胡 騰， 殷國富， 孫明楠

(四川大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院,成都 610065)

基于離心力和陀螺力矩效應(yīng)的“主軸-軸承”系統(tǒng)動力學(xué)特性研究

胡 騰， 殷國富， 孫明楠

(四川大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院,成都 610065)

研究“主軸-軸承”系統(tǒng)在高轉(zhuǎn)速場中受離心力和陀螺力矩影響的動力學(xué)特性對于提高主軸系統(tǒng)運(yùn)行穩(wěn)定性有重要的作用。在擴(kuò)展Harris滾動軸承非線性分析模型、建立滾動軸承耦合剛度矩陣的基礎(chǔ)上，建立了一種綜合考慮主軸離心力效應(yīng)和陀螺力矩效應(yīng)的“主軸-軸承”系統(tǒng)動力學(xué)數(shù)字模型，并借助錘擊模態(tài)實驗驗證了其準(zhǔn)確性；分析論述了主軸離心力效應(yīng)、主軸陀螺力矩效應(yīng)及滾動軸承運(yùn)行剛度對“主軸-軸承”系統(tǒng)在高轉(zhuǎn)速場中的動力學(xué)特性的影響規(guī)律。通過模型分析計算表明：當(dāng)軸承處于超輕預(yù)緊(EL)工況時，主軸的高速效應(yīng)比軸承運(yùn)行剛度對“主軸-軸承”系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響更大，尤以主軸陀螺力矩效應(yīng)的影響最為突出。

高轉(zhuǎn)速場；“主軸-軸承”系統(tǒng)；動力學(xué)特性；離心力；陀螺力矩；運(yùn)行剛度

近年來在我國航空航天、軍工、汽車、能源等行業(yè)領(lǐng)域，為不斷提高加工效率，高速加工技術(shù)發(fā)展十分迅速。高速主軸單元作為高速加工技術(shù)的主要載體，其動力學(xué)特性的優(yōu)劣決定著高速加工技術(shù)水平的高低。“主軸-軸承”系統(tǒng)作為高速主軸單元的主要回轉(zhuǎn)系統(tǒng)，在高速旋轉(zhuǎn)時，將受到高轉(zhuǎn)速場誘發(fā)的高速效應(yīng)(即離心力效應(yīng)和陀螺力矩效應(yīng))的作用，使其動力學(xué)特性相對于靜止?fàn)顟B(tài)時會發(fā)生較大變化。因此，針對“主軸-軸承”系統(tǒng)建立可靠、準(zhǔn)確的動力學(xué)模型，對于評估該系統(tǒng)動力學(xué)特性，預(yù)測主軸單元高速性能十分必要，具有重要的科學(xué)和工程意義。

“主軸-軸承”系統(tǒng)動力學(xué)建模過程中最關(guān)鍵亦是最基礎(chǔ)的一步在于對軸承非線性分析模型的建立。上世紀(jì)50-60年代，Palmgreen[1]和Jones[2-3]分別是建立滾動軸承靜力學(xué)和擬動力學(xué)分析方法的代表性人物；隨后，Harris[4]在其基礎(chǔ)上完善并發(fā)展了滾動軸承的擬動力學(xué)分析理論，成為目前絕大多數(shù)滾動軸承非線性分析模型的首選；1978年之后，Gupta[5]建立了滾動軸承的動力學(xué)分析模型，但由于滾動軸承運(yùn)動規(guī)律的過于復(fù)雜，Gupta的模型對設(shè)計和應(yīng)用指導(dǎo)意義不強(qiáng)[6]。近年來，Zverv等[7]研究了滾動軸承在高轉(zhuǎn)速和高預(yù)緊狀態(tài)下的彈性變形問題，為主軸單元設(shè)計時軸承的選型提供了準(zhǔn)則；Kang等[8]在改進(jìn)了Harris的分析模型后，利用有限單元法和曲線擬合技術(shù)，研究了深溝球軸承的Hertzian接觸問題；此外，Kang等[9]還利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型計算了滾動軸承的運(yùn)行剛度； Jedrzejewski等[10]亦在Harris的基礎(chǔ)上，著重分析了離心力和陀螺力矩效應(yīng)對角接觸球軸承剛度及變形的影響規(guī)律； Guo等[11]將有限單元法和接觸力學(xué)結(jié)合起來，針對不同類型、不同結(jié)構(gòu)參數(shù)的滾動軸承進(jìn)行了分析研究，并將軸承的剛度表達(dá)為一個矩陣。

在主軸動力學(xué)建模方面，國內(nèi)外學(xué)者做了大量的研究。國外，Nelson[12]基于有限單元法建立轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)方程時，提出用考慮了剪切效應(yīng)的Timoshenko梁單元取代經(jīng)典的Euler梁單元；Lin等[13]基于Timoshenko梁理論和有限單元法建立了高速主軸系統(tǒng)熱機(jī)耦合有限元模型，但該模型沒有體現(xiàn)軸承剛度隨轉(zhuǎn)速的非線性；Erturka等[14]分別利用經(jīng)典Euler-Bernoulli梁和Timoshenko梁建立了“主軸-工具系統(tǒng)”動力學(xué)模型，并做了對比分析，同時結(jié)合Schmitz等[15]提出的柔度耦合技術(shù)，辨識了刀尖點(diǎn)的頻響函數(shù)，但并未研究轉(zhuǎn)速對動力學(xué)特性的影響規(guī)律；Shin等[16-17]則在借鑒Harris所得成果時，將熱對軸承剛度的影響一并考慮，改寫了控制方程并建立了高速主軸系統(tǒng)熱機(jī)耦合模型，但同樣沒有系統(tǒng)研究高速效應(yīng)對高速主軸系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響機(jī)理；Cao等[18]在基于Timoshenko梁理論建立主軸-軸承系統(tǒng)動力學(xué)有限單元模型的同時，采用了Harris的滾動軸承分析模型，涵蓋了軸承離心力、陀螺力矩等高速效應(yīng)影響因素。國內(nèi)，周健斌等[19]運(yùn)用Hamilton原理針對翼吊式發(fā)動機(jī)機(jī)翼系統(tǒng)進(jìn)行了動力學(xué)研究，從理論出發(fā)分析了陀螺力矩對結(jié)構(gòu)固有特性的影響；JIANG等[20]在采用Harris軸承分析模型之后，利用傳遞矩陣法構(gòu)建了主軸單元動力學(xué)模型；張耀強(qiáng)等[21]針對旋轉(zhuǎn)機(jī)械建立了滾動軸承-Jeffcott剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)方程，并分析了該系統(tǒng)的非線性動力響應(yīng)行為；汪博等[22]以某立式加工中心主軸系統(tǒng)為研究對象，在建立系統(tǒng)動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，考察了刀柄與主軸前端錐孔結(jié)合面特性對軸端傳函的影響規(guī)律；呂浪等[23]建立了電主軸單元機(jī)電耦合動力學(xué)模型，并分析了系統(tǒng)匹配特性。

研究表明：基于非線性滾動軸承分析模型建立“主軸-軸承”系統(tǒng)動力學(xué)模型的同時，全面系統(tǒng)地研究高速效應(yīng)影響規(guī)律，對于探索高速主軸單元處于不同轉(zhuǎn)速場時的動力學(xué)特性是十分必要的。因此，本文首先采用理論建模與實驗建模相結(jié)合的方法建立了準(zhǔn)確的系統(tǒng)動力學(xué)數(shù)字模型；然后在此基礎(chǔ)上逐一研究了高轉(zhuǎn)速場誘發(fā)的各種高速效應(yīng)對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響規(guī)律。

由于本文旨在研究高速效應(yīng)對“主軸-軸承”系統(tǒng)動態(tài)特性的影響規(guī)律，熱效應(yīng)是進(jìn)一步研究問題，在本文不在考慮范疇之內(nèi)，故忽略熱效應(yīng)。

1 “主軸-軸承”系統(tǒng)動力學(xué)建模

1.1 角接觸球軸承非線性模型

1.1.1 角接觸球軸承的Hertzian接觸

角接觸球軸承的剛度從本質(zhì)上看，可以認(rèn)為是滾動體與內(nèi)、外圈的接觸剛度串聯(lián)的結(jié)果[6]。一般的，滾動體和內(nèi)、外圈之間的Hertzian接觸有如下關(guān)系：

(1)

式中：Qij,Qej分別為第j個滾動體與內(nèi)、外圈的接觸力；kij,kej分別為第j個滾動體與內(nèi)、外圈的赫茲接觸系數(shù)；δij,δe分別為第j個滾動體與內(nèi)、外圈的接觸變形。

則不難得球與內(nèi)、外圈的接觸剛度：

(2)

1.1.2 角接觸球軸承的變形協(xié)調(diào)和受力平衡

圖1 滾動體與內(nèi)外滾道變形協(xié)調(diào)關(guān)系Fig.1 Deformed relationship between rolling element and rings

圖2 滾動體受力分析Fig.2 Mechanical analysis of rolling element

圖3 滾動軸承方位角示意圖Fig.3 Azimuth of rolling bearing

從微觀的角度出發(fā)，角接觸球軸承在靜止、未預(yù)緊狀態(tài)下內(nèi)外圈曲率中心與球中心共線，內(nèi)、外圈接觸角相等；而在高速旋轉(zhuǎn)時，由于離心力的作用會導(dǎo)致內(nèi)圈接觸角增大，同時外圈接觸角減小。高速時，不失一般性的假設(shè)外圈曲率中心固定，因此有如圖1所示的軸承內(nèi)部變形協(xié)調(diào)關(guān)系，進(jìn)而可建立式(3)-式(8)的軸承幾何變形協(xié)調(diào)方程組；此外，高速時滾動體受到離心力和陀螺力矩的作用，故有如圖2所示的滾動體受力分析，結(jié)合圖3所示滾動軸承方位角示意圖，于是得到式(9)-式(12)所示的滾動體受力平衡方程組。

(3)

(4)

(5)

(6)

(A1j-X1j)2+(A2j-X2j)2-

[(fi-0.5)D+δij]2=0

(7)

X1j2+X2j2-[(fe-0.5)D+δej]2=0

(8)

Qijsinαij-Qejsinαej-

Mgj(λijcosαij-λejcosαej)/D=0

(9)

Qijcosαij-Qejcosαej-

Mgj(λijsinαij-λejsinαej)/D+Fcj=0

(10)

Fcj=(ρπD2Dmω2)/12

(11)

Mgj=J(ωR/ω)j(ωR/ω)jω2sinβ

(12)

從宏觀的角度來看，各滾動體受力在軸向、徑向上的分量之和應(yīng)與內(nèi)圈(或外圈)所受外力平衡，故有式(13)-式(15)的滾動軸承內(nèi)圈(或外圈)受力平衡方程組。公式(3)-(15)中符號意義可參考文獻(xiàn)[4]。

(13)

(14)

(15)

在給定轉(zhuǎn)速、軸向和徑向載荷的前提下假定δa、δr、γ、X1j、X2j、δij、δej初值，利用Newton-Raphson法聯(lián)立求解式(3)-式(15)組成的非線性方程組，迭代收斂后獲得各個球的內(nèi)外接觸角αij與αej、內(nèi)外滾道接觸變形δij與δej，以及內(nèi)外滾動接觸力Qij與Qej等，進(jìn)而可利用(2)式計算軸承接觸剛度。

1.1.3 角接觸球軸承耦合剛度矩陣

角接觸球軸承在運(yùn)轉(zhuǎn)時，內(nèi)、外圈均同時承受軸向力Fa、徑向力Fr和力矩載荷M，因此軸承內(nèi)、外圈相對軸向變形δa，徑向變形δr和轉(zhuǎn)角γ應(yīng)理解為不同載荷耦合作用的結(jié)果，而并非某單一載荷的作用?；谝陨纤悸?，結(jié)合Harris滾動軸承非線性分析理論，定義同時考慮軸承轉(zhuǎn)速、軸承內(nèi)外圈變形以及軸承內(nèi)外圈承載等因素在內(nèi)的耦合剛度矩陣Kcb：

Kcb=A[n，Defi，Defe，Ldi，Lde]

(16)

式中：KCB為軸承耦合剛度矩陣；n為軸承轉(zhuǎn)速；Defi，Defe為軸承內(nèi)圈和外圈變形向量；Ldi，Lde為軸承內(nèi)圈和外圈聯(lián)合載荷向量 。

滾動軸承耦合剛度矩陣的概念具有一般性，可以作為完備的軸承模型使用于不同種類的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)研究，在高速主軸單元動力學(xué)建模中更起到積極作用。

“主軸-軸承”系統(tǒng)運(yùn)轉(zhuǎn)時，滾動軸承內(nèi)、外圈均同時承受軸向力Fx、徑向力Fy、Fz，和力矩載荷My、Mz，因此將內(nèi)、外圈的位移向量寫為[δix,δiy,δiz,γiy,γiz,δex,δey,δez,γey,γez]T，角標(biāo)中i、e代表內(nèi)圈和外圈，δ、γ則分別代表平動和轉(zhuǎn)動自由度。

針對軸承內(nèi)圈，將式(13)-式(15)擴(kuò)展后可寫做式(17)-式(21)：

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

再結(jié)合1.1.2節(jié)迭代計算結(jié)果，分別利用式(17)-式(21)對于δix,δiy,δiz,γiy,γiz求導(dǎo)，并寫成如下矩陣形式，矩陣中各元素計算方法可參見文獻(xiàn)[18]：

(22)

利用式(17)-式(21)對于δex,δey,δez,γey,γez求導(dǎo)可獲得KIE。同樣的對于外圈受力平衡也可以寫出相應(yīng)的平衡方程式，求導(dǎo)后可得KEI、與KEE，則軸承剛度矩陣為

(23)

一般的，角接觸球軸承耦合剛度矩陣的計算流程可如圖4所示。

圖4 角接觸球軸承剛度矩陣計算流程Fig.4 Flow chart of angular ball bearing stiffness matrix calculation procedure

1.2 基于Timoshenko梁理論的“主軸-軸承”系統(tǒng)動力學(xué)有限元模型

1.2.1 梁單元動力學(xué)有限元模型

在經(jīng)典的Euler梁理論中，雖然截面承受剪切合力，但是分布剪應(yīng)力卻不產(chǎn)生剪應(yīng)變[24]。作為該理論的修正，Timoshenko梁理論將截面的轉(zhuǎn)動慣性融合至梁的場方程中(如圖5所示)，這對于高速主軸系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)建模有著足夠的適用性與準(zhǔn)確性[12]。文獻(xiàn)[25]中指出，雖然有限單元法并非最佳系統(tǒng)學(xué)建模方法，但對于主軸來說，該方法可較為精確地獲取系統(tǒng)低階特征值及特征向量。

如圖5所示，Timoshenko梁撓曲變形引起的轉(zhuǎn)角γ對時間t的導(dǎo)數(shù)dγ/dt與梁繞軸心線的轉(zhuǎn)速Ω正交，二者的叉積不為零。因此，只要轉(zhuǎn)速不為零，梁就會產(chǎn)生陀螺效應(yīng)。

圖5 Timoshenko梁變形運(yùn)動學(xué)Fig.5 Timoshenko beam kinematics

圖6 典型旋轉(zhuǎn)梁單元坐標(biāo)系Fig.6 Reference frame of the typical rotational beam element

如圖6所示為2節(jié)點(diǎn)(i,j)典型Timoshenko梁單元，其中X向為梁單元軸向。每個節(jié)點(diǎn)具有空間3個正交方向的平動自由度和2個繞徑向的轉(zhuǎn)動自由度，因此該單元共計10自由度，單元位移向量可寫作：

{q}={xi,yi,zi,θyi,θzi,xj,yj,zj,θyj,θzj}

(24)

忽略梁的內(nèi)部阻尼，利用Hamilton原理可將Timoshenko梁單元動力學(xué)方程寫為

[Mbm]{q″}-Ω[Gbm]{q′}+

([Kbm]-Ω2[Mbc]){q}={Fbm}

(25)

式中：Mbm、Gbm和Kbm分別為梁單元的質(zhì)量矩陣、陀螺力矩陣和剛度矩陣；Mbc和Fbm分別為梁單元用于計算離心力的質(zhì)量矩陣和外力矩陣。

1.2.2 盤單元動力學(xué)有限元模型

若將“主軸-軸承”系統(tǒng)中的各類盤套類零件(如軸承隔圈、電機(jī)轉(zhuǎn)子等)均視為盤單元，再次利用Hamilton原理則盤單元動力學(xué)方程可寫為

[Mdisk]{p″}-Ω[Gdisk]{p′}={Fdisk}

(26)

式中：Mdisk、Gdisk和Fdisk分別為盤單元的質(zhì)量矩陣、陀螺力矩陣和外力矩陣。

1.2.3 “主軸-軸承”系統(tǒng)動力學(xué)有限元模型

將Timoshenko梁單元、盤單元及軸承耦合剛度場矩陣聯(lián)立，即可得“主軸-軸承”系統(tǒng)在其結(jié)構(gòu)阻尼為[Csystem]時的動力學(xué)方程為

(27)

式中：[M]=[Mbm]+[Mdisk]為系統(tǒng)總體質(zhì)量矩陣；

[C]=[Csystem]-Ω[Gdisk]-Ω[Gbm]為系統(tǒng)等效阻尼矩陣，其中系統(tǒng)結(jié)構(gòu)阻尼[Csystem]由實驗?zāi)B(tài)分析獲取；

[K]=[Kbm]+[Kbpa]-Ω2[Mbc]+[Kbearing]為系統(tǒng)總體剛度矩陣，Kbpa為軸向力引起的剛度項。

2 動力學(xué)模型的實驗驗證方法

某高速加工中心“主軸-軸承”系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及主要尺寸如圖7所示，該系統(tǒng)前軸承對由4只NSK超高速角接觸陶瓷球軸承70BNR10X(結(jié)構(gòu)參數(shù)見表2)采用兩組“背對背”(Double-Back-to-Back，DBB)配置方式構(gòu)成，預(yù)緊力為285N；后軸承對為單只超高速圓柱滾子軸承N1011RXTPKR；主軸前端刀柄錐孔HSKA63，系統(tǒng)設(shè)計最高轉(zhuǎn)速為20 000 r/min。該系統(tǒng)前軸承預(yù)緊方式為定位預(yù)緊，在裝配時通過對并緊螺母施加一定的軸向緊固力，調(diào)整內(nèi)外圈軸向游隙，從而達(dá)到軸承出廠設(shè)定的預(yù)緊狀態(tài)。

為提高計算速度，建立系統(tǒng)有限元模型時，應(yīng)忽略如倒角、螺紋等細(xì)微特征。有限元模型節(jié)點(diǎn)位置的選擇主要取決于零件截面尺寸是否發(fā)生顯著改變，是否與支承零件相連，故節(jié)點(diǎn)通常位于主軸臺階處和軸承處。此外，由于固定結(jié)合部動力學(xué)參數(shù)非本文研究內(nèi)容，故結(jié)構(gòu)中如螺栓結(jié)合部等均視為剛性連接。

主軸材料為20CrMnMoH，其他盤套類零件材料均為45#鋼。有限元模型中材料屬性的選取方案是：密度取7 850 kg/m3，彈性模量取210 GPa，泊松比取0.27。最終建立的“主軸-軸承”系統(tǒng)動力學(xué)有限元模型如圖8所示。

圖7 “主軸-軸承”系統(tǒng)簡圖Fig.7 Sketch of the “shaft-bearing” system

圖8 “主軸-軸承”系統(tǒng)有限元模型Fig.8 Finite element model of “shaft-bearing” system

2.2 實驗驗證

為驗證1.2節(jié)所建立的“主軸-軸承”系統(tǒng)動力學(xué)有限單元模型的準(zhǔn)確性，基于LMS Test Lab中的Impact Testing模塊進(jìn)行了該系統(tǒng)錘擊模態(tài)實驗，并拾取系統(tǒng)前端原點(diǎn)頻響函數(shù)，以便與理論模型計算結(jié)果對比。實驗時，將系統(tǒng)用橡皮繩懸掛，使其獲得最大限度自由度，懸掛點(diǎn)位于前、后軸承套，如圖9所示；用力錘錘擊系統(tǒng)前端外圓，并利用PCB單向加速度傳感器拾取與錘擊點(diǎn)相反點(diǎn)和相正交點(diǎn)的振動信號，以提取原點(diǎn)頻響Hyy和交叉頻響Hyz如圖10所示。

圖11為“主軸-軸承”系統(tǒng)前端原點(diǎn)頻率響應(yīng)函數(shù)Hyy仿真值與實驗值對比圖，詳細(xì)結(jié)果對比見表1。表中數(shù)據(jù)顯示所建系統(tǒng)動力學(xué)有限元模型計算結(jié)果與實驗值十分吻合，證明了該模型能準(zhǔn)確可靠地描述系統(tǒng)在靜止?fàn)顟B(tài)時的動力學(xué)特性。

圖9 基于LMS Test Lab的錘擊模態(tài)實驗現(xiàn)場Fig.9 Scene of impact test based on LMS Test Lab

圖10 錘擊模態(tài)實驗測點(diǎn)布置Fig.10 Respond points layout of impact modal experimentation

圖11 Hyy實驗值(虛線)與計算值(實線)對比Fig.11 Experimentation vs. simulation of Hyy

實驗測試值模型計算值比率(實驗/模型)第1階109411400．960固有頻率/Hz第2階272227101．004第3階453847200．961第1階3．9283．8091．031頻響幅值/(m·s-2·N-1)第2階6．2475．8381．160第3階7．3657．3081．007

3 “主軸-軸承”高速動態(tài)特性研究

所謂高速效應(yīng)即旋轉(zhuǎn)機(jī)械在高速工況時受到的離心力效應(yīng)和陀螺力矩效應(yīng)，“主軸-軸承”系統(tǒng)作為一類特殊的旋轉(zhuǎn)機(jī)械，在高速旋轉(zhuǎn)時其動力學(xué)特性亦會受到高速效應(yīng)的影響。但各高速效應(yīng)對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響程度并不等同，因此，分別研究主軸離心力效應(yīng)、主軸陀螺力矩效應(yīng)以及滾動軸承運(yùn)行剛度對系統(tǒng)在高速工況下動力學(xué)特性的影響規(guī)律是十分必要的。

本文基于已建立的“主軸-軸承”系統(tǒng)動力學(xué)有限元模型，分以下4種情況較為全面系統(tǒng)的考察了高速效應(yīng)對于“主軸-軸承”系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響規(guī)律：

① 僅考慮主軸離心力效應(yīng)的作用；

當(dāng)距離紅豆杉樹種播種前半年時間左右，需要用0.5%的高錳酸鉀溶液進(jìn)行紅豆杉種子的浸泡，然后等待40min后用清水進(jìn)行沖洗，并按照樹種與細(xì)沙的1∶3比例進(jìn)行混合均勻。這時要保持混合時的沙子含水率在50%～60%，將混合后的樹種裝于編織袋中，并埋藏在室外的深30～40cm坑中。為了防止其受到水分的影響，需要在坑底進(jìn)行防水磚的鋪設(shè)，將混合后的樹種用濕沙進(jìn)行覆蓋。直到第二年春天播種的前15天進(jìn)行掏出備用。在儲藏過程中，需要對樹種進(jìn)行定期檢查，防止發(fā)生霉變，從而使成活率降低。

② 僅考慮陀螺力矩效應(yīng)的作用；

③ 僅考慮滾動軸承運(yùn)行剛度的作用；

④ 同時考慮上述3種情況。

3.1 主軸離心力效應(yīng)分析

由式(25)可知，當(dāng)主軸轉(zhuǎn)速增大，由于Ω2Mbc項的存在，系統(tǒng)剛度將隨之降低，即所謂的主軸“軟化”效應(yīng)，這使得“主軸-軸承”系統(tǒng)的固有頻率將會降低。如圖12所示，當(dāng)主軸轉(zhuǎn)速達(dá)到20 000 r/min時，系統(tǒng)前3階主模態(tài)固有頻率分別下降了13%、0.7%和0.2%。結(jié)果表明，離心力效應(yīng)對于低階模態(tài)的影響明顯強(qiáng)于對高階模態(tài)的影響。

圖12 僅考慮主軸離心力效應(yīng)Fig．12Centrifugalforceeffectofshaftonly圖13 僅考慮主軸陀螺力矩效應(yīng)Fig．13Gyroscopicmomenteffectofshaftonly圖14 同時考慮主軸離心力效應(yīng)和陀螺力矩效應(yīng)Fig．14Centrifugalforceandgyroscopicmomenteffectsofshaftsimultaneously

3.2 主軸陀螺力矩效應(yīng)分析

根據(jù)轉(zhuǎn)子動力學(xué)理論[26]，主軸正進(jìn)動時陀螺力矩使其變形減小，因而提高了主軸的剛度，亦即提高了主軸的固有頻率；主軸反進(jìn)動時陀螺力矩使其變形增大，從而降低了主軸的剛度，主軸的固有頻率也隨之降低。因此，隨著主軸轉(zhuǎn)速的增大，陀螺效應(yīng)愈發(fā)明顯，“主軸-軸承”系統(tǒng)各階主軸主模態(tài)固有頻率出現(xiàn)了“分岔”的現(xiàn)象，如圖13所示?？梢钥闯?，陀螺力矩效應(yīng)與離心力效應(yīng)對于系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響有相似之處，即對低階模態(tài)影響強(qiáng)于對高階模態(tài)的影響。此外，陀螺力矩效應(yīng)對于各階模態(tài)固有頻率影響強(qiáng)于離心力效應(yīng)——當(dāng)主軸轉(zhuǎn)速達(dá)到20 000 r/min時，系統(tǒng)前3階固有頻率降低了17.2%、8.19%和5.55%。圖14為同時考慮離心力效應(yīng)和陀螺力矩效應(yīng)時，系統(tǒng)前3階固有頻率隨轉(zhuǎn)速的變化趨勢。

在式(27)中，由于梁單元及盤單元的陀螺矩陣(Gbm和Gdisk)與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)阻尼(Csystem)共同組成了系統(tǒng)動力學(xué)方程中的阻尼矩陣C，故主軸的正進(jìn)動和反進(jìn)動應(yīng)體現(xiàn)在系統(tǒng)頻響函數(shù)曲線上。不妨設(shè)定主軸轉(zhuǎn)速為10 000 r/min，利用1.2節(jié)所建立的動力學(xué)模型分別計算當(dāng)系統(tǒng)阻尼比為0.5%、2%和5%時“主軸-軸承”系統(tǒng)前端原點(diǎn)頻響函數(shù)Hyy，如圖15所示。當(dāng)系統(tǒng)阻尼比為0.5%時，可以很明顯看到5 000 Hz內(nèi)的3各主模態(tài)均出現(xiàn)了兩個峰值，分別對應(yīng)正進(jìn)動和反進(jìn)動；隨著系統(tǒng)阻尼比的增大，峰值對應(yīng)的幅值不斷減小，且正、反進(jìn)動對應(yīng)的波峰逐漸靠攏；當(dāng)系統(tǒng)阻尼比增大至5%時，原點(diǎn)頻響函數(shù)Hyy上高階主模態(tài)已經(jīng)觀察不到正、反進(jìn)動對應(yīng)的波峰，低階主模態(tài)上亦不明顯，說明當(dāng)系統(tǒng)阻尼比較大時陀螺力矩效應(yīng)對原點(diǎn)頻響函數(shù)的影響非常小，幾乎已被系統(tǒng)結(jié)構(gòu)阻尼抵消。

然而，此時陀螺力矩效應(yīng)對交叉頻響函數(shù)Hyz(或Hzy)影響卻較為顯著：當(dāng)主軸處于靜止或低速狀態(tài)時，交叉頻響函數(shù)幅值極小，可以忽略不計。但當(dāng)主軸處于高速工況時，由于陀螺力矩效應(yīng)的存在，將增大交叉頻響函數(shù)，如圖16所示。

圖15 主軸陀螺力矩效應(yīng)對軸端原點(diǎn)頻響Hyy的影響(轉(zhuǎn)速：10000r/min)Fig．15GyroscopicmomenteffectofshaftondirectFRFHyyofspindlenose(Rotationalvelocity：10000r/min．)圖16 主軸陀螺力矩效應(yīng)對軸端交叉頻響Hyz的影響(轉(zhuǎn)速：10000r/min，系統(tǒng)阻尼比：5%)Fig．16GyroscopicmomenteffectofshaftoncrossFRFHyzofspindlenose(Rotationalvelocity：10000r/min．Dampingratio：5%)圖17 不同預(yù)緊力下軸承徑向運(yùn)行剛度Fig．17Radialoperationalstiffnessofbearingvs．variouspreload

3.3 角接觸球軸承徑向運(yùn)行剛度分析

NSK軸承70BNR10X基本參數(shù)見表2，轉(zhuǎn)速范圍為0-20 000 r/min?；?.1節(jié)所述內(nèi)容計算的軸承在不同預(yù)緊力和不同轉(zhuǎn)速下的徑向運(yùn)行剛度如圖17所示。圖中曲線表明，在設(shè)定轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，軸承徑向運(yùn)行剛度隨預(yù)緊力的增大而增大，隨轉(zhuǎn)速增大先減小后增大。

表2 70BNR10X基本參數(shù)

圖17中軸承的徑向運(yùn)行剛度體現(xiàn)出非單調(diào)變化的規(guī)律，這與目前大多數(shù)文獻(xiàn)中一味強(qiáng)調(diào)軸承“軟化”效應(yīng)而忽略其“剛化”效應(yīng)的結(jié)論更加全面。產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因是：如圖18所示，在不考慮熱效應(yīng)時，隨著軸承轉(zhuǎn)速增大，滾動體所受離心力Fc也增大，同時內(nèi)圈接觸角增大而外圈接觸角減小。此時滾動體與內(nèi)圈的接觸載荷減小，雖然外圈接觸載荷增大，但接觸剛度串聯(lián)的結(jié)果是軸承的徑向剛度隨轉(zhuǎn)速增加而減小。然而，隨著轉(zhuǎn)速進(jìn)一步增大至高轉(zhuǎn)速工況，離心力劇烈增加，滾動體相對于內(nèi)圈開始出現(xiàn)“爬坡”現(xiàn)象(圖18中球軸承運(yùn)動所指方向)，內(nèi)圈接觸載荷反而變大，此時軸承的徑向剛度應(yīng)隨轉(zhuǎn)速的增加而增大。因此，從較寬的轉(zhuǎn)速范圍來考慮，角接觸球軸承徑向剛度隨轉(zhuǎn)速增大并非單調(diào)減小。當(dāng)轉(zhuǎn)速在某臨界值范圍以內(nèi)變化時，軸承的徑向剛度隨轉(zhuǎn)速增大而減??；當(dāng)轉(zhuǎn)速在該范圍以外變化時，軸承的徑向剛度隨轉(zhuǎn)速增大而增大。

圖18 角接觸球軸承運(yùn)行狀態(tài)時的微觀幾何Fig.18 Micro-geometry of angular contact ball bearing in operational state

圖17還表明，軸向預(yù)緊力增加后，軸承徑向運(yùn)行剛度隨轉(zhuǎn)速變化的曲線拐點(diǎn)所對應(yīng)轉(zhuǎn)速逐漸增大，亦即拐點(diǎn)隨預(yù)緊力增大而向高轉(zhuǎn)速段漂移。故不難推測當(dāng)預(yù)緊力增大到一定程度時，拐點(diǎn)將不會出現(xiàn)在給定轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)。為驗證該推論，根據(jù)NSK公司給定的3個參考預(yù)緊力：EL(285 N)、L(1 330 N)、M(2 568 N)重新計算70BNR10X軸承在上述3種預(yù)緊方案下的徑向運(yùn)行剛度，結(jié)果如圖19所示，很好的驗證了推論的正確性。

由于實際裝配工藝中，軸承的預(yù)緊力為EL(285 N)，根據(jù)“主軸-軸承”系統(tǒng)動力學(xué)有限元模型的分析結(jié)果，系統(tǒng)前3階主模態(tài)固有頻率隨轉(zhuǎn)速增大出現(xiàn)先減小后增大的趨勢，但頻率變化幅度很小，如圖20所示。因此說明在該預(yù)緊狀態(tài)下，軸承徑向運(yùn)行剛度并非影響“主軸-軸承”系統(tǒng)高速工況下動力學(xué)特性的關(guān)鍵因素。

圖19 EL預(yù)緊、L預(yù)緊和M預(yù)緊下軸承的徑向運(yùn)行剛度Fig．19Radialoperationalstiffnessof70BNR10Xbearingvs．variouspreload圖20 僅考慮滾動軸承運(yùn)行剛度Fig．20Operationalstiffnessofrollingbearingonly圖21 考慮所有高速效應(yīng)和僅考慮滾動軸承運(yùn)行剛度時對比Fig．21Highspeedeffectsofbothshaftandbearingvs．highspeedeffectsofbearingonly

3.4 主軸與軸承高速效應(yīng)綜合分析

同時考慮主軸的高速效應(yīng)和軸承的運(yùn)行剛度后，“主軸-軸承”系統(tǒng)前3階主模態(tài)固有頻率的變化趨勢如圖21所示，相比起僅考慮軸承運(yùn)行剛度的情況，變化趨勢明顯不同。綜合3.1-3.3節(jié)所述內(nèi)容可知，在諸多“主軸-軸承”系統(tǒng)高速工況下動力學(xué)特性的影響因素中，主軸的高速效應(yīng)，特別是陀螺力矩效應(yīng)是最關(guān)鍵的。

4 結(jié) 論

為研究高轉(zhuǎn)速場誘發(fā)的高速效應(yīng)對“主軸-軸承”系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響規(guī)律，本文基于理論與實驗相結(jié)合的建模思想，建立了準(zhǔn)確的“主軸-軸承”動力學(xué)數(shù)字模型，并利用該模型針對高速效應(yīng)進(jìn)行了分析，得到以下結(jié)論：

(1) 系統(tǒng)低階模態(tài)固有頻率相對于高階受到高速效應(yīng)的影響更大，且陀螺力矩效應(yīng)是“主軸-軸承”系統(tǒng)高速工況下動力學(xué)特性的關(guān)鍵影響因素，其影響權(quán)重大于離心力效應(yīng)。

(2) 當(dāng)系統(tǒng)阻尼比較小(如0.5%)時，正、反進(jìn)動能直接反映在系統(tǒng)前端原點(diǎn)頻響函數(shù)曲線上，但當(dāng)系統(tǒng)阻尼比較大(如5%)時，曲線上正、反進(jìn)動所對應(yīng)的波峰不明顯；此外，陀螺力矩效應(yīng)對交叉頻響函數(shù)的影響顯著。

(3) 角接觸球軸承徑向運(yùn)行剛度隨轉(zhuǎn)速增大而非單調(diào)變化，軸承剛度-轉(zhuǎn)速曲線的拐點(diǎn)隨軸向預(yù)緊力增大而向高速段漂移；當(dāng)預(yù)緊力增大至某臨界值且觀察轉(zhuǎn)速范圍較窄時，拐點(diǎn)將不在轉(zhuǎn)速范圍之內(nèi)，此時僅能觀察到軸承運(yùn)行剛度隨轉(zhuǎn)速增大而減小。

(4) 相比起滾動軸承的運(yùn)行剛度，主軸的高速效應(yīng)(尤其是陀螺力矩效應(yīng))對“主軸-軸承”系統(tǒng)高速工況下動力學(xué)特性影響更大，是關(guān)鍵影響因素。

上述結(jié)論表明，要準(zhǔn)確的預(yù)測“主軸-軸承”在高轉(zhuǎn)速場中的動力學(xué)特性，除了建立滾動軸承非線性模型之外，還須同時考慮離心力和陀螺力矩等高轉(zhuǎn)速場誘發(fā)的高速效應(yīng)。模型的建立具有一定的科學(xué)和工程意義，為下一階段研究切削穩(wěn)定性提供了數(shù)據(jù)支持。

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Dynamic performance of a shaft-bearing system with centrifugal force and gyroscopic moment effects

HU Teng， YIN Guo-fu， SUN Ming-nan

(School of Manufacture Science and Engineering, Sichuan University, Chengdu 610065, China)

In order to improve the operation stability of a spindle system with high speeds, it is significant to investigate its dynamic performance with centrifugal force and gyroscopic moment effects. An integrated shaft-bearing system’s dynamic model considering both centrifugal force and gyroscopic moment effects was presented based on coupled stiffness matrices of rolling bearings obtained by extending Harris’ nonlinear rolling bearing analysis model. Impact modal tests were conducted to verify the correctness of this dynamic model. The effects of centrifugal force and gyroscopic moment of the shaft and operational stiffness of rolling bearings on the dynamic performance of the shaft-bearing system with a high speed were analyzed. It was shown that when the bearing is in the case of extreme light (EL) preload, the high-speed effects of the shaft have a greater influence on the dynamic performance of the shaft-bearing system than the operational stiffness of rolling bearings does; the gyroscopic moment effect of the shaft is the most remarkable influence factor.

high-speed field; shaft-bearing system; dynamic performance; centrifugal force; gyroscopic moment

“高檔數(shù)控機(jī)床與基礎(chǔ)制造裝備” 科技重大專項課題(SK201201A26-01)

2013-01-28 修改稿收到日期：2013-06-04

胡騰 男，男，博士生，1982年9月生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.08.018