鄭仰坤，袁向榮

（廣州大學(xué) 土木工程學(xué)院，廣州510006）

不同跨徑比的兩跨連續(xù)梁的模態(tài)分析試驗(yàn)

鄭仰坤，袁向榮

（廣州大學(xué) 土木工程學(xué)院，廣州510006）

介紹兩跨連續(xù)梁不同跨徑比對(duì)振型的影響，并討論沖擊系數(shù)的取值。采用槽型梁作為連續(xù)梁模型，利用M idas有限元分析軟件和DASP設(shè)備分別對(duì)連續(xù)梁進(jìn)行模態(tài)分析，得出不同跨徑比下連續(xù)梁的前3階振型及其頻率，并將M idas計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，證實(shí)振型變化的真實(shí)性。結(jié)果表明，第2、3階振型隨著跨徑比減小會(huì)出現(xiàn)轉(zhuǎn)折，中支點(diǎn)振型的曲率發(fā)生變化；考慮跨中正彎矩效應(yīng)時(shí)，沖擊系數(shù)宜按照《橋規(guī)》采用基頻計(jì)算；考慮中支點(diǎn)負(fù)彎矩效應(yīng)時(shí)，沖擊系數(shù)應(yīng)采用第二或第3階頻率計(jì)算。

振動(dòng)與波；連續(xù)梁；振型；沖擊系數(shù)；有限元分析；模態(tài)分析

當(dāng)f＜1.5 Hz時(shí)，μ=0.05

當(dāng)1.5 Hz≤f≤14 Hz時(shí)

當(dāng)f＞14 Hz時(shí)，μ=0.45

式中f為結(jié)構(gòu)基頻(Hz)。

沖擊系數(shù)直接影響到汽車(chē)荷載的沖擊力的取值，而由式（1）可知，《橋規(guī)》中對(duì)于連續(xù)梁沖擊系數(shù)的取值是由基頻計(jì)算得到。目前對(duì)沖擊系數(shù)取值的研究包括兩類(lèi)，其一是是根據(jù)車(chē)橋耦合振動(dòng)計(jì)算研究沖擊系數(shù)[2—4]；其二是根據(jù)橋梁動(dòng)載試驗(yàn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，研究沖擊系數(shù)的取值[5—8]。研究表明，計(jì)算分析或?qū)崪y(cè)所得沖擊系數(shù)大多比按規(guī)范規(guī)定的計(jì)算值要大，此現(xiàn)象在兩跨連續(xù)梁中支點(diǎn)位置尤為明顯。其原因是，對(duì)于梁的不同控制截面起主要作用的模態(tài)不同，在計(jì)算沖擊系數(shù)只考慮橋梁基頻是不合理的[9]。因此，有必要對(duì)橋梁進(jìn)行完整的模態(tài)分析。本文以?xún)煽邕B續(xù)梁為例，通過(guò)計(jì)算、試驗(yàn)分析了不同跨徑比兩跨連續(xù)梁的前3階頻率及振型變化，為今后連續(xù)梁橋的動(dòng)力特性研究提供參考。

1 兩跨連續(xù)梁的彎曲固有振動(dòng)分析[10]

圖1.1表示兩跨連續(xù)梁的一般情形，假設(shè)連續(xù)梁每跨具有均勻分布的質(zhì)量和剛度。按艾勒爾—柏努利（Euler-Bernoulli）梁理論，第S跨的第n階振型函數(shù)為

圖1.1 兩跨連續(xù)梁的一般情形

根據(jù)兩相鄰等跨連續(xù)梁的邊界條件以及數(shù)學(xué)推導(dǎo)，可得兩相鄰等跨連續(xù)梁的固有振動(dòng)頻率為

前3階振型圖如圖1.2所示。

圖1.2 兩等跨連續(xù)梁的振型及固有頻率

2 兩不等跨等截面連續(xù)梁的彎曲固有振動(dòng)分析

試驗(yàn)對(duì)象為槽型梁，梁長(zhǎng)2.1 m，橫截面如圖2.1所示。采用M idas有限元軟件建立試驗(yàn)梁的有限元分析模型，按照實(shí)驗(yàn)梁的尺寸進(jìn)行建模。材料參數(shù)的取值為：彈性模量E=7.0×104MPa，容重Dens=2.8×104N/m3。

圖2.1 槽型梁橫截面圖/mm

圖2.2為兩等跨等截面連續(xù)梁M idas計(jì)算模型，通過(guò)計(jì)算分析，并將所得前3階頻率、振型與圖1.2的精確解相比較。結(jié)果如表2.1和圖2.3所示。

所有患者均先行彩色多普勒超聲檢查，多切面觀察盆腔腫塊病變部位、大小、形態(tài)、內(nèi)部結(jié)構(gòu)、壁、后方聲影、分隔、內(nèi)部回聲性質(zhì)等，并顯示彩色多普勒檢測(cè)病變內(nèi)部及周邊血流顯示情況。彩色多普勒超聲評(píng)價(jià)參照Lerner[2]等評(píng)分方法進(jìn)行評(píng)價(jià)，即依據(jù)壁的厚度、后方聲影、內(nèi)部分隔、內(nèi)部回聲評(píng)分。

圖2.2 有限元分析模型

表2.1 各階頻率計(jì)算值與精確解值的比較

圖2.3 兩等跨連續(xù)梁有限元分析的前3階振型

由表2.1可以看出，由于計(jì)算過(guò)程的近似取值，有限元計(jì)算的頻率值與理論精確解值存在一定的誤差，其相對(duì)誤差不大于5%，在誤差允許范圍內(nèi)。對(duì)比圖1.2與圖2.3可知，兩等跨等截面連續(xù)梁的有限元分析振型與理論振型基本保持一致。因此，利用此有限元模型的計(jì)算結(jié)果為試驗(yàn)提供依據(jù)，是較為真實(shí)可靠的。

為使有限元分析模型與試驗(yàn)條件相一致，在上述模型中槽型梁各跨的四分點(diǎn)分別加一個(gè)1 N的集中荷載，以此來(lái)代替加速度傳感器本身的重力，將跨中支點(diǎn)向左移動(dòng)，并調(diào)整集中荷載的位置，如圖2.4。記下中支點(diǎn)不同偏移量下前3階模態(tài)的頻率值及振型變化趨勢(shì)，其結(jié)果見(jiàn)表2.2及圖2.5—圖2.7。

圖2.4 兩不等跨連續(xù)梁的試驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

表2.2 不同偏移量下的各階計(jì)算頻率

圖2.5 1階振型圖

圖2.6 2階振型圖

圖2.7 3階振型圖

圖2.5—圖2.7為兩不等跨等截面連續(xù)梁不同跨徑比下前3階振型的變化趨勢(shì)。其中，隨著跨徑比的減小，1階振型表現(xiàn)為漸變過(guò)程，即跨徑大的一跨振幅增大，跨徑小的一跨振幅減小，其振型無(wú)本質(zhì)變化；2階振型則在中支點(diǎn)位置發(fā)生了轉(zhuǎn)折，其較大跨的波形從半個(gè)正弦波變成一個(gè)完整的正弦波，較小跨的波形振幅逐漸變小，中支點(diǎn)曲率減小，最終趨于0；3階振型中支點(diǎn)位置也發(fā)生轉(zhuǎn)折，較小跨的波形由一個(gè)完整的正弦波變成半個(gè)正弦波，較大跨則由一個(gè)正弦波變成3/2個(gè)正弦波，中支點(diǎn)曲率變大，達(dá)到最大值時(shí)突變趨近于0。

3 兩不等跨等截面連續(xù)梁的彎曲固有振動(dòng)試驗(yàn)

3.1 試驗(yàn)過(guò)程[11]

本次試驗(yàn)采用的模態(tài)分析方法是錘擊法。將實(shí)驗(yàn)槽型梁布置成兩等跨連續(xù)梁，支承方式為鋼輥軸，采用外直徑為2.5 cm的金屬管；采用6個(gè)加速度傳感器，分別粘合于各跨的四分點(diǎn)和跨中(如圖3.1—3.2)。

對(duì)實(shí)驗(yàn)對(duì)象進(jìn)行錘擊，同時(shí)用INY306U智能信號(hào)采集處理分析儀采集振動(dòng)信號(hào)，通過(guò)BZ2015電荷電壓濾波積分放大器處理振動(dòng)信號(hào)（如圖3.3），發(fā)送到計(jì)算機(jī)的DASP模態(tài)分析程序算出傳遞函數(shù)，和頻率響應(yīng)函數(shù)，對(duì)頻率響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行集總平均，之后選擇合適的頻率定階，最后進(jìn)行復(fù)模態(tài)多自由度擬合，得到結(jié)構(gòu)的固有頻率及其振型。

將實(shí)驗(yàn)對(duì)象的跨中支點(diǎn)往左移動(dòng)10 cm，重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)步驟。以此類(lèi)推，重復(fù)5次，從而獲得不同跨徑比的兩跨連續(xù)梁的固有頻率及其振型。

圖3.1 試驗(yàn)設(shè)備

圖3.2 支承方式

圖3.3 信號(hào)的采集處理設(shè)備

3.2 試驗(yàn)結(jié)果

通過(guò)測(cè)試分析各點(diǎn)的頻響函數(shù)曲線得到連續(xù)梁的前3階模態(tài)頻率及振型幅值，中支點(diǎn)不同偏移下的各階頻率如表3.1所示，各階振型的變化如圖3.4—圖3.6所示。

表3.1 不同偏移量下的各階試驗(yàn)頻率

圖3.4 1階試驗(yàn)振型圖

圖3.5 2階試驗(yàn)振型圖

圖3.6 3階試驗(yàn)振型圖

1階試驗(yàn)振型中，等跨時(shí)，振型相對(duì)中支點(diǎn)反對(duì)稱(chēng)，左半波與右半波大小相等。隨著跨徑比的減小，跨徑大的一邊波形振幅增大，跨徑小的一邊振幅減小。

2階試驗(yàn)振型中，等跨時(shí)振型相對(duì)中支點(diǎn)正對(duì)稱(chēng)，左、右半波大小相等。隨著跨徑比的減小；

（1）中支點(diǎn)處振型曲率逐漸變小，最終趨于0；

（2）振型發(fā)生轉(zhuǎn)折，跨徑大的一邊波形由半波變成全波，且振幅增大，跨徑小的一邊振幅減小；

（3）最終的振型近似于簡(jiǎn)支梁的3階振型、三跨連續(xù)梁的1階振型。

3階試驗(yàn)振型中，等跨時(shí)振型相對(duì)中支點(diǎn)反對(duì)稱(chēng)，左右邊均為完整周期波形且大小相等。隨著跨徑比的減小；

（1）跨徑小的一邊振幅減小，跨徑大的一邊振幅增大；

（2）中支點(diǎn)曲率增大，在跨徑比約3/7時(shí)達(dá)到最大，此時(shí)跨徑小的一邊變成半波；

（3）中支點(diǎn)曲率突變，趨近于0，跨徑大的一邊由一個(gè)完整周期波形變成3/2周期，振型與等跨時(shí)相似。

表3.2為各偏移量下前兩階的有限元分析頻率與試驗(yàn)頻率及其相對(duì)誤差。對(duì)比有限元分析結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果可知，隨著兩跨連續(xù)梁跨徑比的減小，試驗(yàn)梁振型的變化與有限元分析的振型變化趨勢(shì)基本一致。說(shuō)明不同跨徑比的兩跨連續(xù)梁各階振型的變化是真實(shí)的。由于激勵(lì)能量小，對(duì)高階模態(tài)的分析造成一定影響，所以第3階頻率誤差較大，因此并未列出具體誤差數(shù)值。

《橋規(guī)》條文說(shuō)明中指出，汽車(chē)荷載的沖擊系數(shù)可表示為

表3.2 計(jì)算頻率與試驗(yàn)頻率的誤差

式中Yjmax——在汽車(chē)過(guò)橋時(shí)測(cè)得的效應(yīng)時(shí)間歷程曲線上，最大靜力效應(yīng)處量取的最大靜力效應(yīng)值；Ydmax——在效應(yīng)時(shí)間歷程曲線上最大靜力效應(yīng)處量取的最大動(dòng)效應(yīng)值。

梁彎曲時(shí)，距中性層距離為y的纖維應(yīng)變?yōu)?/p>

式中 υ"為中性層的曲率。[12]

根據(jù)力學(xué)原理，有

故彎矩M與曲率υ"為正比關(guān)系，即較大的動(dòng)彎矩只會(huì)發(fā)生在振型曲率的較大處。

按照振動(dòng)理論，梁在荷載作用下的動(dòng)彎矩是其各階振型的線性組合。不同跨徑比的兩跨連續(xù)梁，其1階振型最大曲率均在跨中，最大動(dòng)彎矩也在跨中，這與兩跨連續(xù)梁在均布荷載作用下，最大正靜彎矩的位置基本一致；因此，考慮跨中正彎矩效應(yīng)時(shí)，沖擊系數(shù)按照基頻計(jì)算是合理的。

當(dāng)考慮中支點(diǎn)負(fù)彎矩效應(yīng)時(shí)，1階振型中支點(diǎn)處曲率近似為0，動(dòng)彎矩的基頻分量也為0，沖擊系數(shù)的取值不能按照基頻計(jì)算。由各階振型圖可以看出，等跨時(shí)2階振型中支點(diǎn)的曲率最大，隨著跨徑比的減小中支點(diǎn)曲率逐漸趨于0。根據(jù)計(jì)算及試驗(yàn)結(jié)果，在中支點(diǎn)偏移＜30 cm（跨徑比約＞4/7）時(shí)，沖擊系數(shù)應(yīng)按2階頻率計(jì)算；在跨徑比約＞3/7時(shí)，3階振型中支點(diǎn)的曲率最大，此時(shí)應(yīng)按照3階頻率計(jì)算沖擊系數(shù)。

4 結(jié)語(yǔ)

分析結(jié)果表明

（1）隨著跨徑比的減小，各階振型均發(fā)生變化，中支點(diǎn)處第2、3階振型發(fā)生轉(zhuǎn)折，如圖3.5、3.6；2階振型中支點(diǎn)曲率逐漸減小最終趨近于0，3階振型中支點(diǎn)曲率逐漸增大，在跨徑比約3/7達(dá)到最大，此時(shí)振型發(fā)生突變，中支點(diǎn)曲率趨于0；

（2）不同跨徑比的兩跨連續(xù)梁，其1階振型最大曲率均在跨中，最大動(dòng)彎矩也在跨中，此處的沖擊系數(shù)也最大，因此考慮跨中正彎矩效應(yīng)時(shí)，沖擊系數(shù)按照《橋規(guī)》采用基頻計(jì)算是合理的；

（3）考慮中支點(diǎn)負(fù)彎矩效應(yīng)時(shí)，沖擊系數(shù)則不能按照基頻計(jì)算，而應(yīng)考慮兩種情況：在跨徑比＞4/7時(shí)，可按照2階頻率計(jì)算；當(dāng)4/7＞跨徑比＞3/7時(shí)，應(yīng)按照3階頻率計(jì)算；若跨徑比＜3/7，則須采用更高階頻率；

（4）按照振動(dòng)理論，梁在荷載作用下的動(dòng)彎矩是其各階振型的線性組合。對(duì)于連續(xù)變化跨徑比的連續(xù)梁沖擊系數(shù)的進(jìn)一步確定，可對(duì)所采集的各階振型通過(guò)計(jì)算機(jī)進(jìn)行疊加，但其準(zhǔn)確性還有待探究。

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ModalAnalysis Test of a Two-unequal-span Continuous Beam

ZHENG Yang-kun,YUAN Xiang-rong

(School of Civil Engineering,Guangzhou University,Guangzhou 510006,China)

Influence of the span ratio of a two-unequal-span continuous beam on vibration mode is introduced,and the option of impact factor values is discussed.Using a channel-shaped continuous beam as the model,the finite element analysis code of M idas and the equipment of DASP are respectively employed for modal analysis,and the first three modals and frequencies of the continuous beam w ith different span ratios are obtained.Results of the analyses are compared w ith those of testing,and the vibration mode change is confirmed.The results demonstrate that(1)w ith the decreasing of the span ratio,the turning points of the 2nd and 3rd order modals may appear and the curvature of the vibration mode at the m id support w ill change greatly;(2)when the effect of positive bending moment at the m id-point of the span is considered,the impact factor should be calculated according to the fundamental frequencies shown in the standard of bridge construction; (3)when the effect of negative bending moment at the m id-support is considered,the impact factor should be calculated using the 2nd or 3rd order frequency.

vibration and wave;continuous beams;vibration mode;impact factor;finite element analysis;modal analysis

1006-1355(2014)04-0148-05

TB53；TH113.1 < class="emphasis_bold">文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI編碼：

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.04.032

《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《橋規(guī)》）[1]4.3.2第4條規(guī)定，汽車(chē)荷載的沖擊力標(biāo)準(zhǔn)值為汽車(chē)荷載標(biāo)準(zhǔn)值乘以沖擊系數(shù)μ。第5條規(guī)定，沖擊系數(shù)μ可按下式計(jì)算

2013-08-14

國(guó)家自然科學(xué)基金（基金編號(hào)：51078093，51278137）；廣州市科技計(jì)劃項(xiàng)目（基金編號(hào)：12C42011564）；廣州大學(xué)土木工程學(xué)院碩士研究生創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目

鄭仰坤（1987-），男，廣東，碩士研究生，目前從事橋梁工程、圖像監(jiān)控研究。

E-mail:zheng.yangkun@163.com

袁向榮（1957-），男，河北人，博士，教授，目前從事橋梁工程、圖像工程研究。

E-mail:rongxyuan@163.com