劉芝秀，易 敏

（南昌工程學(xué)院 理學(xué)系，江西 南昌 330099）

Picard定理的一個(gè)教學(xué)注記

劉芝秀，易 敏

（南昌工程學(xué)院 理學(xué)系，江西 南昌 330099）

在復(fù)變函數(shù)教學(xué)過程中一般都含有對著名的Picard大定理和小定理的介紹，甚至證明過程，但若未能明確指出Picard大定理與小定理的等價(jià)性，學(xué)生容易產(chǎn)生Picard小定理不蘊(yùn)含大定理的錯誤猜測，這不利于學(xué)生對Picard定理以及學(xué)科發(fā)展的了解，它們其實(shí)是同樣深刻的等價(jià)定理。該文旨在強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，并利用正規(guī)族理論中的Zalcman-Pang引理證明了Picard大定理和小定理的等價(jià)性。

Picard定理；亞純函數(shù)；正規(guī)族；模分布

0 引言

Picard定理是復(fù)分析中著名且深刻的結(jié)論，是亞純函數(shù)值分布方面的代表性結(jié)果，是復(fù)分析發(fā)展的一個(gè)重要原動力，證明它們產(chǎn)生了許多思想方法[1-3]。因此，大部分復(fù)分析方面教材（即使是入門教材）都對Picard定理進(jìn)行了介紹。所以，在教學(xué)過程中也應(yīng)該特別注意對Picard定理的介紹講解，應(yīng)緊隨學(xué)科的發(fā)展?fàn)顩r。它通常包含兩個(gè)定理：

Picard小定理：若整函數(shù)f(z)不取兩個(gè)復(fù)值a,b(a≠b)，則 f(z)為一個(gè)常數(shù)。

Picard大定理：解析函數(shù)在本性奇點(diǎn)的空心領(lǐng)域內(nèi)無窮多次地取到每一個(gè)有窮復(fù)值，至多可能除去一個(gè)例外值。

這兩個(gè)定理在形式上差別甚大，人們分別冠名于Picard“大”定理與“小”定理。同時(shí)，也有部分文獻(xiàn)筆誤為Picard大定理是Picard小定理的推廣，是更強(qiáng)更深刻的結(jié)論。本來又有“大”定理與“小”定理的名稱之別，這在教學(xué)過程中，較容易給學(xué)生以錯覺，影響教學(xué)工作。事實(shí)上，這兩個(gè)定理是完全等價(jià)的。

明確這一點(diǎn)，得益于亞純函數(shù)正規(guī)族理論的發(fā)展，特別值得一提的是我國數(shù)學(xué)工作者對正規(guī)族理論的發(fā)展做了較多突出的貢獻(xiàn)[4-7]。正規(guī)族理論也有許多的應(yīng)用。例如，在模分布中的應(yīng)用研究就很活躍[8-11]，下文將利用正規(guī)族理論證明著名的Picard大小兩定理的等價(jià)性，這也正好表明了正規(guī)族理論在亞純函數(shù)值分布中很具有應(yīng)用價(jià)值。更多關(guān)于正規(guī)族的概念和相關(guān)理論可參閱文獻(xiàn)[7]，下面僅敘述其中的兩個(gè)引理。

1 引理

引理1[7]設(shè){f(z)}為區(qū)域D內(nèi)的亞純函數(shù)族，這個(gè)族在D內(nèi)正規(guī)的充要條件是它在D內(nèi)每點(diǎn)正規(guī)。

引理2[12-13]（Zalcman-Pang）設(shè){f(z)}為區(qū)域D內(nèi)的亞純函數(shù)族，δ：-1＜δ＜1 為任一實(shí)數(shù)。族{f(z)}在某點(diǎn)Z0∈D正規(guī)的充要條件是存在一列函數(shù)fn(z)∈{f(z)},存在一點(diǎn)列zn→z0及一正數(shù)列tn→0，使函數(shù)列t-δnfn（zn+tnz）fn（z）∈{f(z)}在C上內(nèi)閉一致收斂于非常數(shù)亞純函數(shù)g(z)。

2 等價(jià)性證明

2.1 Picard大定理證明Picard小定理：

設(shè)f(z)為一整函數(shù)，且不取a，b。

（1）若 0 是 g（w）的可去奇點(diǎn)，則 g（w）可解析開拓至擴(kuò)充復(fù)平面C，即有f(z)=g（w）為常數(shù)。

（2）若 0是 g（w）的 m≥1 級極點(diǎn)，設(shè) g（w）=++c0，cm≠0,則 f(z)=cmzm+…+c0,這與 f(z)不取 a，b 矛盾。

綜上所述f(z)為常數(shù)。

2.2 Picard小定理證明Picard大定理

2.2.1 Picard小定理證明Montel正規(guī)定則

Montel正規(guī)定則設(shè){f(z)}為區(qū)域D內(nèi)的全純函數(shù)族，若對于族中每個(gè)f(z)在D內(nèi)恒有f(z)≠0和f(z)≠1，則全純函數(shù)族{f(z)}在區(qū)域D內(nèi)正規(guī)。

證：假設(shè){f(z)}為區(qū)域D內(nèi)不正規(guī)，由引理1可設(shè)在Z0∈D不正規(guī)。

則由引理2并取δ=0可得，存在一列函數(shù)fn(z)∈{f(z)}，存在一點(diǎn)列 zn→z0及一正數(shù)列 tn→0，使函數(shù)列fn(zn+tnz)在C上內(nèi)閉一致收斂于非常數(shù)亞純函數(shù)g(z)。

由于fn(zn+tnz)為全純函數(shù)，所以g(z)為整函數(shù)。根據(jù) Hurwitz定理，因?yàn)?fn(zn+tnz)≠0和 fn(zn+tnz)≠1，所以g(z)≠0和 g(z)≠1，則由 Picard小定理得 g(z)=常數(shù)，矛盾。

2.2.2 Montel正規(guī)定則證明Picard大定理

設(shè)f(z)在z0有一個(gè)本性奇點(diǎn)，不妨設(shè)z0=0否則考慮函數(shù)f(z+z0)。假如存在R，使得有兩個(gè)數(shù)不在{f(z)：0＜|z|＜R}中，我們將得到一個(gè)矛盾。

假如 f(z)≠α，f(z)≠β，0＜|z|＜R，不妨設(shè) α=0，β=1（否則考慮）,設(shè) G=0：0＜|z|＜R。

定義：fn：G→C 為 fn(z)=(),所以每個(gè)fn都是解析的，且都不取0和1，由Montel正規(guī)定則，{fn}在G中是正規(guī)的。

設(shè){fnk}是{fn}的一個(gè)子序列，fnk→φ 在{z：|z|=R}上是一致的。其中φ或者在G內(nèi)是解析的，或者φ=∞。

所以至多有一個(gè)復(fù)數(shù)w1不被f取到。下面再證w2≠w1，被f無窮次取到。若w2只被f有窮多次取到，那么取充分小圓，即得到一個(gè)無心圓，在這個(gè)無心圓內(nèi)，f不取到 w1、w2兩個(gè)值，矛盾。

[1]L.V.Ahlfors.Complex analysis[M].China Machine Press,2004.

[2]S.Gong.Concise complex analysis[M].University of Science&Technology China press,2009.

[3]J.B.Conway.Functions of one complexvariable[M].Berlin：Springer-Verlag,2004.

[4]L.Yang.Value Distribution theory [M].Spring-verlag Belin,1993.

[5]Y.X Gu.Normal family of meromorphic functions[M].Chengdu：Sichuan Education Press,1988.

[6]J.Schiff.Normal families[M].Berlin：Springer-Verlag,1993.

[7]Y.X.Gu,X.C.Pang,M.L.Fang.The theory of normal family and its application[M].Beijin：Sciencep,2007.

[8]M.L.Fang.A note on a problem of Hayman[J].Analysis,2000,20(1)：45-49.

[9]W.Bergweiler,X.C.Pang.On the derivative of meromorphic functions with multiple zero.

[9]W.Bergweiler,X.C.Pang.On the derivative of meromorphic functions with multiple zeros[J].J.Math.Anal.Appl.,2003,278(2)：285-292.

[10]Y.Xu.On the value distribution ofderivatives of meromorphic functions[J].Appl.Math.Lett.,2005,18(5)：597-602.

[11]Y.Xu.Picard values and derivatives of meromorphic functions[J].Kodai Math.J.,2005,28(1)99-105.

[12]X.C.Pang,M.L.Fang,L.Zalcman.Noraml families of holomorphic function with multiple zeros[J].Conf Geom Dyn,2007,11：101-106.

[13]X.J.Huang,Z.X.Liu.A Normal criterion concerning shared Values[J].Acta Math Scientia.2011,31：540–545.

（責(zé)任編輯：陳 輝）

A Teaching Note on Picard Theorem

LIU Zhi-xiu
(Science Department of Nanchang Institute of Engineering,Nanchang,Jiangxi,330099)

Generally,the introduction or even proof on Picard's celebrated theorem is included in the complex function teaching process.But if the teacher does not explicitly point out the equivalence of Picard big theorem and small theorem,students may easily produce wrong guess that the small theorem does not contain the big theorem.This is not conducive to the students’understanding of the Picard theorem as well as the development of the subject.Actually,they are the same equivalence effective theorem.The purpose of this paper is to emphasize this point of view and use the Zalcman-Pang lemma of normal family theory to prove the equivalence of Picard theorems.

Picard theorem;Meromorphic function;normal family;mold distribution

G642

A

123（2014）02-0045-03

2013-10-15

劉芝秀（1982-），女，四川自貢人，南昌工程學(xué)院，碩士，講師。研究方向：復(fù)分析及其應(yīng)用。

易 敏（1963-），男，江西余江人，南昌工程學(xué)院，副教授。研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。