呂季軒，王建華，解鵬輝

（西安工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，西安 710021）

虛擬齒輪測量中心是一套幫助分析齒輪測量中心機(jī)械特性和測量過程的軟件.它主要用于完成運(yùn)動和測量過程的仿真及數(shù)據(jù)處理與分析，同時(shí)還對真實(shí)齒輪測量中心的功能進(jìn)行補(bǔ)充［1］.目前關(guān)于虛擬齒輪測量中心的研究，已基本完成了運(yùn)動和碰撞檢測、數(shù)據(jù)共享變量區(qū)，可視化和工件數(shù)據(jù)加載模塊的建立［2-4］.實(shí)現(xiàn)了虛擬齒輪測量中心的運(yùn)動控制、掃描檢測和可視化顯示等相關(guān)功能［5-7］.在真實(shí)齒輪測量中心測量過程中，測量精度不可避免的會受到誤差的影響，包括幾何誤差、機(jī)構(gòu)運(yùn)動誤差熱誤差、彈性誤差和工件誤差等，而現(xiàn)有的虛擬齒輪測量中心缺少一個(gè)可以仿真誤差的模塊，由于幾何誤差和運(yùn)動誤差對齒輪測量中心測量精度影響較大，所以文中僅以幾何誤差和運(yùn)動誤差為研究對象，建立誤差模塊，通過仿真測量虛擬漸開線樣板的結(jié)果來分析兩種誤差對虛擬齒輪測量中心測量精度的影響.

1 虛擬齒輪測量中心誤差分析

1.1 幾何誤差分析

幾何誤差是測量機(jī)本身的制造和裝配不完善產(chǎn)生的誤差，包括直線軸和旋轉(zhuǎn)軸的誤差，運(yùn)動中的剛體分別有一項(xiàng)線性誤差，兩項(xiàng)直線度誤差和三項(xiàng)微小的轉(zhuǎn)角誤差，軸與軸之間還存在垂直度誤差.文中以齒輪測量中心為誤差分析對象，齒輪測量中心主要由基座1、Y向?qū)к?、滑臺3、立板4、Z向運(yùn)動滑塊5、X向?qū)к?、Z向?qū)к?、X向運(yùn)動滑塊8、旋轉(zhuǎn)臺9、測頭10、下頂柱11、上頂柱13和14立柱構(gòu)成，加上待測工件12，構(gòu)成完整的測量系統(tǒng).滑臺3在導(dǎo)軌2上移動，控制測頭在Y方向的移動，滑塊5在導(dǎo)軌7上運(yùn)動，控制測頭在Z向運(yùn)動，滑塊8和導(dǎo)軌6負(fù)責(zé)測頭在X方向的運(yùn)動.將工件裝夾好后，旋轉(zhuǎn)軸9控制工件的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動.直線運(yùn)動部件與旋轉(zhuǎn)主軸協(xié)同配合，完成測量工作.

圖1 齒輪測量中心結(jié)構(gòu)圖Fig.1 The structure of gear measurement center

將齒輪測量中心概括為拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，可分成兩個(gè)分支，分別是待測工件-基座分支和測頭基座分支.文中只考慮齒輪測量中心的直線運(yùn)動部件的幾何誤差，只分析測頭-基座分支.該分支中包含花崗石基座時(shí)，滑臺Z向運(yùn)動滑塊和X向運(yùn)動滑塊.理想情況下，齒輪測量中心測端p（xp3，yp3，zp3）沿三個(gè)軸運(yùn)動x，y，z距離后，應(yīng)到達(dá)點(diǎn)（xp＋x，yp＋y，zp＋z）.但由于運(yùn)動誤差的存在，其運(yùn)動的終點(diǎn)是（），兩點(diǎn)之差就是測量誤差［8-9］.根據(jù)多體理論［10］，包含運(yùn)動誤差后的測端P的運(yùn)動終點(diǎn)則為

式中：a為測量點(diǎn)在測頭坐標(biāo)系的實(shí)際位置矢量；p為測量點(diǎn)在測頭坐標(biāo)系的理論位置矢量；A01為基座和滑臺這兩個(gè)相鄰體之間的4×4階坐標(biāo)變換矩陣.它是由位姿特征矩陣，位姿誤差特征矩陣，位移特征矩陣，位移誤差特征矩陣相乘得到.同理，A12為滑臺和Z向運(yùn)動滑塊之間的坐標(biāo)變換矩陣；A23為Z向運(yùn)動滑塊和X向運(yùn)動滑塊之間的坐標(biāo)變換矩陣.

包括垂直度誤差在內(nèi)，直線運(yùn)動系統(tǒng)總共存在21項(xiàng)幾何誤差，這21項(xiàng)幾何誤差分別通過位姿特征矩陣以及位姿誤差特征矩陣，位移特征矩陣，位移誤差特征矩陣表示.將特性矩陣代入式（1），經(jīng)過化簡展開，得到具體的一階誤差模型表達(dá)式為

式中：ε為角運(yùn)動誤差，下角標(biāo)表示轉(zhuǎn)軸方向，括號內(nèi)的字母表示剛體部件的運(yùn)動方向；δ為直線度運(yùn)動誤差，下標(biāo)表示誤差運(yùn)動方向，括號內(nèi)的字母表示剛體部件的運(yùn)動方向，當(dāng)下標(biāo)和括號內(nèi)的字母相同時(shí)，稱為定位誤差；α為兩軸之間的垂直度誤差，下角標(biāo)表示產(chǎn)生垂直度誤差的兩軸方向.直線運(yùn)動系統(tǒng)中，剛體的所有單項(xiàng)幾何誤差均可以通過式（2）～ （4）表示.

由式（2）～（4）可以看出各單項(xiàng)幾何誤差對于齒輪測量中心測量結(jié)果的影響，將幾何誤差折算到三個(gè)軸向的光柵示值誤差.在碰撞檢測過程中，上位機(jī)最終是從光柵傳感器中讀取測頭的運(yùn)動距離，如果光柵示值存在誤差，會將含有誤差值的結(jié)果直接提供給上位機(jī).因此，上位機(jī)經(jīng)過計(jì)算分析后得到的齒形偏差測量結(jié)果，包含幾何誤差值.

1.2 運(yùn)動誤差分析

運(yùn)動誤差是指按照某一事先設(shè)定的運(yùn)動學(xué)關(guān)系進(jìn)行相對運(yùn)動部件間的相對運(yùn)動誤差［11］.在測量過程中，電機(jī)及傳動機(jī)構(gòu)等產(chǎn)生的誤差最終導(dǎo)致剛體運(yùn)動不到位產(chǎn)生運(yùn)動誤差，此時(shí)，光柵示值能準(zhǔn)確反映出誤差的位移量.

虛擬齒輪測量中心測量方法采用的是法線極坐標(biāo)法.所謂法線極坐標(biāo)法是指在測量工件時(shí)，測微儀的測量方向A以及測微儀移動方向T均沿漸開線的法線方向，如圖2所示.根據(jù)齒形偏差計(jì)算公式［12］

式中：pi、yi、θi為同一時(shí)刻測微儀的示值以及Y 軸和θ軸的坐標(biāo)值（yi－rbθi）為運(yùn)動誤差.如果不存在運(yùn)動誤差，那么yi－rbθi的值為0，此時(shí)，測微儀的示值pi可直接表示出齒形偏差.如果Y軸和θ軸的運(yùn)動部件存在運(yùn)動誤差，則致使測頭的運(yùn)動軌跡發(fā)生偏移，此時(shí)，測微儀示值中的運(yùn)動誤差和測頭的偏離距離正好相抵消.

圖2 齒形測量示意圖Fig.2 Schematic diagram of gear tooth measurement

因此，只要在測微儀的量程范圍內(nèi)，運(yùn)動誤差不會影響測量結(jié)果的準(zhǔn)確性.

2 誤差模塊建立

虛擬齒輪測量中心的測量過程本質(zhì)是測頭與工件的一個(gè)碰撞檢測的過程.虛擬齒輪測量中心在測量過程中，運(yùn)動控制模塊通過上位機(jī)傳遞下來的插補(bǔ)段數(shù)、循環(huán)次數(shù)等信息來控制直線軸和旋轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動，同時(shí)將測頭坐標(biāo)數(shù)據(jù)存放在共享變量區(qū)，供碰撞與掃描檢測模塊和可視化系統(tǒng)調(diào)用.與此同時(shí)，碰撞與檢測模塊從共享變量區(qū)讀入測頭坐標(biāo)數(shù)據(jù)，進(jìn)行觸碰計(jì)算，然后測頭坐標(biāo)和觸測矢量傳遞給上位機(jī)進(jìn)行虛擬工件表面的誤差分析.誤差模塊的作用就是完成誤差值的生成與疊加.

圖3 虛擬齒輪測量中心的結(jié)構(gòu)Fig.3 The structure of virtual gear measurement center

2.1 誤差值的疊加

運(yùn)動誤差和測頭的運(yùn)動位置有關(guān)，而虛擬齒輪測量中心四軸的聯(lián)動是靠運(yùn)動控制模塊中的插補(bǔ)函數(shù)實(shí)現(xiàn)的，在整個(gè)插補(bǔ)運(yùn)算后，測頭坐標(biāo)不斷寫入共享變量區(qū)，更新共享變量區(qū)中的坐標(biāo)數(shù)據(jù).因此，可以在插補(bǔ)計(jì)算之后，通過修改測頭坐標(biāo)值，將含有運(yùn)動誤差的值返回共享變量區(qū)，完成運(yùn)動誤差的疊加.在碰撞檢測后，測頭坐標(biāo)和觸測矢量通過以光柵示值的形式不斷寫入共享變量區(qū)，上位機(jī)根據(jù)采集到的值來分析計(jì)算工件誤差.所以將光柵的示值誤差疊加到碰撞檢測之后，會直接影響測量精度.加入誤差模塊后的虛擬齒輪測量中心結(jié)構(gòu)如圖2所示.

2.2 誤差值的生成

生成的誤差值可選形式有常數(shù)值，周期值和隨機(jī)值.為了比較客觀的反應(yīng)出齒輪測量中心的幾何誤差，選擇周期值作為誤差值，周期函數(shù)的波形作為誤差譜.只要滿足條件，任何形式的波形都可以通過一系列的正弦波疊加而成.正弦函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開為

其中：a0，an，bn都為傅里葉系數(shù)，只需給定不同的傅里葉系數(shù)，就可得到一系列不同頻率的基波，然后疊加成三角波、方波及實(shí)際采樣得到的波形.

文中選擇正弦函數(shù)值作為周期值作為誤差值的類型，其形式為

式（7）是運(yùn)動距離和誤差值的一個(gè)正弦變化關(guān)系，自變量x是部件在軸上運(yùn)動的距離，只要給定振幅和圓頻率，就可得到正弦函數(shù)值，即誤差值.

由于虛擬齒輪測量中心采用法向極坐標(biāo)法測量，所以在基圓切線方向的誤差分量對測量結(jié)果的影響最大.因此，文中研究的是基圓切線方向的運(yùn)動誤差和光柵示值誤差.

3 誤差疊加結(jié)果分析

通過測量最大誤差為0.8μm的虛擬漸開線樣板來驗(yàn)證運(yùn)動誤差和光柵示值誤差對測量結(jié)果的影響.漸開線樣板基圓半徑為52.858mm，評定起點(diǎn)選擇5mm，評定終點(diǎn)為24mm，測頭直徑為2 mm，離散點(diǎn)數(shù)設(shè)置為40個(gè)點(diǎn).虛擬齒輪測量中心未疊加誤差時(shí)，此時(shí)，y′＝y(tǒng)＋yp3，即運(yùn)動終點(diǎn)坐標(biāo)是運(yùn)動起始坐標(biāo)與運(yùn)動距離之和.測量漸開線樣板得到的齒形偏差如圖4所示.

圖4 未疊加誤差的虛擬漸開線樣板測量結(jié)果Fig.4 Measurement result of virtual involute sample without added errors

由圖4可知產(chǎn)生齒形偏差Fα和形狀偏差ffα的原因是越靠近齒頂?shù)牡胤?，曲線的波動幅度越大，分析其原因是因?yàn)樘摂M漸開線樣板上的離散點(diǎn)是按照等展長的方式建立.越靠近齒頂，離散點(diǎn)的間距越大，間距增大導(dǎo)致弦高差增加，從而導(dǎo)致波動幅度增加，波谷值直接反映弦高差.漸開線樣板離散點(diǎn)數(shù)越細(xì)分，波動幅度越小，齒形偏差和形狀偏差也會越小.波峰節(jié)點(diǎn)是在理論漸開線柱面上，沒有誤差.產(chǎn)生斜率偏差fHα的主要原因是曲線越靠后波動越大，波谷越深，波谷值最終影響斜率誤差的評定.

3.1 疊加光柵示值誤差后的測量結(jié)果分析

在漸開線樣板測量軟件的參數(shù)設(shè)置中，測量評定間隔20mm，設(shè)20mm為正弦函數(shù)的一個(gè)周期，根據(jù)式ω＝2π／l，圓頻率ω＝0.3rad／mm.在測量過程中，為了在評定間隔內(nèi)出現(xiàn)較多的波形，讓圓頻率ω的取值為0.9rad／mm，振幅A的取值為4 μm，周期值為7mm.齒形誤差和形狀偏差在理論上近似等于波峰到波谷的豎直距離，即正弦波振幅值的2倍，當(dāng)振幅為4μm時(shí)，齒形誤差和形狀偏差的值應(yīng)該約為8μm.現(xiàn)疊加y軸光柵示值誤差，測量結(jié)果如圖5所示.

圖5 疊加誤差的虛擬漸開線樣板測量結(jié)果Fig.5 Measurement result of virtual involute sample with added errors

由圖5可見，發(fā)現(xiàn)疊加光柵示值誤差直接影響測量結(jié)果，且呈現(xiàn)正弦變換規(guī)律，振幅值近似為4 μm，峰谷距離約為8μm，此時(shí)齒形誤差Fα的測量結(jié)果為8.9μm，形狀偏差ffα為9.0μm，分別比峰谷距離大0.9μm和1μm.齒形誤差和形狀偏差與理論值的偏差均在1μm之內(nèi)，斜率偏差和未疊加誤差前的斜率偏差相同，基本符合預(yù)期結(jié)果.

3.2 疊加運(yùn)動誤差后漸開線樣板測量結(jié)果分析

將運(yùn)動誤差疊加到運(yùn)動控制模塊中的插補(bǔ)計(jì)算后，不會影響測量結(jié)果.現(xiàn)疊加等值的運(yùn)動誤差，測量結(jié)果如圖5所示.

圖6 疊加運(yùn)動誤差的漸開線樣板測量結(jié)果Fig.6 Measurement result of virtual involute sample with added motion errors

由文獻(xiàn)［12］知，只要測頭上的測微儀在量程范圍內(nèi)，運(yùn)動誤差不會影響測量結(jié)果的準(zhǔn)確性.由圖5和圖3對比發(fā)現(xiàn)，未疊加誤差時(shí)齒形誤差Fα和形狀偏差ffα的值均為0.7μm，疊加運(yùn)動誤差后，齒形誤差變?yōu)?.2μm，形狀偏差為1.1μm，增量分別為0.5μm和0.4μm，誤差疊加前后影對齒形誤差和形狀偏差的影響在1μm之內(nèi)，斜率偏差和未疊加誤差前的斜率偏差相同.由圖5和圖4對比會發(fā)現(xiàn)，圖4中波峰波谷地方，對應(yīng)到圖5中會出現(xiàn)細(xì)小的波動，說明運(yùn)動誤差對測量結(jié)果影響很小，與幾何誤差對測量結(jié)果的影響相比，可忽略.因此認(rèn)為，虛擬齒輪測量中心中疊加運(yùn)動誤差對漸開線樣板測量結(jié)果沒有影響，符合之前的分析結(jié)果.

4 結(jié)論

為了實(shí)現(xiàn)虛擬齒輪測量中心的誤差仿真，文中分別從幾何誤差和運(yùn)動誤差兩方面考慮，初步建立了虛擬齒輪測量中心誤差模塊.運(yùn)動誤差的導(dǎo)入最終不影響漸開線樣板齒形測量結(jié)果，而將光柵誤差疊加到虛擬齒輪測量中心碰撞檢測之后，會影響測量結(jié)果.測量結(jié)果符合理論分析結(jié)果.同時(shí)，也驗(yàn)證了漸開線樣板測量程序的正確性，為之后誤差模塊功能的完善和誤差補(bǔ)償?shù)於嘶A(chǔ).

［1］陳虹，馮灝，王建華.虛擬齒輪測量中心及其應(yīng)用［J］.工具技術(shù)，2011，45（2）：116.CHEN Hong，F(xiàn)ENG Hao，WANG Jian－h(huán)ua.Virtual Gear Measurement Center and Its Application ［J］.Tool Engineering，2011，45（2）：116.（in Chinese）

［2］白玉羚，勞奇成.虛擬齒輪測量中心的運(yùn)動建模研究［J］.工具技術(shù)，2009，43（2）：86.BAI Yu－ling，LAO Qi－cheng.Research on Motion Modeling of Virtual Gear Measuring Center［J］.Tool Engineering，2009，43（2）：86.（in Chinese）

［3］任鍇，王建華，白玉羚.虛擬齒輪測量中心的運(yùn)動建模中碰撞檢測的研究［J］.工具技術(shù)，2010，44（1）：88.REN Kai，WANG Jian－h(huán)ua，BAI Yu－ling.Research on Collision Detection in Virtual Gear Measuring Machine Movement Modeling［J］.Tool Engineering，2010，44（1）：88.（in Chinese）

［4］陳虹.虛擬齒輪測量中心可視化系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與開發(fā)［D］.西安：西安工業(yè)大學(xué)，2011.CHEN Hong.Design and Implementation of the Visualization System of Virtual Gear Measuring Center［D］.Xi’an：Xi’an Technological University，2011.（in Chinese）

［5］譚傳超.虛擬CNC齒輪測量中心的運(yùn)動控制和系統(tǒng)整合［D］.西安：西安工業(yè)大學(xué)，2012.TAN Chuan－chao.The Motion Control Module and System Integration of the Virtual CNC Gear Measuring Center System ［D］.Xi’an：Xi’an Technological University，2012.（in Chinese）

［6］馮灝.虛擬工件的幾何建模研究［D］.西安：西安工業(yè)大學(xué)，2012.FENG Hao.Virtual Workpiece Modeling for the Virtual Gear Measuring Center［D］.Xi’an：Xi’an Technological University，2012.（in Chinese）

［7］黃煜.虛擬齒輪測量中心的掃描檢測技術(shù)［D］.西安：西安工業(yè)大學(xué)，2013.HUANG Yu.Scanning for Detecting Algorithm Based on Virtual Gear Measuring Center［D］.Xi’an：Xi’an Technological University，2013.（in Chinese）

［8］ROBERT J.HOCKEN，PAULO H.Pereira.Coordinate Measuring Machines and Systems Second Edition［M］.Boca Raton：CRC Press Taylor ＆Francis Group，2012.

［9］張國雄.三坐標(biāo)測量機(jī)［M］.天津：天津大學(xué)出版社，1999.ZHANG Guo－xiong.Coordinate Measuring Machines［M］.Tianjin：Tianjin University Press，1999.（in Chinese）

［10］栗時(shí)平.多軸數(shù)控機(jī)床精度建模與誤差補(bǔ)償方法研究［D］.長沙：國防科技大學(xué)，2002 LI Shi－ping.Study on the Methods of Precision Modeling and Error Compensation for Multi－Axis CNC Machine Tools［D］.Changsha：National University of Defense TechnoIogy，2002.（in Chinese）

［11］賈敏忠，詹友基.機(jī)床幾何誤差和運(yùn)動誤差及其誤差補(bǔ)償技術(shù)［J］.機(jī)電技術(shù)，2004，2：78.JIA Min－zhong，ZHAN You－ji.Compensation Technology of Machine Tool’s Geometric Error and Motion Error［J］.Mechanical ＆Electrical Technology，2004，2：78.（in Chinese）

［12］王建華，勞奇成，劉波，等.CNC測量中心的原理特點(diǎn)及關(guān)鍵技術(shù)［J］.工具技術(shù)，1996，1996，30（3）：42.WANG Jian－h(huán)ua，LAO Qi－cheng，LIU Bo，et al.The Principles，F(xiàn)eatures and Key Technologies of CNC Gear Measuring Center［J］.Tool Engineering，1996，30（3）：42.（in Chinese）