蘇進(jìn)展 方宗德 蔡香偉

(1.長安大學(xué) 道路施工技術(shù)與裝備教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710064;2.西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，陜西 西安 710072)

傳動(dòng)誤差是由齒面非共軛特性和嚙合剛度變化的共同作用產(chǎn)生的，它包括動(dòng)態(tài)性能和強(qiáng)度狀況等信息.大量的理論研究和試驗(yàn)已經(jīng)充分證明了傳動(dòng)誤差對(duì)動(dòng)態(tài)特性有直接的影響.國內(nèi)外學(xué)者通過優(yōu)化設(shè)計(jì)、高重合度設(shè)計(jì)、修形等方法來改善弧齒錐齒輪的嚙合特性［1-5］.但傳統(tǒng)的二階拋物線傳動(dòng)誤差在嚙入和嚙出時(shí)的一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)是相反的，易引起齒對(duì)間的振動(dòng)和沖擊，并削弱齒根強(qiáng)度.Stadtfled［6］研究了螺旋錐齒輪高階傳動(dòng)誤差，并驗(yàn)證了其能降低齒輪副的振動(dòng)和噪聲.Wang 等［7-8］通過修改小輪徑向刀位的方法來實(shí)現(xiàn)四階傳動(dòng)誤差曲線.魏冰陽等［9］提出了基于高階變性法的螺旋錐齒輪高階傳動(dòng)誤差設(shè)計(jì)方法，以改善齒輪副的嚙合性能.Lee［10］提出了四階傳動(dòng)誤差的圓柱齒輪修形方法，以提高齒根強(qiáng)度和降低齒輪副的振動(dòng)噪聲.盛鋼等［11］提出了斜齒輪四階傳動(dòng)誤差的設(shè)計(jì)方法，以降低誤差敏感性.筆者提出了預(yù)置四階傳動(dòng)誤差曲線，以改善圓弧齒圓柱齒輪的嚙合穩(wěn)定性和齒根強(qiáng)度［12］.

鑒于二階拋物線傳動(dòng)誤差在改善齒輪動(dòng)力學(xué)特性方面存在的不足，以及現(xiàn)階段對(duì)高階傳動(dòng)誤差的設(shè)計(jì)原理及減振降噪機(jī)理缺乏深入的研究，文中提出了一種預(yù)置重合度的傳動(dòng)誤差設(shè)計(jì)方法，以滿足齒輪副設(shè)計(jì)重合度和位置對(duì)稱性要求，并預(yù)置四階傳動(dòng)誤差表達(dá)式，通過幾何約束方程求解其系數(shù)，結(jié)合傳動(dòng)誤差定義獲得大輪和小輪嚙合轉(zhuǎn)角的關(guān)系式，再由逆輪齒接觸分析(TCA)方法反求滾比多項(xiàng)式系數(shù)，最后借助輪齒承載接觸分析(LTCA)［13］和齒面相對(duì)修形圖對(duì)具有四階傳動(dòng)誤差的弧齒錐齒輪進(jìn)行比較和分析.

1 對(duì)稱傳動(dòng)誤差的設(shè)計(jì)

理想的傳動(dòng)誤差曲線是形狀中凸、相鄰齒對(duì)相交的曲線.采用基于局部綜合法［14］或局部共軛原理設(shè)計(jì)的齒輪副，經(jīng)常出現(xiàn)傳動(dòng)誤差開口過大或過小甚至反向，形狀整體歪斜或左右不對(duì)稱以及發(fā)生S型畸變等缺陷，無法實(shí)現(xiàn)預(yù)置的嚙合傳動(dòng)性能.對(duì)稱傳動(dòng)誤差是指以設(shè)計(jì)參考點(diǎn)為對(duì)稱中心，嚙入、嚙出點(diǎn)的幅值和嚙入、嚙出時(shí)間相等，且曲線形狀完全對(duì)稱.圖1 為局部綜合法設(shè)計(jì)參數(shù)示意圖，包括接觸跡線方向角η2和設(shè)計(jì)參考點(diǎn)M0位置.

嚙入、嚙出位置關(guān)于點(diǎn)M0對(duì)稱的設(shè)計(jì)流程如圖2 所示，首先討論給定設(shè)計(jì)重合度下嚙入和嚙出時(shí)間相等的傳動(dòng)誤差設(shè)計(jì)，具體步驟如下:

圖1 局部綜合參數(shù)示意圖Fig.1 Sketch of local synthesis parameters

(1)給定參考點(diǎn)M0的局部綜合參數(shù)，通過主動(dòng)設(shè)計(jì)獲得小輪機(jī)床加工參數(shù)［15］.

(2)由TCA 和大輪齒頂、小輪齒頂嚙合的幾何條件計(jì)算出嚙入位置Tin和Tout，M0的嚙合位置T0由局部綜合法直接算出.

(4)定義設(shè)計(jì)重合度εr為主動(dòng)輪輪單齒從進(jìn)入嚙合到退出嚙合的總嚙合時(shí)間和嚙合周期Tmesh的比值.若由TCA 得到的εr小于或大于預(yù)定的設(shè)計(jì)重合度ε0，則可以減小或增大接觸跡線的方向角η2.

圖2 位置對(duì)稱性設(shè)計(jì)流程圖Fig.2 Flowchart of position symmetry design

2 四階拋物線傳動(dòng)誤差的設(shè)計(jì)原理

由局部綜合法和主動(dòng)設(shè)計(jì)所得到的傳動(dòng)誤差近似為二階拋物線傳動(dòng)誤差.拋物線傳動(dòng)誤差具有穩(wěn)定的嚙合傳動(dòng)性能，能夠吸收由安裝誤差產(chǎn)生的線性誤差，經(jīng)過合理設(shè)計(jì)可以滿足航空弧齒錐齒輪的高強(qiáng)度、低噪聲要求.二階拋物線傳動(dòng)誤差的系數(shù)ap通過嚙合轉(zhuǎn)換點(diǎn)的幅值或者嚙入、嚙出點(diǎn)幅值就可以求出.在設(shè)計(jì)重合度相同的條件下，嚙合轉(zhuǎn)換點(diǎn)和嚙入、嚙出點(diǎn)的傳動(dòng)誤差均隨拋物線系數(shù)ap的增大而增大;雖然ap的增大可以避免重載下過早出現(xiàn)邊緣接觸，但在輕載、中載工況下的承載傳動(dòng)誤差波動(dòng)會(huì)增大，從而引起傳動(dòng)系統(tǒng)較大的振動(dòng)與噪聲.嚙合轉(zhuǎn)換點(diǎn)處的傳動(dòng)誤差幅值會(huì)影響齒輪副輕載下的振動(dòng)特性及承載傳動(dòng)誤差最小波動(dòng)量對(duì)應(yīng)的載荷.圖3 所示為二階和四階拋物線傳動(dòng)誤差示意圖，其中二階拋物線傳動(dòng)誤差的嚙入、嚙出位置及幅值是對(duì)稱的.

在此基礎(chǔ)上，文中提出了設(shè)計(jì)重合度和嚙入、嚙出點(diǎn)幅值均與二階對(duì)稱拋物線傳動(dòng)誤差相同，但能夠根據(jù)不同需求調(diào)整嚙合轉(zhuǎn)換點(diǎn)幅值的弧齒錐齒輪四階拋物線傳動(dòng)誤差的設(shè)計(jì)方法.四階拋物線傳動(dòng)誤差是由四次項(xiàng)和二次項(xiàng)組成，其表達(dá)式為

(1)嚙合轉(zhuǎn)換點(diǎn)T0－0.5Tmesh處的傳動(dòng)誤差幅值可以根據(jù)安裝誤差條件下避免出現(xiàn)邊緣接觸和實(shí)際工況載荷下承載傳動(dòng)誤差波動(dòng)量最小來確定，即

式(2)和(3)可以寫成線性方程組的形式

求解上述線性方程，即可確定系數(shù)a 和b.

從前面分析可知，式(2)保證了嚙合轉(zhuǎn)換點(diǎn)的傳動(dòng)誤差幅值可根據(jù)不同需求進(jìn)行調(diào)整.而式(3)滿足了四階拋物線傳動(dòng)誤差在嚙入或嚙出點(diǎn)的幅值與拋物線傳動(dòng)誤差幅值相等的條件，保證原有的設(shè)計(jì)重合度.

3 四階拋物線傳動(dòng)誤差的實(shí)現(xiàn)

傳動(dòng)誤差的表達(dá)式為

式中，φ1、φ2分別為小輪和大輪的實(shí)際轉(zhuǎn)角，N1、N2分別為小輪和大輪的齒數(shù)，和分別為小輪和大輪的初始轉(zhuǎn)角.根據(jù)傳動(dòng)誤差的定義和預(yù)置四階拋物線傳動(dòng)誤差，可求出大輪實(shí)際嚙合轉(zhuǎn)角:

式(6)為小輪嚙合轉(zhuǎn)角φ1和大輪嚙合轉(zhuǎn)角φ2的約束方程.當(dāng)φ1和φ2按照式(6)規(guī)律傳動(dòng)時(shí)，就能夠得到預(yù)置的四階拋物線傳動(dòng)誤差.

圖4 為弧齒錐齒輪TCA 坐標(biāo)系，包括小輪坐標(biāo)系S1、大輪坐標(biāo)系S2、固定坐標(biāo)系Sh.在Sh坐標(biāo)系下的TCA 基本方程組為

圖4 齒輪副的嚙合坐標(biāo)系Fig.4 Fixed coordinate system for meshing gear drive

TCA 是在已知大、小輪齒面方程的條件下進(jìn)行的，文中是在已知四階拋物線傳動(dòng)誤差δφ2和大輪齒面r2(θg，φg)下，通過逆TCA 來確定小輪齒面方程.具體求解思路如下:給定一個(gè)φ1，根據(jù)式(6)求得φ2，兩者是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系;采用變性法實(shí)現(xiàn)預(yù)置四階拋物線傳動(dòng)誤差加工，即計(jì)算出小輪產(chǎn)形輪和被加工小輪的瞬時(shí)滾比Rap;保持大輪齒面原有的幾何特性不變，僅對(duì)小輪齒面進(jìn)行修正.將(見式(7))中的Rap用產(chǎn)形輪轉(zhuǎn)角φc(搖臺(tái)轉(zhuǎn)角)和小輪加工轉(zhuǎn)角φp來代替，于是，式(7)中仍包含有6個(gè)未知數(shù)(θp，θg，φp，φg，φc，φ1，φ2(φ1))，取φ1為自變量，求解新方程組.

根據(jù)預(yù)置四階拋物線傳動(dòng)誤差的表達(dá)式，齒輪副從進(jìn)入嚙合到退出嚙合按照一定步長得到一系列(φ1i，φ2i)，將其代入TCA 方程組(7)可求出一系列的(φp，φc)值.把(φp，φc)回歸成如下的多項(xiàng)式形式:用逆TCA 方法可得到實(shí)現(xiàn)四階拋物線傳動(dòng)誤差的滾比修正系數(shù).將式(8)代入小輪齒面方程，就可以獲得具有四階拋物線傳動(dòng)誤差的小輪齒面.從四階拋物線傳動(dòng)誤差的設(shè)計(jì)原理可知，實(shí)現(xiàn)這種類型的傳動(dòng)誤差僅需調(diào)整變性系數(shù)，其他機(jī)床調(diào)整參數(shù)保持不變.

4 算例分析

用算例來說明文中設(shè)計(jì)方法，并對(duì)5 種四階傳動(dòng)誤差的多載荷承載傳動(dòng)誤差進(jìn)行比較分析.弧齒錐齒輪的基本參數(shù)如表1 所示，表2 列出了5 種四階拋物線傳動(dòng)誤差的相關(guān)系數(shù)，包括四階拋物線系數(shù)(a，b)、嚙合轉(zhuǎn)換點(diǎn)幅值δφ(Tp)2、滾比多項(xiàng)式系數(shù)(c0，c1，c2，c3).TCA 結(jié)果(包括傳動(dòng)誤差和齒面印痕)如圖5 所示.

表1 弧齒錐齒輪副幾何參數(shù)Table 1 Geometric parameters of gear blank

表2 四階拋物線傳動(dòng)誤差系數(shù)Table 2 Coefficients of transmission errors of the fourth order parabolic

圖5 四階拋物線的傳動(dòng)誤差和齒面印痕Fig.5 Transmission errors and contact patterns of the fourth order parabolic

利用LTCA 分別對(duì)算例1、3、5 在多載荷工況下的承載傳動(dòng)誤差進(jìn)行分析，結(jié)果如圖6 所示.從圖可知:算例1 嚙合轉(zhuǎn)換點(diǎn)的幅值較二階拋物線傳動(dòng)誤差的幅值小，在輕載工況(0～300 Nm)下，承載傳動(dòng)誤差的波動(dòng)量均比算例3 和5 小，最小波動(dòng)量出現(xiàn)在100～300 Nm 之間，當(dāng)扭矩從400 Nm 到1 000 Nm變化時(shí)，波動(dòng)量逐漸增大;算例5 嚙合轉(zhuǎn)換點(diǎn)的幅值較二階拋物線傳動(dòng)誤差的幅值大，當(dāng)輸出扭矩小于300 Nm 時(shí)，承載傳動(dòng)誤差的波動(dòng)較大，而當(dāng)扭矩從400 Nm 變化到1 000 Nm 時(shí)，波動(dòng)量先減小后增大，最小波動(dòng)量出現(xiàn)在扭矩為600～800 Nm 之間，這表明四階拋物線傳動(dòng)誤差使齒輪副在輕載條件下的波動(dòng)量有所增大，且改變了出現(xiàn)最小波動(dòng)量的扭矩(圖6(a)中為400 Nm)，同時(shí)也保證了齒輪副在最大扭矩為1000 Nm 時(shí)不出現(xiàn)邊緣接觸.

圖7 為算例1、3、5 相對(duì)于與大輪共軛齒面的小輪齒面的偏差圖.齒面中部的相對(duì)修形量(Ease-off)從小到大排序依次是算例1、算例3、算例5，這是由四階拋物線傳動(dòng)誤差在參考點(diǎn)附近的平緩程度來決定的.另外，算例1 的四階傳動(dòng)誤差的中部平緩、兩端較陡，有利于降低嚙合印痕對(duì)安裝誤差的敏感性.

5 結(jié)論

文中提出了預(yù)置重合度的弧齒錐齒輪四階拋物線傳動(dòng)誤差設(shè)計(jì)方法，得出如下結(jié)論:

圖6 算例1、3、5 的多載荷承載傳動(dòng)誤差比較Fig.6 Comparison of multi-loaded transmission errors of Case 1，3 and 5

(1)二階拋物線傳動(dòng)誤差是四階拋物線傳動(dòng)誤差的一種特例(即系數(shù)a=0)，本質(zhì)上就是小輪齒面沿接觸跡線的四階拋物線修形.

(2)僅改變滾比的多項(xiàng)式系數(shù)c1、c2和c3即可實(shí)現(xiàn)不同嚙合轉(zhuǎn)換點(diǎn)幅值的四階傳動(dòng)誤差設(shè)計(jì)，無需調(diào)整其他機(jī)床參數(shù)，易于磨齒加工實(shí)現(xiàn).

(3)減小嚙合轉(zhuǎn)換點(diǎn)的四階傳動(dòng)誤差幅值，則在中、輕載條件下，承載傳動(dòng)誤差波動(dòng)較小;反之，則最小承載傳動(dòng)誤差波動(dòng)量所對(duì)應(yīng)的載荷增大.

今后擬建立考慮四階拋物線傳動(dòng)誤差的動(dòng)力學(xué)精確模型并進(jìn)行齒輪副的振動(dòng)和噪聲驗(yàn)證.

圖7 算例1、3、5 的相對(duì)修形量Fig.7 Relative ease-off of Case 1，3 and 5

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