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(浙江工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，浙江 杭州 310014)

對于摩擦碰撞問題，現(xiàn)有的理論多討論剛性物體的正碰撞問題.通過碰撞過程，碰撞物體的法向相對速度發(fā)生改變，而碰撞沖量與法向力方向相同.在考慮不完全彈性碰撞時，即發(fā)生塑性形變的情況，描述碰撞過程的動力學(xué)方程數(shù)目不足以確定碰撞后物體的速度等未知變量，必須增加條件才能使方程組封閉有解.Newton在1686年最早提出將碰撞前后的法向速度之比定義為恢復(fù)因數(shù)e，以此補充正碰撞問題的條件.1817年P(guān)oisson將正碰過程的恢復(fù)階段和壓縮階段的沖量之比來定義恢復(fù)因數(shù)e，顯然兩種定義是一致的.而對于斜碰撞，一般僅僅關(guān)注無摩擦的理想情形.對于有摩擦的情況，Whittaker(1904年)提出了切向沖量等于法向沖量乘以庫倫摩擦系數(shù)，其方向與碰撞前切向滑動速度的方向相反.1984年Kane[1]在關(guān)于雙擺末端與平面碰撞的算例中發(fā)現(xiàn)，利用Whittaker假定的計算結(jié)果會導(dǎo)致碰撞后雙擺的總機械能大于碰撞前的不合理的計算結(jié)果，在隨后的研究工作中，人們先后對此問題產(chǎn)生的原因提出了一些修正方案[2-7]，然而這些方案仍有許多的局限性，且多以定性闡述為主，筆者將以理論推導(dǎo)的形式并配合數(shù)值計算方法來探討研究這一問題.

1 球與彈性半空間碰撞接觸模型物理量計算

以一個小球與彈性平面發(fā)生斜碰撞為研究對象，球的半徑為R，密度為ρ，質(zhì)量為m，球以初速度v0，角速度ω0，沿跟z軸負向呈α夾角與彈性半空間表面發(fā)生碰撞，球質(zhì)心為O，球與半空間表面接觸部分的最低點為P，半空間與P接觸的點為Q.其中，角速度方向以圖示逆時針方向為正，速度方向以座標(biāo)軸正向為正.須說明的是，P和Q兩點不是物體上的固定點，而是在P和Q這兩個位置上的點，兩者接觸面半徑為a.設(shè)接觸面任意一點的法向位移為uz，到接觸中心的水平距離為r，接觸面最低點的壓力為p0，球壓入半空間的最大深度為d(圖1).

圖1 球與平面接觸碰撞模型

對于剛性球與彈性半空間的接觸碰撞模型，根據(jù)彈性理論[8]知當(dāng)彈性半空間上一點分別受法向集中力和切向集中力作用時，在彈性半空間表面處沿z和x方向的位移分別為

(1)

其中：E為彈性半空間彈性模量；μ為泊松比；r=(x2+y2)1/2；G=E/[2(1+μ)]；Fz和F分別為沿接觸面法向和切向的集中力，接觸面上的法向應(yīng)力分布為

(2)

為計算接觸面上的壓入深度，建立圖2所示的接觸積分區(qū)域，有

t2=(ssinφ)2+(r+scosφ)2=r2+s2+2rscosφ

(3)

將式(3)代入式(2)，有

(4)

令α2=α2-r2，β2=rcosφ，有

(5)

因接觸圓邊界上壓力為零，設(shè)s0為方程α2-s2-2βs=0的正根，得接觸圓域的積分上限為

(6)

對式(1)中的uz在接觸圓域進行積分，有

(7)

由于積分的對稱性，β的一次項在φ∈[0,2π]上積分為0，則得接觸面法向位移為

(8)

其中：E*=E/(1-μ2)；r=(x02+y02)1/2且r≤a.

圖2 接觸積分區(qū)域

同理，對于切向分布力

(9)

將式(3)代入式(9)，并令α2=α2-r2和β2=rcosφ，有

(10)

對式(1)中的ux在接觸圓域進行積分，并考慮到積分的對稱性，得到接觸面上的切向位移為

(11)

其中：x0=rcosθ；y0=rsinθ.當(dāng)x0?a時，ux(x0,y0)≈ux(0,0)，可忽略后兩項.并且當(dāng)x0和y0都為0時，有最大切向變形，以其為考察點寫為

(12)

將式(2，9)分別在接觸面上積分可得球?qū)ζ矫娴姆ㄏ蛄颓邢蛄?，?/p>

(13)

(14)

由FN=?UN/?d和FT=?UT/?uQx，分別對d和uQx進行積分，可得彈性半空間的應(yīng)變能近似為法向應(yīng)變能與切向應(yīng)變能之和，可寫為

(15)

根據(jù)牛頓第二定律可得接觸面上壓入深度d的微分方程

(16)

其中：KN=4E*R1/2/(3m)，考慮到球的運動，則d，uQx，p0，a都為時間的函數(shù).

球的動能為平動動能與轉(zhuǎn)動動能之和，寫為

(17)

其中：vOx為球質(zhì)心速度在x方向的分量；vOz為球質(zhì)心速度z方向的分量；J為球的轉(zhuǎn)動慣量，其值為2mR2/5；ω為球自轉(zhuǎn)的角速度.

摩擦損耗的能量是由球與半空間表面接觸位置的相對運動產(chǎn)生的，計Q點沿x方向的速度為vQx，球最低點P相對于Q點的速度為vr，有

vr(t)=vOx(t)+Rω(t)-vQx(t)

(18)

(19)

其中vr的方向以座標(biāo)軸正向為正.

球與彈性半空間組成一個系統(tǒng)，根據(jù)能量守恒定律，系統(tǒng)總能量為上述三部分能量之和且應(yīng)為常數(shù)，其值等于球的初始動能.并且，彈性半空間的應(yīng)變能與摩擦損耗的能量都不小于零.于是球與半空間碰撞后的動能不應(yīng)大于其初始動能，即E1(t)≤E1(0).若不滿足這一條件，則有悖于能量守恒定律.

2 數(shù)值離散

對于式(16)給出的d(t)的微分方程很難得到其解析解，但故而采用數(shù)值方法進行近似計算.設(shè)Δt為很短的一段時間，由中心差分法可以得到d(t)的二階差分式

(20)

于是，將d(t)離散成n個時刻的值，相鄰時刻的時間間隔均為h，即h為時間步長，得到離散形式為

(21)

球剛剛接觸到彈性半空間時記為0時刻，此時的最大壓入深度d(1)=0，球與半空間沒有相互作用力，近似認為d(2)=-hvOz.在h較小的時候可以較精確地得到d的近似值.

球心法向速度的正方向與壓入深度相反，其大小等于d(t)的一階導(dǎo)數(shù)，由中心差分法得

(22)

將其離散得

(23)

發(fā)生動摩擦?xí)r，令摩擦力方向與P和Q相對速度方向相反，按庫倫摩擦定律可得球?qū)椥园肟臻g表面切向力FT的離散形式

(24)

由式(14)可得

(25)

在較短的時間間隔內(nèi)，將FT(t)近似視為隨時間呈線性變化，根據(jù)沖量定理可得

(26)

將其離散得

(27)

同理，對于角速度ω(t)有

(28)

將其離散得

(29)

Q點速度為Q點位移的一階導(dǎo)數(shù)，由中心差分法可知

(30)

將其離散得

(31)

于是可以得到相對速度的離散形式

vr=vOx+Rω-vQx

(32)

再根據(jù)式(15，17，19)得到能量的離散形式，設(shè)i為正整數(shù)，從2～(n-1)變化時，有

(33)

(34)

(35)

在先得出d數(shù)值解的基礎(chǔ)上，由離散公式計算剛性球與彈性半空間碰撞過程中各個物理量的近似值.在靜摩擦情況下，Q點隨P點運動，而切向力應(yīng)由Q點位移確定，同時切向力影響著P點的運動速度，在此復(fù)雜的耦合狀態(tài)下，可用增量法得到近似的解.在變力條件下，對球心O點，可設(shè)

(36)

(37)

(38)

同理可得，P點由角速度產(chǎn)生的位移為

(39)

其中：k1≈-[FT(t)-FT0]R/(tJ)；角加速度β0=-FT0R/J.當(dāng)t→0時，uOx(t)和uω(t)能取到比較精確的值.此時忽略t的三次項，得到Q點位移的增量式，將其離散得

(40)

切向力的離散形式為

(41)

此時不發(fā)生動摩擦，P和Q相對速度為零，無摩擦損耗.要注意的是，動靜摩擦之間的變換可能發(fā)生于離散后的兩個相鄰時刻之間，對此可用插值法修正來得到更接近實際情況的結(jié)果.

3 結(jié) 論

剛性球與彈性半空間發(fā)生帶有摩擦的斜碰撞問題，會出現(xiàn)物體機械能增大這一與能量守恒定律相悖的現(xiàn)象，筆者在研究中采用了解析的方法推導(dǎo)出碰撞接觸點處位移的微分方程，并通過數(shù)值方法求解這種二階非常規(guī)的微分方程，對于各物理量同時進行了數(shù)值離散，這種方法為發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)能量不守恒的原因提供了一種可行的解決途徑，由于篇幅所限，具體的計算結(jié)果將另文發(fā)表.

參考文獻：

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[8] 徐芝綸.彈性力學(xué)[M].3版.北京：高等教育出版社,1978.