劉景琳

(廣東技術(shù)師范學(xué)院電子與信息學(xué)院，廣州 510665)

自1990年P(guān)ecora和Carrol[1]對2個(gè)不同初始條件的相同混沌系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)同步以來，混沌同步在各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域的潛在應(yīng)用取得了許多研究成果．至今相繼提出了各種同步方案[2-3]：完全同步、相同步、反相同步、廣義同步、滯后同步等．1999年，Mainieri和Rehacek[4]在部分線性系統(tǒng)中觀察到一種新的同步現(xiàn)象——投影同步，即驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)之間的對應(yīng)變量按照一定的比例因子演化，它是一類特殊的廣義同步現(xiàn)象．目前對于投影同步的研究大多是基于驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)之間按某常數(shù)(投影同步)或不同的常數(shù)(修正投影同步)比例因子進(jìn)行同步，或按某一函數(shù)(函數(shù)投影同步)或不同函數(shù)(修正函數(shù)投影同步)的比例因子進(jìn)行同步[5]．近幾年，有學(xué)者將修正函數(shù)投影同步中對稱的比例函數(shù)矩陣變換為更一般的混合函數(shù)矩陣，實(shí)現(xiàn)了更具一般意義上的函數(shù)投影同步[6]．同時(shí)在很多實(shí)際情況下，限于測量條件和工具的限制，很難知道系統(tǒng)參數(shù)的真值，系統(tǒng)的全部參數(shù)是不確定的或部分不確定的，因此在研究系統(tǒng)同步時(shí)兼具研究系統(tǒng)參數(shù)的辨識更具實(shí)際意義．

然而，先前的許多研究成果往往是在整數(shù)階混沌系統(tǒng)領(lǐng)域，研究分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)很少．但在現(xiàn)實(shí)中，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)卻更具有普遍性，具有比整數(shù)階系統(tǒng)更為復(fù)雜豐富的動力學(xué)特性，具有更大的密鑰空間，因而對分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步研究具有更重要的理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義．

基于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，本文通過設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器和參數(shù)更新律，提出了一種自適應(yīng)混合函數(shù)投影同步方案，用分?jǐn)?shù)階Lorenz混沌系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并實(shí)現(xiàn)對響應(yīng)系統(tǒng)所有不確定系統(tǒng)參數(shù)的辨識．

1 分?jǐn)?shù)階微分和系統(tǒng)模型描述

分?jǐn)?shù)階微分的定義有幾種，本文采用常用的Caputo定義[7]，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(1)

其中Dq表示分?jǐn)?shù)階微分的Caputo定義，Γ(·)為伽馬函數(shù)，l-1<α

考慮下述形式的驅(qū)動—響應(yīng)系統(tǒng)

Dqdx=f(x),

(2)

Dqry=g(y,θ)+Ω,

(3)

e=y-K(x)x,

(4)

eθ=θ-θ0,

(5)

Dqrθ=p(x,y,θ),

(6)

其中K(x)是n×n實(shí)矩陣，矩陣元素kij(x)(i,j=1,2,…,n)是連續(xù)有界函數(shù),θ0為θ的真值,p(x,y,θ)是m×(n+m)的實(shí)矩陣，m是不確定系統(tǒng)參數(shù)的數(shù)目．

2 自適應(yīng)混合函數(shù)投影同步方案

當(dāng)K(x)是實(shí)對稱函數(shù)矩陣時(shí)，混合函數(shù)投影同步退化為修正函數(shù)投影同步或函數(shù)投影同步；當(dāng)K(x)是實(shí)常數(shù)對稱矩陣時(shí)，混合函數(shù)投影同步變成修正投影同步或投影同步；當(dāng)K(x)是單位矩陣時(shí)，同步為完全同步；當(dāng)K(x)是負(fù)單位矩陣時(shí)，同步為反同步．由此可見，以往相關(guān)文獻(xiàn)所研究的各種投影同步都是混合函數(shù)投影同步的特例．

對于響應(yīng)系統(tǒng)(3)，定義一個(gè)補(bǔ)償控制器Ω1(x)=Dqr(K(x)x)-g(K(x)x,θ0)，則響應(yīng)系統(tǒng)(3)中的控制器Ω可表示為Ω=Ω1(x)+Ω2，Ω2為一個(gè)n×1的向量函數(shù)陣．因此，響應(yīng)系統(tǒng)(3)可化為Dqry=g(y,θ)+Dqr(K(x)x)-g(K(x)x,θ0)+Ω2．對式(4)兩邊求分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)：

Dqre=Dqry-Dqr(K(x)x)=

g(y,θ)-g(K(x)x,θ0)+Ω2，

(7)

(8)

由于常數(shù)的Caputo微分為零，結(jié)合參數(shù)更新律式(6)，得

Dqrθ=Dqr(θ-θ0)=p(x,y,θ)=

(9)

聯(lián)立式(8)和式(9)，得

(10)

定理1 假設(shè)B(x,y,θ0)和滿足下式

(11)

則

(12)

其中P是實(shí)對稱正定矩陣，Q是實(shí)對稱半正定矩陣，H表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置．

證明假設(shè)為的任一特征值，其對應(yīng)的特征向量為ξ，則

(13)

上式兩邊左乘ξHP,得

(14)

同理，可得

(15)

式(14)、(15)相加，得

結(jié)合式(11)，上式可化為

(16)

又因?yàn)镻是實(shí)對稱正定矩陣，Q是實(shí)對稱半正定矩陣，所以|arg|≥π/2>qrπ/2．

由分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論[8]知式(12)成立，即驅(qū)動系統(tǒng)(2)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)達(dá)到自適應(yīng)混合函數(shù)投影同步．證畢．

3 數(shù)值仿真

分?jǐn)?shù)階Lorenz混沌系統(tǒng)的微分方程為[9]

(17)

圖1 分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)的混沌吸引子

由式(2)、(3)和式(17)列寫分?jǐn)?shù)階Lorenz驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)如下：

(18)

(19)

其中，系統(tǒng)參數(shù)真值(a0,b0,c0)=(10,28,8/3)．

響應(yīng)系統(tǒng)的不確定系統(tǒng)參數(shù)θ=(a,b,c)，參數(shù)更新律為

Dqrθ=p(x,y,θ)=

(20)

依據(jù)上節(jié)的內(nèi)容，可以得出

A(x,y,θ0)=

圖2 Lorenz混沌系統(tǒng)的同步誤差曲線

圖3 不確定系統(tǒng)參數(shù)的辨識曲線

4 結(jié)論

本文基于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，針對分?jǐn)?shù)階Lorenz混沌系統(tǒng)，提出了一種自適應(yīng)混合函數(shù)投影同步方法，并實(shí)現(xiàn)了對響應(yīng)系統(tǒng)所有不確定系統(tǒng)參數(shù)的辨識．仿真實(shí)驗(yàn)表明，響應(yīng)系統(tǒng)在受控的短時(shí)間內(nèi)能與驅(qū)動系統(tǒng)達(dá)到同步．相對于修正函數(shù)投影同步和函數(shù)投影同步采用的對稱函數(shù)矩陣，本文采用的混合函數(shù)矩陣的每個(gè)元素都不為零，同步是在響應(yīng)系統(tǒng)和驅(qū)動系統(tǒng)之間按照任意給定的比例函數(shù)加權(quán)求和進(jìn)行同步，因此增加了同步后混沌系統(tǒng)吸引子的結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度和混沌程度，所以利用混合函數(shù)投影同步進(jìn)行保密通信可增加加密信息的安全性．對通信雙方以外的第三方而言，混合函數(shù)是不可預(yù)知的，從而增加了加密信號在傳輸過程中被截獲破譯的難度，獲得更好的安全性．混合函數(shù)投影同步在外界干擾下和在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的同步及控制問題將是我們下一步研究的方向．

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