鄭芳婷, 趙 浩

(華南師范大學數學科學學院，廣州 510631)

我們稱(α,β)為M-纖維式映射, 記作(α,β):(X1,p1,Y1)→(X2,p2,Y2).對象p:X→Y稱為M-纖維式空間,記作(X,p,Y).范疇MAP中態(tài)的合成為各分量映射的分別合成,即：

(α,β)(θ,φ):(X1,p1,Y1)→(X2,p2,Y2),

(α,β)(θ,φ)=(αθ,βφ).

易見,范疇Top為范疇MAP的子范疇.這種關系暗示可將范疇Top中的性質在范疇MAP中作推廣, 或者把范疇MAP里的命題特殊化到范疇Top進行刻畫說明.在范疇Top中,設空間X的一個子空間為A,如果任意映射X×{0}∪A×I→Y可以擴張成映射X×I→Y,則稱空間偶(X,A)具有同倫擴張性質[3].同倫擴張性質作為代數拓撲的一個基本概念,是研究的重要對象.

本文將范疇Top中的同倫擴張性質推廣到范疇MAP進行刻畫, 并論證若干相關性質.

文獻[3]定義了范疇Top的同倫擴張并給出部分應用, 但未給出嚴格證明. James系統地闡述了纖維式同倫論,描述了與之對偶的空間下范疇同倫論[4], 并分別介紹了纖維式一般拓撲理論與纖維式穩(wěn)定同倫論[5]. Buhagiar[2]將所有連續(xù)映射都處理成對象建立起M-纖維式范疇,并探討纖維式的一般拓撲,推廣了纖維式一般拓撲的理論. Hotta與Miwa[6]系統地建立起范疇MAP的同倫論, 定義了M-纖維式纖維化,由此推廣了文獻[7]中關于纖維范疇的部分重要命題.文獻[8]進一步對M-纖維式纖維化的特征和誘導纖維化進行了研究. 文獻[9]考慮了此范疇中對象的H-性質和CoH-性質. 本文將先建立起M-纖維式范疇中的同倫擴張性質并給出其若干應用,同時將上述命題都特殊化到范疇Top中進行刻畫,由此對應得出關于拓撲范疇中同倫擴張性質的相關結論.

設A0為A的子空間,X0為X的子空間,以下是本文所得主要結論.

定理1 ((A,p,X),(A0,p0,X0))具有同倫擴張性質等價于(A×{0}∪A0×I,p∪p0×id,X×{0}∪X0×I)是(A×I,p×id,X×I)的M-纖維式收縮核.

定理3 若(A×{0}∪A0×I,p∪p0×id,X×{0}∪X0×I)是(A×I,p×id,X×I)的M-纖維式形變收縮核,(f1,f2),(g1,g2):(A0,p0,X0)→(E,f,B)是貼附映射,且(f1,f2)?F(g1,g2).則(E,f,B)(f1,f2)(A,p,X)?M(E,f,B)(g1,g2)(A,p,X)rel(A0,p0,X0).

定理4 映射(α,β):(A,p,X)→(E,f,B)為同倫等價當且僅當(A,p,X)是M-纖維式映射柱M(α,β)的形變收縮核.故M-纖維式空間(A,p,X)與(E,f,B)同倫等價當且僅當存在一個M-纖維式空間同時以(A,p,X)和(E,f,B)為M-纖維式形變收縮核.

上述各定理中所出現的符號說明見第1節(jié).

1 M-纖維式同倫擴張性質

作為拓撲范疇中同倫擴張性質的自然推廣,本節(jié)將在范疇MAP中定義出M-纖維式同倫擴張性質.此處先對后文所涉及的定義和記號進行聲明.

定義1 (α,β):(A,p,X)→(E,f,B)是M-纖維式映射. (A×IE,p×idf,X×IB)以等價關系a×{1}～α(a),x×{1}～β(x)(aA,xX)所作商空間定義為M-纖維式映射柱：

定義2 (A0,p0,X0)是(A,p,X)的子集,(α,β):(A0,p0,X0)→(E,f,B)為M-纖維式映射.定義(a0,p,x0)與(α,β)(a0,p,x0)=(e,f,b)粘合得到的(A,p,X)(E,f,B)的商空間為借助映射(α,β):(A0,p0,X0)→(E,f,B)把(A,p,X)貼附到(E,f,B)的M-纖維式貼附空間,記作(A,p,X)(α,β)(E,f,B).

根據范疇Top的同倫擴張和范疇MAP的概念定義M-纖維式同倫擴張性質如下：

例1 設A0為CW復形A的子復形,X0為CW復形X的子復形,則空間偶(A,A0)與(X,X0)具有同倫擴張性質. 若令映射p0:A0→X0與p：A→X為單值映射且映為X中的相同單點,則((A,p,X),(A0,p0,X0))具有M-纖維式同倫擴張性質.

選取定義5中的M-纖維式映射(α,β)為M-纖維式恒同映射,則可得定理1.

定理1的證明(必要性)由注記1,((A,p,X),(A0,p0,X0))具有同倫擴張性質即當任意映射

(ω,η):(A×{0}∪A0×I,p∪p0×id,X×{0}∪X0×I)→

(E,f,B)

(A×{0}∪A0×I,p∪p0×id,X×{0}∪X0×I)

上的恒同映射能擴張成：

(R,r):(A×I,p×id,X×I)→

(A×{0}∪A0×I,p∪p0×id,X×{0}∪X0×I).

(充分性)記收縮映射為

(R,r):(A×I,p×id,X×I)→

(A×{0}∪A0×I,p∪p0×id,X×{0}∪X0×I),

對于任意給定映射

(ω,η):(A×{0}∪A0×I,p∪p0×id,X×{0}∪X0×I)→

(E,f,B),

有：

(ω,η)

(E,f,B),

由注記1可知((A,p,X),(A0,p0,X0))具有同倫擴張性質.

推論1[3](X，A)具有同倫擴張性質等價于X×{0}∪A×I是X×I的收縮核.

以下給出具體的形變收縮過程,使得上述關于M-纖維式收縮核的等價條件進一步加強為M-纖維式形變收縮核.

性質1 ((A,p,X),(A0,p0,X0))具有同倫擴張性質等價于(A×{0}∪A0×I,p∪p0×id,X×{0}∪X0×I)是(A×I,p×id,X×I)的M-纖維式形變收縮核.

此命題充分性由定理1易見,故此處只給出必要性的證明.

由((A,p,X),(A0,p0,X0))為具有同倫擴張性質的偶對可得收縮映射：

(R,r):(A×I,p×id,X×I)→

(A×{0}∪A0×I,p∪p0×id,X×{0}∪X0×I).

不妨以分量形式記R(a,t)=(R1(a,t),R2(a,t)),r(x,t)=(r1(x,t),r2(x,t)),其中,

則可以得到形變收縮(H,h):(X×I×I,p×id×id,B×I×I)→(X×I,p×id,B×I)：

H(a,t,s)=((1-s)t+sR1(a,t),R2(a,ts))

h(x,t,s)=((1-s)t+sr1(x,t),r2(x,ts)).

推論2[3](X,A)具有同倫擴張性質等價于X×{0}∪A×I是X×I的形變收縮核.

下面找出和M-纖維式同倫擴張性質密切相關的“M-纖維式閉映射柱鄰域”.

性質2 對于M-纖維式偶對((A,p,X),(A0,p0,X0)),若可找到M-纖維式映射(α,β):(BA,pB,BX)→(A0,p0,X0)及同胚(,ξ):M(α,β)→(NA,pN,NX),滿足(NA,pN,NX)為(A0,p0,X0)的M-纖維式閉鄰域,且|A0=idA0,ξ|X0=idX0,則((A,p,X),(A0,p0,X0))具有M-纖維式同倫擴張性質.記AN的邊界(BA)為的邊界ξ(BX)為纖維式空間(NA,pN,NX)稱作(A0,p0,X0)的M-纖維式閉映射柱鄰域.

證明記收縮映射c:I×I→I×{0}∪?I×I,進而有按下述方式定義的映射：

c1:BA×I×I→BA×I×{0}∪BA×?I×I，

c2:BX×I×I→BX×I×{0}∪BX×?I×I，

ci(b,s,t)=(b,p1r(s,t),p2c(s,t))

也為收縮映射.按M-纖維式映射柱中等價條件作商,易得如下方式定義的M-纖維式收縮映射

(R,r):(Mα×I,pM×id,Mβ×I)→

(Mα×{0}∪(A0BA)×I,

pM×{0}∪(p0pB)×I,Mβ×{0}∪(X0BX)×I),

且滿足如下交換

其中pM為按如下商映射交換

誘導的pB×idp0的下放,(w,v)為粘合M-纖維式映射柱中等價類的M-纖維式商映射.

由定理1可知,(M(α,β),(A0,p0,X0)(BA,pB,BX))具有M-纖維式同倫擴張性質,且根據題設,(,ξ):M(α,β)→(NA,pN,NX)為同胚,|A0=idA0,ξ|X0=idX0易得((NA,pN,NX),(A0,p0,X0)也具有M-纖維式同倫擴張性.如下所示誘導：

下證((A,p,X),(A0,p0,X0))具有M-纖維式同倫擴張性質.令(g1,g2):(A,p,X)→(E,f,B),(G1,G2):(A0×I,p0×id,X0×I)→(E,f,B),滿足：

G1|A0×{0}=g1|A0,G2|X0×{0}=g2|X0.

即存在并滿足如下交換：

(1)

(2)

(3)

根據(H,h)定義及交換(1)易得如下交換.

(4)

由((NA,pN,NX),(A0,p0,X0)可M-纖維式同倫擴充,則對于(g1,g2)|(NA,pN,NX):(NA,pN,NX)→(E,f,B)和按如下方式定義的(,):((A0,p0,X0)表示M-纖維式空間(A0,p0,X0)中的元素)

其中

故由定義5知((A,p,X),(A0,p0,X0))具有M-纖維式同倫擴張性質.

2 M-纖維式同倫擴張性質的應用

上一節(jié)討論了((A,p,X),(A0,p0,X0))的M-纖維式同倫擴張性質成立的等價條件.本節(jié)將進一步討論性質應用.首先,假設(A0,p0,X0)是M-纖維式可縮空間,則有定理2.

定理2的證明由于子空間(A0,p0,X0)是可縮的,則設有同倫

(A,p,X).

由于((A,p,X),(A0,p0,X0))具有同倫擴張性質,故上述映射可擴張成(H,h):(A,p,X)×I→(A,p,X)滿足H0=idX,h0=idA而H1(X)與h1(A)為X和A中的單點.

將(A0,p0,X0)映到一點.

故有

(idA/A0,idX/X0),

故(g1,g2)和(α,β)是互為M-纖維式同倫逆的M-纖維式同倫等價.

推論4[3]若(X,A)具有同倫擴張性質且A可縮,則商映射q:X→X/A是同倫等價.

性質3 若((A,p,X),(A0,p0,X0))具有同倫擴張性質且包含映射(i1,i2):(A0,p0,X0)→(A,p,X)是同倫等價,則(A0,p0,X0)是(A,p,X)的形變收縮核.

證明設(r1,r2):(A,p,X)→(A0,p0,X0)是(i1,i2):(A0,p0,X0)→(A,p,X)的同倫等價,即

(r1,r2)(i1,i2)?M(idA0,idX0),

(i1,i2)(r1,r2)?M(idA,idX).

下證(r1,r2)與一收縮映射(R1,R2):(A,p,X)→(A0,p0,X0)同倫.

設(H,h):(A0×I,p0×id,X0×I)→(A0,p0,X0)為(r1,r2)(i1,i2)到(idA0,idX0)的同倫,則

(H,h)(,0)=(r1,r2)()(?(A0,p0,X0).

又根據((A,p,X),(A0,p0,X0))具有M-纖維式同倫擴張性質有(H′,h′):(A×I,p×id,X×I)→(A0,p0,X0),使得：

(H′,h′)(,0)=(r1,r2)() ((A,p,X)),

(H′,h′)|(A0×I,p0×id,X0×I)=(H,h).

推論5[3]若(X,A)具有同倫擴張性質且包含映射i:A→X是同倫等價,則A是X的形變收縮核.

下面將定義3中的映射設定成從(A0,p0,X0)到(E,f,B)的貼附映射,構造出包含(E,f,B)的貼附空間((E,f,B)(α,β)(A,p,X)),并進一步證明偶對((E,f,B)(α,β)(A,p,X),(E,f,B))具同倫擴張性質.

性質4 若((A,p,X),(A0,p0,X0))具有同倫擴張性質,則對于M-纖維式映射(α,β):(A,p,X)→(E,f,B),其貼附空間與(E,f,B)組成的偶對((E,f,B)(α,β)(A,p,X),(E,f,B))滿足同倫擴張性質.

證明由((A,p,X),(A0,p0,X0))具有M-纖維式同倫擴張性質,故可得到收縮映射

(R,r):(A×I,p×id,X×I)→

(A×{0}∪A0×I,p∪p0×id,X×{0}∪X0×I),

進而

(A×{0}∪A0×I,p∪p0×id,X×{0}∪X0×I)

由定理1易見((E,f,B)(α,β)(A,p,X),(E,f,B))具有M-纖維式同倫擴張性質.

推論6[3]若(X,A)具有同倫擴張性質,f:A→Y為連續(xù)映射,則貼附空間YfX與Y組成的偶對(YfX,Y)滿足同倫擴張性質.

以下假設2個從(A0,p0,X0)到(E,f,B)的貼附映射M-纖維式同倫,證明2個貼附空間關于(A0,p0,X0)相對同倫.下面給出定理3的證明.

(H,h):((E,f,B) (A×I,p×id,X×I))×I→

(E,f,B) (A×I,p×id,X×I)

(E,f,B)(f1,f2)(A,p,X),

(E,f,B)(g1,g2)(A,p,X).

對應收縮映射r1,r2的形變收縮記作為(H1,h1)和(H2,h2).

(E,f,B)(g1,g2)(A,p,X)?M(H,h)

(E,f,B)(F1,F2)(A,p,X)rel(A0,p0,X0),

(E,f,B)(f1,f2)(A,p,X)?M(H,h)

(E,f,B)(F1,F2)(A,p,X)rel(A0,p0,X0).

又由于空間相對同倫等價為等價關系可傳遞：

故結論成立.

推論7[3]若(X,A)具有同倫擴張性質,f,g:A→Y是貼附映射且映射f同倫于映射g,則YfX?YgXrelA.

最后利用M-纖維式同倫擴張性質和上述所得結論給出定理4的證明.

下面說明(α,β)為同倫等價?(i1,i2)為同倫等價.

(?)若(α,β)為同倫等價,則由(i1,i2)?M(j1,j2)(α,β)可得(i1,i2)為同倫等價,再根據性質3有(A,p,X)是M-纖維式映射柱M(α,β)的形變收縮核.

(?)若(i1,i2)為同倫等價,由(α,β)=(r1,r2)(i1,i2)得f也是同倫等價

故此命題轉化為(i1,i2):(A,p,X)→M(α,β)為同倫等價?(A,p,X)是M-纖維式映射柱M(α,β)的形變收縮核.下面對此命題展開證明：

(?)顯然,圖中的收縮映射(R1,R2)即為(i1,i2)的同倫逆.

(?)因為(A,p,X)在M(α,β)中有一如性質2定義的閉映射柱鄰域(A,p,X)×[1/2,1],其中映射f令為id(A,p,X),則M(α,β)即為(A,p,X)×[0,1].構造同胚：

(ω,η)(,t)=(,

滿足

(ω,η)|(A,p,X)×{0}=id(A,p,X),

(ω,η)((A,p,X)×{1})=(A,p,X)×{1/2},

(A,p,X)×[0,1/2]-(A,p,X)×{1/2}

推論8[3]映射f:X→Y為同倫等價當且僅當X是映射柱Mf的形變收縮核.故拓撲空間X與Y同倫等價當且僅當存在一個空間以X及Y為形變收縮核.

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