何小偉， 吳天行， 王譽(yù)蓉,2

(1.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240；2.寧夏大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，銀川 750021)

孔隙式粘滯流體阻尼器(圖1)通過活塞在充滿流體的缸體內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)將振動(dòng)和沖擊的能量轉(zhuǎn)換為熱能，降低結(jié)構(gòu)在共振頻率附近的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，從而降低結(jié)構(gòu)的局部受力和變形量[1]。通常認(rèn)為粘滯流體不可壓縮[2]，因此不考慮阻尼器的彈性。但實(shí)際上粘滯流體是可壓縮的，所以阻尼器具有彈性，存在附加剛度。尤其當(dāng)流體混入空氣后，阻尼器在小振幅工況下性能將發(fā)生明顯改變。在工程實(shí)際中，阻尼器流體中或多或少會(huì)混入空氣?；煊锌諝獾牧黧w將降低阻尼器效能,其附加剛度可影響振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

圖1 阻尼器示意圖

為了分析流體阻尼器的特性，國內(nèi)外研究人員提出了各種力學(xué)模型，如剛度和阻尼串聯(lián)的Maxwell模型[3]、剛度與阻尼并聯(lián)的Kelvin模型[4]、分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型等[5]。Miyamoto等[6]在試驗(yàn)的基礎(chǔ)上建立了包括眾多元件，適用于特定工況的數(shù)學(xué)模型和程序；Hou等[7]在Kelvin模型的基礎(chǔ)上通過分離測量得到的阻力發(fā)現(xiàn)了阻尼力和剛度力的非線性特點(diǎn)，并根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)提出了剛度力的計(jì)算公式。但已有研究對(duì)流體彈性的影響大多基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)混有空氣的流體阻尼器性能研究得也不夠深入。由于阻尼器的實(shí)際性能對(duì)減振效果和振動(dòng)系統(tǒng)特性有重要影響，所以正確預(yù)測和評(píng)價(jià)混有空氣后流體阻尼器效能和動(dòng)態(tài)特性的改變是非常重要的。

本文從混有空氣的流體非線性阻尼力和非線性彈性力串聯(lián)模型出發(fā)，通過計(jì)算非線性阻尼器的等效線性阻尼和彈性，建立了流體阻尼器的線性并聯(lián)模型；分析了混有空氣的流體阻尼器在不同頻率和位移工況下效能和附加剛度的變化；并通過試驗(yàn)驗(yàn)證了方法和模型的正確性。論文采用的方法和建立的模型可用于預(yù)測混有空氣的孔隙式粘滯流體阻尼器的實(shí)際性能，具有重要的工程實(shí)際價(jià)值。

1 考慮流體彈性的非線性串聯(lián)模型

流體和空氣的可壓縮性使粘滯流體阻尼器附加了與阻尼串聯(lián)的彈簧。阻尼器的力學(xué)模型和運(yùn)動(dòng)過程可用圖2表示，其中彈簧和阻尼都具有非線性。

圖2 阻尼器模型

1.1 非線性串聯(lián)模型的阻尼力

流體流經(jīng)阻尼孔為層流時(shí)阻尼力的計(jì)算式[8-9]如下：

(1)

式中，ρ為流體密度，υc為阻尼孔內(nèi)流體的速度；A3為活塞有效面積π(D2-d2)/4，其中D為活塞直徑，d為活塞桿直徑；Cq為流量系數(shù)，其取值與速度等因素有關(guān)，見參考文獻(xiàn)[8]。由式(1)可見，阻尼力與流量系數(shù)和速度之間的關(guān)系是非線性的。

1.2 非線性串聯(lián)模型的剛度

純流體的壓縮性可用體積彈性模量Ef表示:

(2)

在實(shí)際計(jì)算中，純液壓油的體積彈性模量可取為700 MPa[10]。壓力為p時(shí)混氣流體的體積彈性模量可由下式計(jì)算：

(3)

式中，pa為初始?xì)鈮?，Vg為混入的空氣體積，Vf為純流體體積?；鞖饬黧w與純流體彈性模量的比值隨外界壓力的變化見圖3。

圖3 混入空氣后的流體體積彈性模量

阻尼器串聯(lián)模型中的剛度[11]可按下式計(jì)算：

(4)

式中，L為受壓流體的液柱長度。流體中混入空氣后，E隨外力p而變化，所以剛度k也是動(dòng)態(tài)變化的，并且與活塞位移是非線性關(guān)系。

2 非線性模型的等效線性化

以活塞運(yùn)動(dòng)中心位置為位移零點(diǎn)，建立阻尼器活塞運(yùn)動(dòng)的力學(xué)模型。并假設(shè)：① 不計(jì)活塞的摩擦力和慣性力；② 運(yùn)動(dòng)中流體的溫度不變；③ 運(yùn)動(dòng)中流體的動(dòng)力粘度不變，其值取最大剪切速率下的動(dòng)力粘度。

2.1 非線性模型的數(shù)值計(jì)算方法

對(duì)活塞桿施加周期性位移激勵(lì)，采用數(shù)值方法計(jì)算作用于活塞的阻尼力/彈性力。活塞運(yùn)動(dòng)應(yīng)滿足下列力平衡條件和位移連續(xù)條件：

F=-Fc,Fk=Fc,x=xc+xk

(5)

式中，x、xc、xk分別為作用于活塞的已知位移激勵(lì)、活塞因流體流過阻尼孔導(dǎo)致兩側(cè)腔室體積改變而產(chǎn)生的位移、活塞因流體受壓而產(chǎn)生的彈性位移。xc和xk簡稱為阻尼位移和彈性位移，均為未知量。F、Fc、Fk則分別是作用于活塞的外力、阻尼力和彈性力，也是未知的。因?yàn)槭谴?lián)模型，所以彈性力和阻尼力相等。根據(jù)以上條件可以確定活塞在各個(gè)時(shí)刻的阻尼位移和彈性位移，以及阻尼力和彈性力。

數(shù)值計(jì)算中步長取Δt，激勵(lì)位移、阻尼位移和彈性位移的變化量分別定義為：

Δxi=xi+1-xi, Δxci=xci+1-xci,Δxki=xki+1-xki

(6)

具體計(jì)算步驟如下：

(1)設(shè)初始時(shí)刻t0阻尼位移為0，彈性位移和阻尼力也為0；

(2)ti至ti+1時(shí)刻的激勵(lì)位移變化Δxi為已知，ti時(shí)刻的阻尼力Fci、阻尼孔流體速度υci和剛度ki也已知。設(shè)ti+1時(shí)刻阻尼孔內(nèi)流體速度為υci+1，由式(1)確定ti+1時(shí)刻阻尼力：

(7)

(3)計(jì)算阻尼位移變化Δxci：

Δxci=(υci+υci+1)Δt/2·nA0/A3

(8)

式中n為相同結(jié)構(gòu)的阻尼孔個(gè)數(shù)，A0為單個(gè)阻尼孔面積。

(4)ti+1時(shí)刻的剛度ki+1用式(4)計(jì)算，彈性位移變化Δxki由ti和ti+1時(shí)刻的阻尼力決定，根據(jù)下式計(jì)算：

Fci+1-Fci=(ki+ki+1)Δxki/2

(9)

(5)判斷第i+1輪計(jì)算是否完成的收斂條件為

|Δxci+Δxki-Δxi|≤ε

(10)

式中，ε為很小的正數(shù)，用于控制計(jì)算精度。計(jì)算過程中在±2υmax(υmax為不考慮流體壓縮時(shí)阻尼孔內(nèi)的最大流速)之間搜索ti+1時(shí)刻流體速度υci+1的最優(yōu)值，使收斂條件得到滿足，得到Δxki和Δxci的最終解。完成后繼續(xù)進(jìn)行下一輪計(jì)算。

2.2 等效線性化阻尼cs和剛度ks

在非線性串聯(lián)模型數(shù)值解的基礎(chǔ)上，將非線性模型轉(zhuǎn)換成用等效阻尼和等效剛度表示的線性模型。

按照消耗能量相等原則計(jì)算等效線性阻尼cs。計(jì)算非線性仿真中一個(gè)周期的滯回曲線所包圍的面積，即消耗的能量W。將W用cs表示：csυi表示某一時(shí)間段的阻尼力，這一時(shí)間段內(nèi)的位移為υiΔt，將每一段的阻尼力與位移的乘積相加便等于W，于是等效阻尼cs可表示為：

(11)

(12)

2.3 線性并聯(lián)模型的剛度kp和阻尼cp

由于用串聯(lián)模型不易直觀地分析和判斷彈性力和阻尼力各自對(duì)系統(tǒng)的影響，人們習(xí)慣采用剛度和阻尼并聯(lián)的模型。在等效線性阻尼和等效線性剛度的基礎(chǔ)上，將非線性串聯(lián)模型轉(zhuǎn)化為線性并聯(lián)模型。串聯(lián)模型的位移連續(xù)方程和力平衡方程為：

(13)

式中，x為總位移，xk、xc分別是彈性位移和阻尼位移。Fk和Fc為彈性力和阻尼力。

由式(13)可得頻域中阻尼位移xc的表達(dá)式：

(14)

和外力F的表達(dá)式：

(15)

從而得到線性并聯(lián)模型的剛度和阻尼系數(shù)[12]：

(16)

2.4 混氣流體阻尼器并聯(lián)模型分析

分析混入不同體積空氣時(shí)流體阻尼器線性并聯(lián)模型中kp和cp隨振幅的變化。本文仿真和試驗(yàn)用阻尼器參數(shù)為：油缸內(nèi)徑D=63 mm，活塞桿直徑d=20 mm，行程50 mm，活塞開有兩個(gè)14 mm長的阻尼孔。圖4和圖5表示不同混氣量的流體阻尼器在不同頻率激勵(lì)下其等效并聯(lián)阻尼和剛度與位移振幅的關(guān)系。計(jì)算時(shí)流體動(dòng)力粘度取200 cP，阻尼孔直徑為2 mm。

圖4 3 Hz時(shí)混入空氣比例對(duì)kp和cp的影響

圖5 混氣2%時(shí)激勵(lì)頻率對(duì)kp和cp的影響

分析圖4和圖5的仿真計(jì)算結(jié)果可得出以下結(jié)論：

(1)kp和cp均隨振幅與頻率升高而增大。

(2)cp在不同混氣比例下差別較小，例如混氣2 %與無空氣時(shí)相差不多，而且差別隨振幅變化很小。

(3)kp在無空氣時(shí)數(shù)值較小，隨振幅增加亦不大；但混氣后kp增長很快，且隨振幅顯著增加。

(4)cp在小振幅時(shí)很小，隨頻率變化也比較小，這說明流體阻尼器在小振幅時(shí)耗能作用比較弱、效率比較低。隨著振幅增加，cp逐漸變大，耗能作用和效率不斷提高，同時(shí)cp隨頻率升高而增大的趨勢愈發(fā)明顯。

(5)相比阻尼系數(shù)cp，剛度系數(shù)kp受混氣量和頻率的影響更大，尤其是混氣流體阻尼器的附加剛度kp隨混氣量和頻率的提高迅速增大。

2.5 線性模型與非線性模型比較

為了驗(yàn)證線性并聯(lián)模型的正確性及適用性，對(duì)不同參數(shù)的流體阻尼器用非線性串聯(lián)模型和線性并聯(lián)模型在多種工況下進(jìn)行仿真，然后進(jìn)行分析對(duì)比。圖6-8為未混氣工況，圖9為混氣工況。

分析圖6～圖9的仿真結(jié)果，可得出下列結(jié)論：

(1)從圖6可見，兩種模型的結(jié)果很接近，且滯回曲線面積和阻尼力均隨頻率的增加而增大。

(2)從圖7可見，兩種模型的結(jié)果同樣很接近；阻尼孔直徑減小使阻尼力增大，非線性特征更明顯。

圖6 頻率的影響，阻尼孔直徑2 mm，動(dòng)力粘度200 cP

圖7 阻尼孔直徑的影響，激勵(lì)頻率3 Hz，動(dòng)力粘度200 cP

圖8 粘度的影響，激勵(lì)頻率3 Hz，阻尼孔直徑2 mm

圖9 混氣比例的影響，阻尼孔直徑2 mm，激勵(lì)頻率3 Hz，動(dòng)力粘度200 cP

(3)從圖8可以看到，阻尼力隨著粘度的增加而增大，兩種模型結(jié)果也很接近。

(4)從圖9可見，兩種模型的結(jié)果比較接近；隨著混氣量的增加，阻尼力呈減小趨勢。

綜上所述，在不同參數(shù)和工況下，阻尼器線性模型的計(jì)算結(jié)果與非線性模型的計(jì)算結(jié)果是一致的，從而驗(yàn)證了線性模型的正確性。雖然線性模型無法在任一點(diǎn)上與非線性模型重合，但是對(duì)阻尼器耗能而言，也就是滯回曲線面積，兩者幾乎是一致的。

3 試驗(yàn)結(jié)果與仿真模型比較

阻尼器試驗(yàn)原理見圖10，采用溝槽凸輪機(jī)構(gòu)進(jìn)行激勵(lì)，凸輪從動(dòng)桿與阻尼器活塞桿連接，其運(yùn)動(dòng)軌跡為幅值3mm的簡諧曲線。激勵(lì)頻率由凸輪轉(zhuǎn)速?zèng)Q定，凸輪轉(zhuǎn)速用變頻調(diào)速電機(jī)控制。

試驗(yàn)采用100號(hào)抗磨液壓油(40 ℃時(shí)運(yùn)動(dòng)粘度的平均值為100 cSt)和350 cSt二甲基硅油(25 ℃時(shí)運(yùn)動(dòng)粘度的平均值為350cSt)，阻尼孔直徑為2.0 mm、2.2 mm和2.4 mm，活塞上開有兩個(gè)尺寸相同的阻尼孔。

圖12 力的幅頻圖

試驗(yàn)時(shí)采集力和位移數(shù)據(jù)，經(jīng)濾波去噪聲后進(jìn)行FFT變換，得到頻域的位移X(ω)和力F(ω)。圖11為力和位移時(shí)間歷程。圖12為力的頻譜，集中在激勵(lì)頻率3.5 Hz，其他頻率分量基本為0。理論上純阻尼力的相位超前位移90°，但由于流體彈性的影響，存在與位移同相的彈性力，故力的相位超前不足90°。

線性并聯(lián)模型在頻域內(nèi)力與位移之間關(guān)系為

F(ω)=kpX(ω)+cpiωX(ω)

(17)

從式(17)可得阻尼系數(shù)cp和剛度系數(shù)kp為

(18)

3.1 排氣完全的阻尼器

采用350cSt二甲基硅油，密度為970 kg/m3，阻尼孔直徑分別為2 mm和2.4 mm。阻尼器注油時(shí)應(yīng)采取抽真空措施才能做到完全排氣，但受試驗(yàn)條件限制無法做到抽真空，只能通過其他措施盡可能將空氣排凈。

圖13 未混氣試驗(yàn)結(jié)果與線性模型比較

圖14 未混氣試驗(yàn)結(jié)果與線性模型比較

圖13為二種阻尼孔、激勵(lì)頻率為3 Hz的試驗(yàn)結(jié)果，圖14為2 mm阻尼孔、激勵(lì)頻率2 Hz和4 Hz的試驗(yàn)結(jié)果。從圖可見，試驗(yàn)曲線與線性模型仿真結(jié)果的一致性比較好。實(shí)際上兩種流體在1-5 Hz頻率范圍的試驗(yàn)與仿真結(jié)果一致性都比較好，限于篇幅這里只給出部分結(jié)果。受力傳感器螺紋連接強(qiáng)度限制，更高頻率的試驗(yàn)沒有進(jìn)行。但頻率增加時(shí)，阻尼力增大，活塞與油缸間摩擦力影響減小，故可推測試驗(yàn)結(jié)果會(huì)變得更好。

表1列出2 mm阻尼孔的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，并與仿真計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。表中理想情況表示流體為不可壓縮，z=kp/(cpω)用于衡量kp的相對(duì)影響，kp為負(fù)時(shí)z無意義。

表1 阻尼器試驗(yàn)結(jié)果與仿真數(shù)據(jù)

從表1可見，試驗(yàn)和仿真得到的cp差別很小，兩者最大相差僅有4.4 %。同時(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，cp和kp都隨頻率提高而增加，這與模型仿真計(jì)算結(jié)果相符。

而kp的誤差則較大，試驗(yàn)數(shù)據(jù)在2 Hz時(shí)甚至出現(xiàn)了負(fù)剛度。阻尼器實(shí)際上存在摩擦力和慣性力，試驗(yàn)裝置連接處也存在間隙，這些都是產(chǎn)生誤差的原因。這些因素在模型中則未加考慮。試驗(yàn)數(shù)據(jù)在4 Hz時(shí)kp大于仿真結(jié)果，估計(jì)是阻尼器未能實(shí)現(xiàn)完全排氣的緣故。

3.2 混有空氣的阻尼器

采用100號(hào)抗磨液壓油，密度為870 kg/m3，阻尼孔直徑為2.2 mm，流體混有2.7 %空氣。圖15為試驗(yàn)結(jié)果曲線，試驗(yàn)數(shù)據(jù)列于表2，并與仿真結(jié)果比較。

圖15 混氣2.7%試驗(yàn)結(jié)果與模型比較

從表2可見，混氣試驗(yàn)和仿真計(jì)算得到的cp在各個(gè)頻率都比較接近，最大差別在3 Hz，也只有4 %。這說明模型在不同頻率都能較好地預(yù)測阻尼器特性。

與排氣完全的阻尼器相比可以發(fā)現(xiàn)，混氣阻尼器試驗(yàn)得到的kp與仿真計(jì)算的差別大大減小。同時(shí)還可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)阻尼器混入空氣后，阻尼器的附加剛度kp大大增加，尤其隨頻率升高而迅速增加。而阻尼系數(shù)cp則由于阻尼器混入空氣而減小，使阻尼器效能降低。這些由模型預(yù)測的阻尼器特性通過試驗(yàn)得到驗(yàn)證。

此外，由于阻尼器混氣后cp減小kp增加，附加剛度kp的影響顯著上升。用于衡量彈性力與阻尼力之比的z值顯著增加：在激勵(lì)頻率4 Hz時(shí)阻尼系數(shù)cp為28.3 kN·s/m，附加剛度kp為137.8 kN/m，z值可達(dá)0.194。

表2 混氣2.7%阻尼器試驗(yàn)與仿真數(shù)據(jù)

4 流體阻尼器附加剛度的影響

這里討論振動(dòng)系統(tǒng)若采用流體阻尼器作為減振措施時(shí)，阻尼器附加剛度對(duì)原系統(tǒng)的影響。

系統(tǒng)的剛度和阻尼可以合并用復(fù)剛度k*表示：

k*=k(1+iη)

(19)

式中，k為系統(tǒng)原有剛度，η=ωcp/k為復(fù)剛度的阻尼部分。η實(shí)際上代表阻尼力與彈性力之比值。

流體阻尼器具有附加剛度kp，需要判斷kp是否會(huì)對(duì)原系統(tǒng)的固有頻率等特性產(chǎn)生影響。當(dāng)zη<0.1時(shí)，可以不考慮阻尼器附加剛度的影響。z值代表了阻尼器附加剛度的彈性力與阻尼力之比值，而zη值代表附加剛度對(duì)原有剛度的相對(duì)改變量。若附加剛度小于系統(tǒng)原剛度的10 %，對(duì)原系統(tǒng)的影響完全可以忽略不計(jì)。

根據(jù)表2的試驗(yàn)和仿真數(shù)據(jù)，z值在4 Hz時(shí)最大為0.2左右。但是在其他參數(shù)和工況下z的計(jì)算結(jié)果是不同的。用線性模型計(jì)算2.5節(jié)的阻尼器，不同阻尼孔尺寸的z值計(jì)算結(jié)果為：d=0.8 mm，z=0.48；d=0.5 mm，z=2.19。此外，η值的確定除了cp外還要知道振動(dòng)系統(tǒng)原有的剛度。

因此估計(jì)流體阻尼器的附加剛度對(duì)原振動(dòng)系統(tǒng)是否有影響，需要根據(jù)阻尼器參數(shù)、粘度、混氣量、頻率和振幅等數(shù)據(jù)，通過模型預(yù)測才能作出判斷。

5 結(jié) 論

考慮流體阻尼器混有空氣后可壓縮性發(fā)生改變，用數(shù)值方法計(jì)算了阻尼器串聯(lián)模型的非線性阻尼力/彈性力、阻尼位移和彈性位移，并將非線性串聯(lián)模型轉(zhuǎn)化為等效線性并聯(lián)模型，用于分析和預(yù)測混有空氣的孔隙式粘滯流體阻尼器動(dòng)態(tài)性能。通過對(duì)阻尼器動(dòng)態(tài)特性的試驗(yàn)研究，驗(yàn)證了計(jì)算方法和阻尼器等效線性模型，并得到下列具有工程實(shí)際價(jià)值的結(jié)論：

(1)流體混入空氣對(duì)等效阻尼影響較小，但對(duì)等效剛度影響很大。混入空氣后流體可壓縮性雖然得到提高，但阻尼器并聯(lián)剛度反而顯著變大。

(2)無論流體是否混入空氣，振幅對(duì)等效阻尼系數(shù)影響很大。振幅增大時(shí)阻尼器效能明顯提高，等效剛度也隨之增加；振幅過小則阻尼器效能明顯降低。

(3)孔隙式粘滯流體阻尼器的等效阻尼和剛度隨振動(dòng)頻率變化顯著。高頻振動(dòng)時(shí)阻尼器等效阻尼和效能提高，而附加剛度隨頻率提高增加更為迅速。

(4)流體阻尼器的附加剛度是否對(duì)原振動(dòng)系統(tǒng)有實(shí)質(zhì)性影響，需要根據(jù)具體的阻尼器參數(shù)和工況通過模型預(yù)測進(jìn)行判斷。

參 考 文 獻(xiàn)

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