薛燕

人們認(rèn)識(shí)世界總是從特殊到一般，再?gòu)囊话愕教厥?，?shù)學(xué)研究也不例外. 對(duì)于一般情況下難以求解的問(wèn)題，可以運(yùn)用特殊化思想，取特殊值、特殊圖形，從而使問(wèn)題順利求解. 本文結(jié)合一些例題來(lái)談一下特殊與一般思想在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用.

一、 用“特殊化”思想解題

“特殊”能在一定范圍內(nèi)反映或體現(xiàn)“一般”. 由于填空、選擇題不要求嚴(yán)密完整的推理過(guò)程，若能用特殊化進(jìn)行探索、猜想、驗(yàn)證，可以使解題過(guò)程簡(jiǎn)單，獲取答案快速而且準(zhǔn)確. 用特殊化方法解題的理論依據(jù)和邏輯基礎(chǔ)是：若一般情況下成立，那么其包含于題目中的特殊情況也成立，這是一種巧法.

1. 字母或角的取值特殊化

【解析】這道題目要判斷的四個(gè)不等式很“龐大”，用特殊值法可達(dá)到“秒殺”的效果. 因?yàn)?lt;，所以只要取符合條件的a、b、c、d的值，如a=1、b=2、c=3、d=4，代入各式即可判斷不等式的正誤. 故本題應(yīng)選A.

【點(diǎn)評(píng)】在利用特殊化的方法解決問(wèn)題時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)：（1） 題目的答案必須是唯一確定的；（2） 特殊值的選取必須符合題設(shè)條件；（3） 特殊值的選取應(yīng)盡可能簡(jiǎn)單，以便運(yùn)算和比較.

2. 點(diǎn)或圖形位置特殊化

例2 （2012·德州）如圖1，兩個(gè)反比例函數(shù)y=和y=-的圖像分別是l1和l2. 設(shè)點(diǎn)P在l1上，PC⊥x軸，垂足為C，交l2于點(diǎn)A，PD⊥y軸，垂足為D，交l2于點(diǎn)B，則△PAB的面積為（ ）.

A. 3 B. 4 C. D. 5

【解析】在本題中，只要點(diǎn)P確定，那么A、B、C、D四點(diǎn)也就確定了. 本題給出的選項(xiàng)都是一個(gè)定值，也從側(cè)面反映只要點(diǎn)P在l1上，△PAB的面積與點(diǎn)P的坐標(biāo)無(wú)關(guān). 不妨設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，那么P（1，1），A（1，-2），B（-2，1），所以PA=3，PB=3，△PAB的面積為，故選C.

例3 （2013·濟(jì)寧）如圖2，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，則PE+PF= ______.

【解析】這是一道與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題. 以這種形式出現(xiàn)，最后結(jié)果肯定是一個(gè)定值. 既然點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)，那么點(diǎn)P在線段AD的任何位置PE+PF的值都不變. 因此可以讓點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，根據(jù)題意畫出如圖3所示的圖形，此時(shí)PE=0，由AB=3，AD=4，可求出BD=5，利用△ABD的面積可以求出PF=2.4，所以PE+PF=2.4.

【點(diǎn)評(píng)】用特殊圖形解決問(wèn)題時(shí)，一定要注意特殊圖形的選取必須要符合題設(shè)條件，且問(wèn)題的答案必須是唯一確定的. 所以在構(gòu)造特殊圖形時(shí)，一般從以下幾個(gè)方面來(lái)考慮：（1） 線段上的特殊點(diǎn)一般取線段的中點(diǎn)或者端點(diǎn)，弧上的點(diǎn)一般選取弧的中點(diǎn)或端點(diǎn)；（2） 線與線的位置關(guān)系可以特殊化為平行、垂直或重合；（3） 任意四邊形可特殊化為平行四邊形、矩形、菱形或正方形.

二、 用“特殊→一般→特殊”思想解決問(wèn)題

1. 在中考中，經(jīng)常會(huì)遇到探索規(guī)律的題目. 解決這類題目的方法是從簡(jiǎn)單、特殊、具體情形出發(fā)，通過(guò)特殊情況的研究，歸納出一般結(jié)論，有時(shí)還需用一般結(jié)論解決其他特殊情況.

例4 （2013·淮安）觀察一列單項(xiàng)式：1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，…則第2013個(gè)單項(xiàng)式是_______.

【解析】本題先看系數(shù)變化規(guī)律：系數(shù)依次為1，3，5，7，9，11，…，2n-1；再看指數(shù)變化規(guī)律：x的指數(shù)依次是1，2，2，1，2，2，1，2，2，……可見(jiàn)三個(gè)單項(xiàng)式一個(gè)循環(huán)，故可得第2013個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)為4025；因?yàn)?013÷3=671，所以第2013個(gè)單項(xiàng)式的指數(shù)為2.因此第2013個(gè)單項(xiàng)式是4025x2. 本題體現(xiàn)了由特殊到一般再到特殊的思維過(guò)程.

2. 在某些幾何圖形中，有些點(diǎn)和線的位置是在不斷變化的，在這個(gè)變化過(guò)程中，卻有一些線段的長(zhǎng)度或比值、角的大小等存在著一定的關(guān)系. 解決這類問(wèn)題，一般是從特殊情況入手，逐步分析、比較、討論，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律或者解答方法，再用這個(gè)規(guī)律或解答方法解決其他類似問(wèn)題.

例5 （2012·河南）類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整.

原題：如圖4，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，BF的延長(zhǎng)線交射線CD于點(diǎn)G. 若=3，求的值.

（1） 嘗試探究

在圖4中，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB交BG于點(diǎn)H，則AB和EH的數(shù)量關(guān)系是______，CG和EH的數(shù)量關(guān)系是______，的值是______.

（2） 類比延伸

如圖5，在原題的條件下，若=m（m>0），則的值是______（用含有m的代數(shù)式表示），試寫出解答過(guò)程.

（3） 拓展遷移

如圖6，梯形ABCD中，DC∥AB，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AE和BD相交于點(diǎn)F. 若=a，=b，（a>0，b>0），則的值是______（用含a、b的代數(shù)式表示）.

【解析】第（1）題，按照題中的提示方法利用三角形相似不難求出AB=3EH，CG=2EH，=. 第（2）題是第（1）題的一般情況，因此可以仿照第（1）題添加相同的輔助線，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB交BG于點(diǎn)H，利用類似的方法求出=. 第（3）題把原題中的平行四邊形變?yōu)榱颂菪危辛饲懊鎯深}的解題經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于這種特殊情況，仍可添加類似的輔助線：過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H（如圖7），依舊是利用相似求出=ab.

【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用“特殊→一般→特殊”的思想方法，能使數(shù)學(xué)問(wèn)題化難為易，而且能加深同學(xué)們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，同時(shí)還能打開(kāi)解題思路.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

人們認(rèn)識(shí)世界總是從特殊到一般，再?gòu)囊话愕教厥猓瑪?shù)學(xué)研究也不例外. 對(duì)于一般情況下難以求解的問(wèn)題，可以運(yùn)用特殊化思想，取特殊值、特殊圖形，從而使問(wèn)題順利求解. 本文結(jié)合一些例題來(lái)談一下特殊與一般思想在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用.

一、 用“特殊化”思想解題

“特殊”能在一定范圍內(nèi)反映或體現(xiàn)“一般”. 由于填空、選擇題不要求嚴(yán)密完整的推理過(guò)程，若能用特殊化進(jìn)行探索、猜想、驗(yàn)證，可以使解題過(guò)程簡(jiǎn)單，獲取答案快速而且準(zhǔn)確. 用特殊化方法解題的理論依據(jù)和邏輯基礎(chǔ)是：若一般情況下成立，那么其包含于題目中的特殊情況也成立，這是一種巧法.

1. 字母或角的取值特殊化

【解析】這道題目要判斷的四個(gè)不等式很“龐大”，用特殊值法可達(dá)到“秒殺”的效果. 因?yàn)?lt;，所以只要取符合條件的a、b、c、d的值，如a=1、b=2、c=3、d=4，代入各式即可判斷不等式的正誤. 故本題應(yīng)選A.

【點(diǎn)評(píng)】在利用特殊化的方法解決問(wèn)題時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)：（1） 題目的答案必須是唯一確定的；（2） 特殊值的選取必須符合題設(shè)條件；（3） 特殊值的選取應(yīng)盡可能簡(jiǎn)單，以便運(yùn)算和比較.

2. 點(diǎn)或圖形位置特殊化

例2 （2012·德州）如圖1，兩個(gè)反比例函數(shù)y=和y=-的圖像分別是l1和l2. 設(shè)點(diǎn)P在l1上，PC⊥x軸，垂足為C，交l2于點(diǎn)A，PD⊥y軸，垂足為D，交l2于點(diǎn)B，則△PAB的面積為（ ）.

A. 3 B. 4 C. D. 5

【解析】在本題中，只要點(diǎn)P確定，那么A、B、C、D四點(diǎn)也就確定了. 本題給出的選項(xiàng)都是一個(gè)定值，也從側(cè)面反映只要點(diǎn)P在l1上，△PAB的面積與點(diǎn)P的坐標(biāo)無(wú)關(guān). 不妨設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，那么P（1，1），A（1，-2），B（-2，1），所以PA=3，PB=3，△PAB的面積為，故選C.

例3 （2013·濟(jì)寧）如圖2，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，則PE+PF= ______.

【解析】這是一道與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題. 以這種形式出現(xiàn)，最后結(jié)果肯定是一個(gè)定值. 既然點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)，那么點(diǎn)P在線段AD的任何位置PE+PF的值都不變. 因此可以讓點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，根據(jù)題意畫出如圖3所示的圖形，此時(shí)PE=0，由AB=3，AD=4，可求出BD=5，利用△ABD的面積可以求出PF=2.4，所以PE+PF=2.4.

【點(diǎn)評(píng)】用特殊圖形解決問(wèn)題時(shí)，一定要注意特殊圖形的選取必須要符合題設(shè)條件，且問(wèn)題的答案必須是唯一確定的. 所以在構(gòu)造特殊圖形時(shí)，一般從以下幾個(gè)方面來(lái)考慮：（1） 線段上的特殊點(diǎn)一般取線段的中點(diǎn)或者端點(diǎn)，弧上的點(diǎn)一般選取弧的中點(diǎn)或端點(diǎn)；（2） 線與線的位置關(guān)系可以特殊化為平行、垂直或重合；（3） 任意四邊形可特殊化為平行四邊形、矩形、菱形或正方形.

二、 用“特殊→一般→特殊”思想解決問(wèn)題

1. 在中考中，經(jīng)常會(huì)遇到探索規(guī)律的題目. 解決這類題目的方法是從簡(jiǎn)單、特殊、具體情形出發(fā)，通過(guò)特殊情況的研究，歸納出一般結(jié)論，有時(shí)還需用一般結(jié)論解決其他特殊情況.

例4 （2013·淮安）觀察一列單項(xiàng)式：1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，…則第2013個(gè)單項(xiàng)式是_______.

【解析】本題先看系數(shù)變化規(guī)律：系數(shù)依次為1，3，5，7，9，11，…，2n-1；再看指數(shù)變化規(guī)律：x的指數(shù)依次是1，2，2，1，2，2，1，2，2，……可見(jiàn)三個(gè)單項(xiàng)式一個(gè)循環(huán)，故可得第2013個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)為4025；因?yàn)?013÷3=671，所以第2013個(gè)單項(xiàng)式的指數(shù)為2.因此第2013個(gè)單項(xiàng)式是4025x2. 本題體現(xiàn)了由特殊到一般再到特殊的思維過(guò)程.

2. 在某些幾何圖形中，有些點(diǎn)和線的位置是在不斷變化的，在這個(gè)變化過(guò)程中，卻有一些線段的長(zhǎng)度或比值、角的大小等存在著一定的關(guān)系. 解決這類問(wèn)題，一般是從特殊情況入手，逐步分析、比較、討論，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律或者解答方法，再用這個(gè)規(guī)律或解答方法解決其他類似問(wèn)題.

例5 （2012·河南）類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整.

原題：如圖4，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，BF的延長(zhǎng)線交射線CD于點(diǎn)G. 若=3，求的值.

（1） 嘗試探究

在圖4中，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB交BG于點(diǎn)H，則AB和EH的數(shù)量關(guān)系是______，CG和EH的數(shù)量關(guān)系是______，的值是______.

（2） 類比延伸

如圖5，在原題的條件下，若=m（m>0），則的值是______（用含有m的代數(shù)式表示），試寫出解答過(guò)程.

（3） 拓展遷移

如圖6，梯形ABCD中，DC∥AB，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AE和BD相交于點(diǎn)F. 若=a，=b，（a>0，b>0），則的值是______（用含a、b的代數(shù)式表示）.

【解析】第（1）題，按照題中的提示方法利用三角形相似不難求出AB=3EH，CG=2EH，=. 第（2）題是第（1）題的一般情況，因此可以仿照第（1）題添加相同的輔助線，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB交BG于點(diǎn)H，利用類似的方法求出=. 第（3）題把原題中的平行四邊形變?yōu)榱颂菪?，有了前面兩題的解題經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于這種特殊情況，仍可添加類似的輔助線：過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H（如圖7），依舊是利用相似求出=ab.

【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用“特殊→一般→特殊”的思想方法，能使數(shù)學(xué)問(wèn)題化難為易，而且能加深同學(xué)們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，同時(shí)還能打開(kāi)解題思路.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

人們認(rèn)識(shí)世界總是從特殊到一般，再?gòu)囊话愕教厥?，?shù)學(xué)研究也不例外. 對(duì)于一般情況下難以求解的問(wèn)題，可以運(yùn)用特殊化思想，取特殊值、特殊圖形，從而使問(wèn)題順利求解. 本文結(jié)合一些例題來(lái)談一下特殊與一般思想在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用.

一、 用“特殊化”思想解題

“特殊”能在一定范圍內(nèi)反映或體現(xiàn)“一般”. 由于填空、選擇題不要求嚴(yán)密完整的推理過(guò)程，若能用特殊化進(jìn)行探索、猜想、驗(yàn)證，可以使解題過(guò)程簡(jiǎn)單，獲取答案快速而且準(zhǔn)確. 用特殊化方法解題的理論依據(jù)和邏輯基礎(chǔ)是：若一般情況下成立，那么其包含于題目中的特殊情況也成立，這是一種巧法.

1. 字母或角的取值特殊化

【解析】這道題目要判斷的四個(gè)不等式很“龐大”，用特殊值法可達(dá)到“秒殺”的效果. 因?yàn)?lt;，所以只要取符合條件的a、b、c、d的值，如a=1、b=2、c=3、d=4，代入各式即可判斷不等式的正誤. 故本題應(yīng)選A.

【點(diǎn)評(píng)】在利用特殊化的方法解決問(wèn)題時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)：（1） 題目的答案必須是唯一確定的；（2） 特殊值的選取必須符合題設(shè)條件；（3） 特殊值的選取應(yīng)盡可能簡(jiǎn)單，以便運(yùn)算和比較.

2. 點(diǎn)或圖形位置特殊化

例2 （2012·德州）如圖1，兩個(gè)反比例函數(shù)y=和y=-的圖像分別是l1和l2. 設(shè)點(diǎn)P在l1上，PC⊥x軸，垂足為C，交l2于點(diǎn)A，PD⊥y軸，垂足為D，交l2于點(diǎn)B，則△PAB的面積為（ ）.

A. 3 B. 4 C. D. 5

【解析】在本題中，只要點(diǎn)P確定，那么A、B、C、D四點(diǎn)也就確定了. 本題給出的選項(xiàng)都是一個(gè)定值，也從側(cè)面反映只要點(diǎn)P在l1上，△PAB的面積與點(diǎn)P的坐標(biāo)無(wú)關(guān). 不妨設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，那么P（1，1），A（1，-2），B（-2，1），所以PA=3，PB=3，△PAB的面積為，故選C.

例3 （2013·濟(jì)寧）如圖2，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，則PE+PF= ______.

【解析】這是一道與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題. 以這種形式出現(xiàn)，最后結(jié)果肯定是一個(gè)定值. 既然點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)，那么點(diǎn)P在線段AD的任何位置PE+PF的值都不變. 因此可以讓點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，根據(jù)題意畫出如圖3所示的圖形，此時(shí)PE=0，由AB=3，AD=4，可求出BD=5，利用△ABD的面積可以求出PF=2.4，所以PE+PF=2.4.

【點(diǎn)評(píng)】用特殊圖形解決問(wèn)題時(shí)，一定要注意特殊圖形的選取必須要符合題設(shè)條件，且問(wèn)題的答案必須是唯一確定的. 所以在構(gòu)造特殊圖形時(shí)，一般從以下幾個(gè)方面來(lái)考慮：（1） 線段上的特殊點(diǎn)一般取線段的中點(diǎn)或者端點(diǎn)，弧上的點(diǎn)一般選取弧的中點(diǎn)或端點(diǎn)；（2） 線與線的位置關(guān)系可以特殊化為平行、垂直或重合；（3） 任意四邊形可特殊化為平行四邊形、矩形、菱形或正方形.

二、 用“特殊→一般→特殊”思想解決問(wèn)題

1. 在中考中，經(jīng)常會(huì)遇到探索規(guī)律的題目. 解決這類題目的方法是從簡(jiǎn)單、特殊、具體情形出發(fā)，通過(guò)特殊情況的研究，歸納出一般結(jié)論，有時(shí)還需用一般結(jié)論解決其他特殊情況.

例4 （2013·淮安）觀察一列單項(xiàng)式：1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，…則第2013個(gè)單項(xiàng)式是_______.

【解析】本題先看系數(shù)變化規(guī)律：系數(shù)依次為1，3，5，7，9，11，…，2n-1；再看指數(shù)變化規(guī)律：x的指數(shù)依次是1，2，2，1，2，2，1，2，2，……可見(jiàn)三個(gè)單項(xiàng)式一個(gè)循環(huán)，故可得第2013個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)為4025；因?yàn)?013÷3=671，所以第2013個(gè)單項(xiàng)式的指數(shù)為2.因此第2013個(gè)單項(xiàng)式是4025x2. 本題體現(xiàn)了由特殊到一般再到特殊的思維過(guò)程.

2. 在某些幾何圖形中，有些點(diǎn)和線的位置是在不斷變化的，在這個(gè)變化過(guò)程中，卻有一些線段的長(zhǎng)度或比值、角的大小等存在著一定的關(guān)系. 解決這類問(wèn)題，一般是從特殊情況入手，逐步分析、比較、討論，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律或者解答方法，再用這個(gè)規(guī)律或解答方法解決其他類似問(wèn)題.

例5 （2012·河南）類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整.

原題：如圖4，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，BF的延長(zhǎng)線交射線CD于點(diǎn)G. 若=3，求的值.

（1） 嘗試探究

在圖4中，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB交BG于點(diǎn)H，則AB和EH的數(shù)量關(guān)系是______，CG和EH的數(shù)量關(guān)系是______，的值是______.

（2） 類比延伸

如圖5，在原題的條件下，若=m（m>0），則的值是______（用含有m的代數(shù)式表示），試寫出解答過(guò)程.

（3） 拓展遷移

如圖6，梯形ABCD中，DC∥AB，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AE和BD相交于點(diǎn)F. 若=a，=b，（a>0，b>0），則的值是______（用含a、b的代數(shù)式表示）.

【解析】第（1）題，按照題中的提示方法利用三角形相似不難求出AB=3EH，CG=2EH，=. 第（2）題是第（1）題的一般情況，因此可以仿照第（1）題添加相同的輔助線，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB交BG于點(diǎn)H，利用類似的方法求出=. 第（3）題把原題中的平行四邊形變?yōu)榱颂菪?，有了前面兩題的解題經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于這種特殊情況，仍可添加類似的輔助線：過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H（如圖7），依舊是利用相似求出=ab.

【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用“特殊→一般→特殊”的思想方法，能使數(shù)學(xué)問(wèn)題化難為易，而且能加深同學(xué)們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，同時(shí)還能打開(kāi)解題思路.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）