(xiàn),因此對(duì)該系統(tǒng)的研究具有重要的理論和實(shí)際意義.非自治Hamilton系統(tǒng)周期解的存在性一直是人們所關(guān)注的重要問(wèn)題[1-6].

1 問(wèn)題的提出

考慮非自治Hamilton系統(tǒng)

(1)

文獻(xiàn)[2]中假設(shè)存在正常數(shù)M1,M2及0≤α<1,使得

|H(t,u)|≤M1|u|α+M2,

(2)

且H滿足Ahmad-Lazer-Paul型強(qiáng)制性條件

(3)

成立時(shí),得到了非自治Hamiltonian系統(tǒng)周期解的存在性.

文獻(xiàn)[3]在H滿足(2),(3)式時(shí),研究了系統(tǒng)(1)多重周期解的存在性.

定理1 設(shè)H滿足(2)式,且假設(shè)H滿足

(4)

注1 (2)式表明非線性項(xiàng)H(t,u)是次線性增長(zhǎng)的.(3)式推廣了Ahmad-Lazer-Paul型強(qiáng)制性條件,易見在(3)式中極限可以是下方有界的,極限值放寬為].

定理2 設(shè)H滿足(2)式,且假設(shè)H滿足

2 預(yù)備知識(shí)

u,v

‖u‖L2≤C‖u‖ ?u∈X.

(5)

令{e1,e2,...,e2N}是R2N中的典范基,對(duì)于j∈Z,

X(j)=span{sin(jt)el-cos(jt)el+N,cos(jt)el+sin(jt)el+N|1≤l≤N}，

在X上定義泛函φ為

則φ是連續(xù)可微的,且

φ′(u),v=(-J,v)dt-(H(t,u),v)dt=(u+-u-,v)-

從而u是問(wèn)題(1)的解當(dāng)且僅當(dāng)u是φ的臨界點(diǎn).

定義1 設(shè)X為Banach空間,若對(duì)任何點(diǎn)列{un}?X,由{φ(un)}有界,φ′(un)→0,可推得{un}有收斂子列,則稱泛函φ∈C1(X,R)滿足(PS)條件.

(ⅰ) 存在e∈Bρ∩E1和常數(shù)ω>σ,使得φ|e+E2≥ω.

(ⅱ) 存在常數(shù)σ和ρ,使得φ|?Bρ∩E1≤σ.

3 定理的證明

定理1的證明利用引理4來(lái)證明定理1.下面用c表示常量.

第1步證明(PS)條件成立.即指對(duì)任何點(diǎn)列{un}?X,由{φ(un)}有界,φ′(un)→0(n→∞),可推得{un}有收斂子列.下面證明(PS)條件成立,先證{un}在X中有界.

對(duì)?u∈X,有u=u-+u0+u+,其中u-∈X-,u0∈X0,u+∈X+.設(shè){un}?X,使得

|φ(un)|≤c,φ′(un)→0n→∞.

(6)

由(6)式,有

φ′(u),φ=(-J,φ)dt-(H(t,u),φ)dt=o(‖φ‖) ?φ∈X.

(7)

(8)

由(7),(8)式,有

(9)

同理可證

(10)

(11)

由(11)式,并注意到0≤α<1,有

(12)

(13)

(14)

反設(shè){un}在X中有無(wú)界,當(dāng)n→∞時(shí),‖un‖→∞.

由ε的任意性,由(12)式,當(dāng)n→∞時(shí),φ(un)→-∞,這與(6)式矛盾.故{un}在X中有界,由標(biāo)準(zhǔn)討論知φ滿足(PS)條件.

第2步根據(jù)引理4,要證明定理1,僅需證明下面事實(shí):

(ⅱ) 當(dāng)‖u‖→+∞時(shí),φ(u)→-∞，對(duì)u∈X-⊕X0成立.

先證(ⅰ)成立.由(2),(5)式,對(duì)u∈X+,有

由0≤α<1,當(dāng)‖u‖→∞時(shí),有φ(u)→+∞,從而條件(ⅰ)成立.

(15)

由(14),(15)式,有

令ε充分小,由0<α<1,當(dāng)‖u‖→∞時(shí),有φ(u)→-∞,從而條件(ⅱ)成立.

定理2的證明方法與定理1類似,文中不再給出證明.

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(責(zé)任編輯 向陽(yáng)潔)

PeriodicSolutionofaClassofSublinearHamiltonianSystem

ZHANG Shengui

(College of Mathematics and Computer Science,Northwest University for Nationalities,Lanzhou 730030,China)

Hamiltonian System is an important model of differential equation.In this paper,the author investigates the existence of periodic solution for nonautonmous Hamiltonian System with sublinear nonlinearity by saddle point theorem in critical point theory.Some sufficient conditions for the existence of periodic solutions are obtained,and the results improve the Ahmad-Lazer-Paul’s coercive condition.

nonautonmous Hamiltonian system;sublinear nonlinearity;periodic solution;critical point

1007-2985(2014)01-004-04

2013-04-24

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(31260098)；西北民族大學(xué)中青年科研項(xiàng)目(12XB38)

張申貴(1980-)，男,甘肅蘭州人,西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院副教授,主要從事非線性泛函分析研究.

O175.12

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.01.002