薛陶 馮蘊(yùn)雯 秦強(qiáng)

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，陜西 西安 710072)

在飛機(jī)、艦艇等復(fù)雜重要裝備中，為了滿足一定的可靠性要求或精度要求，通常采用K/N 冷備份冗余技術(shù):在N 個(gè)相同的系統(tǒng)中，需要K 個(gè)系統(tǒng)同時(shí)工作，N -K 個(gè)系統(tǒng)處于備份狀態(tài)［1］;同時(shí)，為了降低裝備故障后的保障費(fèi)用，K/N 冷備份冗余系統(tǒng)大量使用可修復(fù)備件，該類備件的一個(gè)顯著特點(diǎn)是周轉(zhuǎn)時(shí)間長(zhǎng).然而，周轉(zhuǎn)時(shí)間再長(zhǎng)，可修復(fù)備件總有一定的報(bào)廢率.因此，在考慮可修復(fù)備件存在報(bào)廢情況下，合理分配備件費(fèi)用以實(shí)現(xiàn)K/N 冷備份冗余系統(tǒng)最大的備件保障效能具有重要的意義.

目前，國(guó)內(nèi)外關(guān)于K/N 冷備份冗余系統(tǒng)備件的研究較少.文獻(xiàn)［2-4］中較早研究了K/N 冷備份問題，建立了部件級(jí)冗余備件優(yōu)化模型;文獻(xiàn)［5］中研究了備件保障與裝備戰(zhàn)備完好性的關(guān)系，應(yīng)用Metric方法建立了單層兩級(jí)的可修復(fù)備件優(yōu)化模型;文獻(xiàn)［6］中用馬爾可夫鏈描述了冷備份系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程并建立了計(jì)算備件數(shù)量的解析法;文獻(xiàn)［7］中分析了K/N 冷備份冗余系統(tǒng)的建模方法，給出了準(zhǔn)確的和近似的兩種計(jì)算單層單級(jí)K/N 冷備份可用度的方法;文獻(xiàn)［8］假設(shè)冷備份冗余系統(tǒng)中所有子系統(tǒng)的部件相同，在此基礎(chǔ)上分析了單部件的可用度，并給出系統(tǒng)可用度的計(jì)算方法;文獻(xiàn)［9］中建立了艦艇隨行有冗余度的單級(jí)備件模型.以上文獻(xiàn)在建立模型時(shí)均沒有考慮可修復(fù)備件的報(bào)廢問題.文獻(xiàn)［10］以冷備份系統(tǒng)中的序列結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，建立了不可修復(fù)備件的系統(tǒng)優(yōu)化模型.

由此可見，在已有的K/N 冷備份冗余系統(tǒng)備件相關(guān)文獻(xiàn)中，備件或者是一直可修復(fù)［2-9］，或者是不可修復(fù)［10］.而實(shí)際情況是可修復(fù)備件的周轉(zhuǎn)次數(shù)往往有限，也存在一定的報(bào)廢［11］，若不考慮報(bào)廢，備件的預(yù)測(cè)結(jié)果(如需求量、可用度等)將會(huì)失真.針對(duì)該問題，文中以單層兩級(jí)K/N 冷備份冗余系統(tǒng)可修復(fù)備件為研究對(duì)象，在考慮可修復(fù)備件存在報(bào)廢的情況下，以給定的目標(biāo)可用度為約束條件、最小化備件費(fèi)用為目標(biāo)建立優(yōu)化模型，并對(duì)其結(jié)果進(jìn)行分析.

1 問題描述及分析

文中研究的K/N 冷備份冗余系統(tǒng)是指:開始時(shí)可用系統(tǒng)數(shù)(如編隊(duì)執(zhí)行任務(wù)的飛機(jī)架數(shù))為N，滿足任務(wù)的最小系統(tǒng)數(shù)為K(K≤N)，N -K 個(gè)系統(tǒng)處于冷備份狀態(tài).每個(gè)任務(wù)系統(tǒng)由m 個(gè)不同的部件串聯(lián)組成，任意一個(gè)部件的失效都會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)故障;若K 個(gè)系統(tǒng)中任意一個(gè)系統(tǒng)發(fā)生故障，則用處于冷備份狀態(tài)的系統(tǒng)進(jìn)行更換，之后對(duì)故障系統(tǒng)進(jìn)行診斷，發(fā)現(xiàn)失效部件后，用備件進(jìn)行替換修理，修理完成的系統(tǒng)重新進(jìn)入冷備份系統(tǒng)中.若因缺少備件而無法修理故障系統(tǒng)，從而導(dǎo)致無系統(tǒng)備份時(shí)，任意任務(wù)系統(tǒng)發(fā)生故障將會(huì)導(dǎo)致整個(gè)任務(wù)的失敗.K/N 冷備份冗余系統(tǒng)結(jié)構(gòu)見圖1.

圖1 K/N 冷備份冗余系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of K/N cold-standby redundant system

令I(lǐng)={LRU1，LRU2，…，LRUm}，LRUm表示第m 個(gè)在線可更換單元(LRU)，假設(shè)部件i (iI)是兩級(jí)修理體制，即基地修理(簡(jiǎn)稱基地)和中心修理(簡(jiǎn)稱中心)，且報(bào)廢只能在中心進(jìn)行.設(shè)不同位置的修理集合為W= {No，N1，N2，…，Nq}，No表示中心修理，N1，N2，…，Nq表示q 個(gè)不同基地的修理.設(shè)部件i(iI)在基地n(n{N1，N2，…，Nq})的年故障率為gin、修理概率為rin，在中心的修理概率為rio，在基地、中心的修理時(shí)間分別為tin，基地因缺少備件而向中心申請(qǐng)訂貨及運(yùn)輸時(shí)間為考慮到可修復(fù)備件的報(bào)廢，在中心要進(jìn)行外部采購，假設(shè)采購時(shí)間為，考慮報(bào)廢后備件的兩級(jí)維修供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)見圖2.

圖2 考慮報(bào)廢后的兩級(jí)維修網(wǎng)絡(luò)Fig.2 Two-echelon repair network considering scrap

相比無備份系統(tǒng)，K/N 系統(tǒng)一般具有較高的初始可用度，其大小取決于可備份數(shù)量N - K，但K/N系統(tǒng)若要保持更高的可用度和降低保障費(fèi)用，必須進(jìn)行備件的儲(chǔ)備及維修.備件報(bào)廢后，通過控制采購時(shí)間以掌握不同時(shí)間對(duì)系統(tǒng)可用度的影響，從而為裝備維修規(guī)劃的制定提供參考.

2 模型的建立

2.1 假設(shè)條件

(1)系統(tǒng)的故障部件由其備件進(jìn)行替換，替換時(shí)間忽略不計(jì)，且系統(tǒng)間不存在串件拼修;

(2)系統(tǒng)內(nèi)各部件相互獨(dú)立，其失效時(shí)間服從指數(shù)分布，任意一部件失效均會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)失效;

(3)故障件送修服從(S - 1，S)庫存策略，即不存在批次性送修，故障件是一對(duì)一的替換或采購;

(4)故障件的修理和運(yùn)輸過程相互獨(dú)立，不考慮維修點(diǎn)之間的補(bǔ)給優(yōu)先權(quán)以及故障件之間的維修優(yōu)先權(quán)，修理過程服從先到先服務(wù)的保障策略.

2.2 模型描述

依據(jù)Metric 理論［12］，庫存系統(tǒng)在任意時(shí)刻t 的庫存量S(t)、現(xiàn)貨量H(t)、供應(yīng)渠道件數(shù)D(t)、短缺數(shù)B(t)之間存在如下平衡關(guān)系:

設(shè)tM為K/N 系統(tǒng)的任務(wù)時(shí)間，ta為實(shí)際工作時(shí)間，為部件i 在基地和中心的備件數(shù)，A 為系統(tǒng)可用度(它是備件儲(chǔ)備量的函數(shù))，A*為目標(biāo)可用度，則只有當(dāng)系統(tǒng)工作時(shí)間大于或等于任務(wù)時(shí)間時(shí)，裝備系統(tǒng)才處于完好可用狀態(tài)，因此，系統(tǒng)的可用度可表示為

在K/N 冷備份系統(tǒng)中，有N -K 個(gè)系統(tǒng)處于備份狀態(tài)，K 個(gè)系統(tǒng)處于可用狀態(tài)時(shí)，P(ta≥tM)近似等于備件短缺數(shù)B 小于等于備份系統(tǒng)數(shù)N-K 的概率，即

因此，在保證系統(tǒng)可用度達(dá)到A*的前提下，應(yīng)使備件費(fèi)用最低，其優(yōu)化模型為

式中，ci為部件i 的單價(jià)，Sin為部件i(iI)在修理點(diǎn)n(nW)處的備件庫存量.

2.3 考慮報(bào)廢后供應(yīng)渠道期望及方差的計(jì)算

(1)模型假設(shè)部件的壽命服從指數(shù)分布，因此，部件i 在基地的使用需求服從泊松分布，由圖2 知，部件在基地的初始需求泊松流gin被分成了基地修理、中心修理和中心報(bào)廢后采購3 部分，且這3 部分的泊松流之間相互獨(dú)立，按照部件故障后的修理概率，這3 部分的需求泊松流值分別為ginrin、gin(1 -rin)rio、gin(1 -rin)(1 -rio).設(shè)gio為部件i 在中心的泊松流，則gio在數(shù)值上等于中心修理的泊松流與報(bào)廢后采購泊松流之和.

設(shè)部件i 在報(bào)廢后采購的時(shí)間為tPio，該時(shí)間為一隨機(jī)變量，令為的數(shù)學(xué)期望，由帕爾姆定理［13］的使用條件可知，因采購時(shí)間延誤而引起的供應(yīng)渠道為gin(1 - rin)(1 - rio).

由圖2 可以看出，基地修理的供應(yīng)渠道件數(shù)Xin由基地在修件數(shù)、中心修理點(diǎn)短缺數(shù)、訂貨及運(yùn)輸件數(shù)3 部分組成.其中，中心修理點(diǎn)短缺數(shù)由中心修理延誤和報(bào)廢后采購延誤所導(dǎo)致.由于假設(shè)是無限維修渠道，部件需求服從泊松分布，因此，供應(yīng)渠道件數(shù)可應(yīng)用帕爾姆定理，即

(2)與一般的備件庫存優(yōu)化不同，K/N 冷備份系統(tǒng)要考慮系統(tǒng)的任務(wù)時(shí)間tM，在tM內(nèi)的修理或采購才會(huì)有意義.因此，在應(yīng)用帕爾姆定理時(shí)，需對(duì)時(shí)間進(jìn)行修正，計(jì)算時(shí)間應(yīng)取tM與修理、采購時(shí)間的最小值.

(3)令在中心修理的部件i 來自基地n 的比例為fin，則

設(shè)中心因延誤而導(dǎo)致的期望短缺數(shù)為E{Bio}，該短缺數(shù)為所有基地短缺數(shù)之和，那么來自基地維修點(diǎn)n 的期望短缺數(shù)為finE{Bio}，結(jié)合式(1)及(3)，基地修理的供應(yīng)渠道件數(shù)Xin的期望及方差分別為

當(dāng)部件在中心修理時(shí)，來自基地的泊松流gin(1 -rin)被分成了修理和報(bào)廢后采購兩部分，由于中心點(diǎn)不存在申請(qǐng)延誤，因此，根據(jù)泊松分布，中心點(diǎn)的供應(yīng)渠道件數(shù)的期望E{Xio}和方差var{Xio}相等，即

2.4 備件短缺數(shù)期望及方差的計(jì)算

根據(jù)式(1)及短缺數(shù)的定義，當(dāng)供應(yīng)渠道件數(shù)大于庫存量時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生短缺，因此有

同理，可以得到短缺數(shù)平方的期望:

根據(jù)文獻(xiàn)［14-15］中方法，可由差均比值υ=var{Xin}/E{Xin}來近似確定P(Xin).當(dāng)υ=1 時(shí)，P(Xin)服從泊松分布;當(dāng)υ ＜1 時(shí)，P(Xin)服從二項(xiàng)分布;當(dāng)υ＞1 時(shí)，P(Xin)服從負(fù)二項(xiàng)分布.

2.5 備件短缺數(shù)分布的確定

根據(jù)K/N 系統(tǒng)內(nèi)部各部件相互獨(dú)立的假設(shè)條件，設(shè)單個(gè)系統(tǒng)的期望短缺數(shù)、方差分別為E{B}、var{B}，結(jié)合2.4 節(jié)的單部件短缺數(shù)期望及方差的計(jì)算方法，得到

3 優(yōu)化算法

與其他算法相比，邊際分析法具有操作簡(jiǎn)便、計(jì)算準(zhǔn)確度高的特點(diǎn)，國(guó)外的先進(jìn)備件模型(如瑞典的OPUS10、美國(guó)的VMETRIC)均將其作為核心算法［14］，文中也采用該方法對(duì)模型進(jìn)行求解.在運(yùn)用邊際分析法進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算時(shí)，分別計(jì)算備件在基地和中心的邊際增量，選取邊際值最高的備件進(jìn)行可用度計(jì)算，直至系統(tǒng)的可用度大于目標(biāo)可用度，優(yōu)化算法的具體步驟如下:

(1)初始化中心和基地的備件數(shù)為0，即Sinba=(0，0，…，0)，Sino=(0，0，…，0);

(2)對(duì)每個(gè)備件i，計(jì)算備件數(shù)量增加1 個(gè)時(shí)其在中心和基地的邊際增量，選取增量最大的備件;

(3)將備件短缺數(shù)的分布情況代入式(2)，計(jì)算此時(shí)系統(tǒng)的可用度A(Sinba，Sino);

(4)將系統(tǒng)可用度A(Sinba，Sino)與目標(biāo)可用度A*進(jìn)行比較，若A(Sinba，Sino)＜A*，則返回步驟(2)，否則確定備件優(yōu)化配置，結(jié)束循環(huán).

4 算例分析

艦艇用相陣控雷達(dá)是一個(gè)3/5 冷備份冗余系統(tǒng)，每次開機(jī)保持3 套雷達(dá)系統(tǒng)警戒，另外2 套處于備份狀態(tài)，每套雷達(dá)系統(tǒng)由5 個(gè)關(guān)鍵的不相同的LRU 組成，LRU 的相關(guān)參數(shù)見表1，系統(tǒng)采用兩級(jí)維修供應(yīng)體制，即按“中心-基地”方式運(yùn)行.在規(guī)定的任務(wù)時(shí)間內(nèi)，目標(biāo)可用度A*為0.95，該數(shù)據(jù)的設(shè)置參考了文獻(xiàn)［7］，在工程實(shí)際中，用戶可根據(jù)要求自行設(shè)置A*值(如A*=0.80，0.90，0.95，0.98，…)，理論上A*［0，1］.

表1 單套雷達(dá)系統(tǒng)備件清單及相關(guān)參數(shù)Table 1 List of spare parts for a single radar system and their relative parameters

采用Matlab 編程實(shí)現(xiàn)文中提出的優(yōu)化算法，經(jīng)過11 次迭代得出系統(tǒng)的可用度為0.955 3，備件總費(fèi)用為3700 元.為了分析不同采購時(shí)間、任務(wù)時(shí)間tM對(duì)系統(tǒng)可用度A 的影響，取3 組數(shù)據(jù)(①=0.2 a，tM=0.3 a;②=0.5 a，tM=0.3 a;③=0.5 a，tM=0.6 a)進(jìn)行計(jì)算，得到這3 種情況下的備件費(fèi)用和系統(tǒng)可用度曲線，如圖3 所示，求出的備件配置數(shù)據(jù)見表2，其中，C 為每種情況下的備件總費(fèi)用，這3 組數(shù)據(jù)考慮了備件報(bào)廢的情況.為與傳統(tǒng)的不考慮報(bào)廢情況進(jìn)行對(duì)比，現(xiàn)以數(shù)據(jù)①為例進(jìn)行計(jì)算分析，兩種情況下的備件費(fèi)用和系統(tǒng)可用度對(duì)比如表3 所示.

圖3 不同采購時(shí)間和任務(wù)時(shí)間下的最優(yōu)效費(fèi)曲線Fig.3 Curves of optimal effectiveness vs cost under different procurement time and mission time

表2 不同采購時(shí)間和任務(wù)時(shí)間下的備件優(yōu)化配置Table 2 Optimal configuration of items under different procurement time and mission time

表3 報(bào)廢對(duì)備件優(yōu)化配置的影響Table 3 Effect of scrap on optimal configuration of spare parts

由圖3 和表2 可以看出，備件采購時(shí)間和任務(wù)時(shí)間越小，系統(tǒng)的初始可用度越高，3 種情況下的初始可用度最大為0.695 3，最小為0.406 9，兩者相差0.2884.隨著備件投資費(fèi)用的增加，3 種情況下的可用度均提高，效費(fèi)比(曲線的斜率)近似相等.其中，情況①在備件費(fèi)用為3 700 元時(shí)首先超過目標(biāo)可用度0.95 達(dá)到0.955 3;情況②在可用度為0.953 7時(shí)，備件投資花費(fèi)5 050 元;情況③最后滿足目標(biāo)可用度要求，備件投資花費(fèi)6900 元.由此可見，較小的采購時(shí)間和任務(wù)時(shí)間可以使系統(tǒng)獲得較高的可用度，對(duì)于目標(biāo)可用度要求不高的系統(tǒng)，如A*= 0.7 ，算例中的情況①幾乎不用儲(chǔ)備備件即可滿足要求.

從表3 可以發(fā)現(xiàn)，K/N 冷備份系統(tǒng)可修復(fù)備件模型是否考慮備件報(bào)廢會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，求解兩者的可用度A 均滿足大于目標(biāo)可用度0.95 的要求，但不考慮報(bào)廢的費(fèi)用(3 850 元)較考慮報(bào)廢的費(fèi)用(3700 元)增加了4.05%，由此可見，傳統(tǒng)的方法計(jì)算較保守.

圖3 中，情況①與情況②的任務(wù)時(shí)間相同(均為0.3年)，但前者的報(bào)廢后采購時(shí)間(0.2年)較后者的0.5年小0.3年，在兩者均達(dá)到目標(biāo)可用度0.95 時(shí)，備件費(fèi)用相差5 050 -3 700=1 350 元，因此，在K/N 冷備份系統(tǒng)中應(yīng)盡量縮短備件報(bào)廢后的采購時(shí)間.從圖3 還可以看出，情況②與情況③的采購時(shí)間均為0.5年，但前者的任務(wù)時(shí)間比后者小0.3年，在滿足目標(biāo)可用度要求下，情況②比情況③節(jié)約的備件費(fèi)用為6900 -3 700=3 200 元.由此可見，對(duì)于采購時(shí)間無法改變的情況下，增加系統(tǒng)任務(wù)時(shí)間必須提高備件的保障費(fèi)用，方能保證最終的可用度要求.

5 結(jié)論

在考慮報(bào)廢情況下，文中以備件費(fèi)用最低為優(yōu)化目標(biāo)，建立了一種K/N 冷備份冗余系統(tǒng)的可修復(fù)備件優(yōu)化模型，確定了模型的目標(biāo)函數(shù)和約束關(guān)系式，提出了考慮報(bào)廢后可修復(fù)備件保障效能的分析流程和方法.算例分析結(jié)果表明，在K/N 冷備份系統(tǒng)中考慮報(bào)廢可修復(fù)備件后，其采購時(shí)間的長(zhǎng)短對(duì)備件保障費(fèi)用有著顯著的影響(在文中算例中，相同任務(wù)時(shí)間內(nèi)，0.2年的采購時(shí)間較0.5年可節(jié)約26.7%的費(fèi)用).與相關(guān)文獻(xiàn)研究成果相比，文中模型更加符合工程實(shí)際，可為裝備維修規(guī)劃的制定提供有益的參考.

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