張金娥1，朱旭生

(1.湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002；2.華東交通大學(xué) 基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院，江西 南昌 330013)

N維空間中不可壓縮的歐拉方程組可寫成如下的形式：

(1)

其中：x=(x1,x2,…,xN)∈RN;ρ=ρ(t,x)和u=u(t,x)=(u1,u2,…,uN)∈RN分別代表流體的密度和速度。p=p(ρ)代表壓強(qiáng), 一般假設(shè)p(ρ)=kργ，k≥0，γ≥1。 若參數(shù)k>0，則稱方程組(1)是帶壓強(qiáng)的；若k=0，稱方程組(1)為無(wú)壓的。常數(shù)γ≥1代表絕熱指數(shù)，若γ=1稱流體是等溫的。 如果β=0，則稱歐拉方程組(1)是不帶阻尼項(xiàng)的；如果β>0，則稱歐拉方程組(1)是帶阻尼項(xiàng)的。方程組(1)還可以寫成如下的標(biāo)量形式：

(2)

在數(shù)學(xué)物理中，研究非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為時(shí)，構(gòu)造精確解并探尋其解的性質(zhì)是非常重要的。 對(duì)于無(wú)壓強(qiáng)的流體，即k=0時(shí)，文獻(xiàn)[1]給出了不帶阻尼項(xiàng)的歐拉方程組(1)的一類精確的爆破解：

(3)

其中：f為任意非負(fù)的C1連續(xù)函數(shù)；di,ai0>0；ai1為任意常數(shù)。 文獻(xiàn)[2-4]研究了一類歐拉-泊松型方程(組)的解析解 。 文獻(xiàn)[5-7]研究了不帶阻尼項(xiàng)的歐拉方程(組)和歐拉-泊松型方程(組)的解的局部存在性和穩(wěn)定性。 文獻(xiàn)[8]給出了三維空間中可壓縮歐拉方程組的精確旋轉(zhuǎn)解，得到了一些關(guān)于精確旋轉(zhuǎn)解的動(dòng)態(tài)性質(zhì)判據(jù)。 在不可壓縮歐拉方程組解的性態(tài)方面, 對(duì)于帶阻尼項(xiàng)的不可壓縮歐拉方程組的精確解的研究尚處于空白階段。 注意到，對(duì)于一個(gè)實(shí)際的流體動(dòng)力學(xué)模型，特別是在航天、航空、軍工業(yè)、汽車等行業(yè)中，構(gòu)造流體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的精確解是非常重要的。 基于此，本文用基本函數(shù)構(gòu)造了三維空間中不帶阻尼項(xiàng)的和帶阻尼項(xiàng)的不可壓縮的歐拉方程組的一類精確旋轉(zhuǎn)解，研究了解的局部性質(zhì)。 本文的相關(guān)結(jié)果改進(jìn)并推廣了現(xiàn)有的一些結(jié)果，能在更大范圍內(nèi)得到應(yīng)用。

1 不帶阻尼項(xiàng)的不可壓縮歐拉方程組的旋轉(zhuǎn)解

由方程組(1)易知，三維空間中不帶阻尼項(xiàng)的不可壓縮歐拉方程組可以寫成如下的形式：

(4)

定理1 對(duì)于不可壓縮歐拉方程組(4)，存在如下一類旋轉(zhuǎn)解：

1) 當(dāng)γ>1時(shí)，

(5)

和

(6)

2) 當(dāng)γ=1時(shí)，

(7)

和

(8)

其中:ai(t)是任意C1連續(xù)函數(shù)(i=1,2,3)；b(t)是關(guān)于時(shí)間t的任意函數(shù)；c是任意常數(shù)。 且解滿足如下的性質(zhì)：

2)若ai(t)∈C1是整體存在的(i=1,2,3)，則方程組(4)的解(5)—(8)是整體存在的。

證明首先證明(5)為方程組(4)的1組解。

對(duì)于真空解ρ=0，顯然(5)是方程組(4)的奇異解。

當(dāng)γ>1時(shí)，對(duì)于非真空解，因?yàn)?/p>

所以

由方程組(4)的第2個(gè)方程(即動(dòng)量方程)中的第1個(gè)方程可得

同理，由方程組(4)的第2個(gè)方程(即動(dòng)量方程)中的第2個(gè)方程可得

由方程組(4)的第2個(gè)方程(即動(dòng)量方程)中的第3個(gè)方程可得

對(duì)于方程組(4)的第1個(gè)方程 (即質(zhì)量方程)，

3)，則解(5)會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)爆破。 而若ai(t)∈C1是整體存在的(i=1,2,3)，則解(5)也是整體存在的。

對(duì)于解(6)，可以用同樣的方法證明，這里不再贅述。

下面證明(8)為方程組(4)在γ=1時(shí)的1組解。

當(dāng)γ=1時(shí)，根據(jù)方程組(4)的第1個(gè)方程(即質(zhì)量方程)，可得

由于

所以

由方程組(4)的第1個(gè)方程(即動(dòng)量方程)中的第1個(gè)方程可得

同理，由方程組(4)的第2個(gè)方程(即動(dòng)量方程)中的第2個(gè)方程可得

由方程組(4)的第2個(gè)方程(即動(dòng)量方程)中的第3個(gè)方程可得

3)，則解(8)會(huì)在有限時(shí)間T內(nèi)爆破。 而若ai(t)∈C1是整體存在的(i=1,2,3)，則解(8)也是整體存在的。

對(duì)于解(7)，可以用同樣的方法證明其是方程組(4)的旋轉(zhuǎn)解，這里也不再贅述。

定理1證畢。

2 帶阻尼項(xiàng)的不可壓縮歐拉方程組的旋轉(zhuǎn)解

由方程組(1)易知，三維空間中帶阻尼項(xiàng)的不可壓縮歐拉方程組可描述為：

(9)

其中β>0為一常數(shù)，代表阻尼系數(shù)。

定理2 對(duì)于三維空間中帶阻尼項(xiàng)的不可壓縮歐拉方程組(9)，其存在1類旋轉(zhuǎn)解。

1)當(dāng)γ>1時(shí)，

(10)

2)當(dāng)γ=1時(shí)，

(11)

其中：ai(t)是任意C1連續(xù)函數(shù)(i=1,2,3)；b(t)是關(guān)于時(shí)間t的任意函數(shù)；c是任意常數(shù)。 且解(10)、(11)滿足如下性質(zhì)：

2)若ai(t)∈C1是整體存在的(i=1,2,3)，則方程組(9)的解(10)、(11)是整體存在的。

證明定理2的證明過(guò)程類似于定理1的證明。下面，首先證明(10)為方程組(9)的一組旋轉(zhuǎn)解。

對(duì)于真空解ρ=0，顯然(10)為方程組(9)的一組奇異解。

當(dāng)γ>1時(shí)，對(duì)于非真空解，由方程組(9)的第1個(gè)方程(即質(zhì)量方程)可得

因?yàn)?/p>

所以

由方程組(9)的第2個(gè)方程(即動(dòng)量方程)中的第1個(gè)方程可得

a3(t))]=-β(a1(t)+c(y+z))=-βu1。

同理，由方程組(9)的第2個(gè)方程(即動(dòng)量方程)中的第2個(gè)方程可得

a3(t))]=-β(a2(t)+c(x+z))=-βu2

同理，對(duì)于方程組(9)的第2個(gè)方程(即動(dòng)量方程)中的第3個(gè)方程可得

βa3(t)+c(a1(t)+a2(t))]=c2(2z+x+y)+

a2(t))]=-β(a3(t)+c(x+y))=-βu3。

3)，則解(10)會(huì)在有限時(shí)間T內(nèi)爆破。而若ai(t)∈C1是整體存在的(i=1,2,3)，則解(10)也是整體存在的。

當(dāng)γ=1時(shí)，證明方法雷同，這里不再贅述。

定理2證畢。

注： 1) 易知，解(5)—(8)中的u=u(t,x)=(u1,u2,u3)∈R3滿足Δu=0，故解(5)—(8)是下面的三維空間中不帶阻尼項(xiàng)的不可壓縮的Navier-Stokes方程組

(12)

的解。

2) 易知，解(10)、(11)中的u=u(t,x)=(u1,u2,u3)∈R3滿足Δu=0，故解(10)、(11)是下面的三維空間中帶阻尼項(xiàng)的不可壓縮的Navier-Stokes方程組

(13)

的解，其中β、μ均為正常數(shù)。

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