彭寶營，蔡力鋼，韓秋實，楊慶東，李啟光

（1．北京工業(yè)大學 機械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學院，北京 100124；2．北京信息科技大學 機電工程學院，北京 100192）

隨著制造業(yè)對零件加工精度要求的日益提高，直接驅(qū)動技術(shù)越來越多地應(yīng)用于高檔數(shù)控機床上，從而大幅提高了數(shù)控機床的性能指標。XY直驅(qū)加工平臺由2臺永磁同步直線電機驅(qū)動軸向相互垂直的XY兩軸，進行平面精密運動。具有立式銑削特征的XY二維直線電機系統(tǒng)，以其快速的動態(tài)響應(yīng)、準確的定位和可靠性，廣泛應(yīng)用于自動化加工設(shè)備領(lǐng)域［1］。由于直線電機取消了中間傳動環(huán)節(jié)，不含傳動誤差，跟蹤誤差是XY直驅(qū)加工平臺廓形誤差形成的主要原因。加工軌跡變化、機械延遲、機床振動、負載變化及兩軸驅(qū)動系統(tǒng)參數(shù)不匹配等因素引起X、Y軸跟蹤誤差，從而在很大程度上決定了輪廓加工精度［2］。采用交叉耦合控制的方法，通過控制跟蹤誤差可以有效補償廓形誤差。研究表明，相比先進的單軸伺服控制器，基于時間的等態(tài)的交叉耦合（Cross－Couple Controller，CCC）是提高系統(tǒng)輪廓精度更有效的途徑［3］。

Cheng等提出了XY平臺常規(guī)廓形誤差交叉耦合計算的基本方法［4－5］。在此基礎(chǔ)上，一些文獻對XY直驅(qū)平臺廓形誤差交叉耦合控制器的設(shè)計方法進行了研究，提出了等效誤差控制［6］、重復跟蹤控制［7］、差分進化法［8］和零相位自適應(yīng)魯棒控制［9］等方法。但交叉耦合控制應(yīng)用在非圓廓形XY直驅(qū)加工方面仍存在一些問題。首先，X、Y加工坐標為刀具中心軌跡，并不是真正的切觸點，X軸、Y軸跟蹤誤差引起的加工坐標誤差并不能直接等同廓形誤差，且二者引起的廓形誤差還存在耦合；其次，對于相同的廓形軌跡，非圓零件XY加工可分為外表面輪廓加工與內(nèi)腔表面輪廓加工，二者之間廓形誤差的交叉耦合計算必然存在一定差異，且誤差的正負與廓形曲線的凹凸性相關(guān)，誤差正負方向很難判定。

本文以XY直驅(qū)平臺非圓曲面加工廓形的誤差控制為研究對象，首先提出XY平臺外表面廓形及內(nèi)表面廓形加工X、Y軸跟蹤誤差耦合形成廓形誤差的計算模型，并設(shè)計了前饋交叉耦合廓形誤差控制器。進行了XY直驅(qū)平臺交叉耦合控制仿真與實驗驗證，為非圓曲面類零件XY直驅(qū)加工質(zhì)量的提升提供依據(jù)。

0 引言

1 非圓曲面XY加工廓形誤差耦合模型構(gòu)建

將非圓曲面XY加工分為外表面與內(nèi)表面輪廓加工。分析了非圓輪廓XY加工機理，分別對X軸、Y軸跟蹤誤差引起的廓形誤差進行研究，實現(xiàn)廓形誤差的解耦運算，提出XY平臺外表面與內(nèi)表面輪廓加工廓形誤差的耦合計算公式。

1．1 非圓廓形XY平臺加工機理分析

設(shè)平面直角坐標系廓形Γ（t）的參數(shù)方程如式（1）所示：

XY加工平臺進行廓形曲線Γ（t）外表面加工時，其加工坐標實質(zhì)為廓形軌跡按刀具半徑的法向外等距偏移。如圖1所示，對于Γ（t）上的任一點A1，按照曲線前進的方向建立其法線與切線的外表面加工標架，其中切線向量T1的方向與曲線前進方向一致，法線向量N1的方向則始終朝向曲線外側(cè)。

法向量N1的單位向量可按式（2）［10］計算，

則外表面輪廓加工、刀具半徑為r時，其XY聯(lián)動加工的坐標公式如式（3）所示：

同理，對于XY平臺內(nèi)腔零件加工，其加工坐標實質(zhì)為廓形軌跡按刀具半徑的法向內(nèi)等距偏移。XY平臺內(nèi)表面輪廓加工分析如圖2所示，對于Γ（t）上的任一點A2，按照曲線前進的方向建立其法線與切線的內(nèi)表面加工標架，其中法線向量N2的方向始終朝向曲線內(nèi)側(cè)。

法向量N2的單位向量可按式（4）計算：則內(nèi)表面輪廓加工、刀具半徑為r時，其XY聯(lián)動加工的坐標公式如式（5）所示：

1．2 非圓廓形XY加工廓形誤差分析

X、Y跟蹤誤差主要指伺服誤差，即某一時刻電機指令位置與實際位置之差；廓形誤差主要是切觸點誤差引起的輪廓法向誤差。由于XY直驅(qū)平臺減少了中間環(huán)節(jié)，基本消除了傳動誤差，X、Y軸的跟蹤誤差則是造成工件廓形誤差的主要原因。因此，控制補償X、Y軸跟蹤誤差，就能在很大程度上減小最終的加工廓形誤差。

XY平臺非圓廓形加工的誤差分析如圖3所示，在xoy直角坐標系內(nèi)，理論XY加工坐標實質(zhì)為刀具中心坐標 O1（X1，Y1），切觸點為 A1（x1，y1）。當X軸存在跟蹤誤差ΔX、Y軸存在跟蹤誤差ΔY時，刀具中心變?yōu)镺1′（X1＋ΔX，Y1＋ΔY），實際切觸點為A1′。作理論切觸點為A1處的外法線N1及切線T1，T1與X軸所夾的銳角為α。作平行四邊形O1′A1′A1O1，切線T1與O1′A1′交于B1點。由非圓輪廓法向等距的加工原理可知，∠O1A1B1和∠O1′B1A1均為直角。

法向廓形誤差ε可視為理論切觸點A1的切線T1與實際切除點A2的切線T2之間的距離｜A1′B1｜。其中：X 軸跟蹤誤差 ΔX 引起的法向廓形誤差為εx；Y軸跟蹤誤差ΔY引起的法向廓形誤差為εy。εx、εy誤差方向與曲線形狀及X、Y軸跟蹤誤差正負方向相關(guān)。εx與εy矢量耦合形成｜O1′C1｜，由｜O1A1｜＝｜O1′A1′｜＝｜C1B1｜及三角幾何關(guān)系，可以得出｜O1′C1｜＝ε，即法向廓形誤差ε等于εx與εy矢量和。

1．3 外表面輪廓XY加工廓形誤差耦合模型構(gòu)建

由式（3）和式（5）可知，XY直驅(qū)平臺加工非圓零件時，由X、Y軸跟蹤誤差并不能直接得到廓形誤差。X、Y跟蹤誤差引起的法向廓形誤差存在耦合，由刀具中心位置誤差直接得到廓形誤差比較困難。因此，分別對X、Y軸的跟蹤誤差引起的廓形誤差進行分析，然后將二者進行法向矢量疊加，即可得到最終廓形誤差。

圖1中，由三角幾何關(guān)系可知∠C1O1E1＝∠E1O1′D1＝α，設(shè)α的余角∠E1O1A1＝β。利用三角幾何關(guān)系可以得到。廓形誤差具有方向性，宜采用向量的方式表示。XY平臺加工外表面輪廓時，X軸跟蹤誤差ΔX引起的廓形誤差εx實質(zhì)為向量ΔX（ΔX，0）在廓形外法向軸N1上的投影。按照向量在軸上的投影計算方法［11］，εx的計算公式如式（6）所示

式中：β1為向量ΔX與N1的夾角，當ΔX與N1夾角為銳角時，β1＝β，當ΔX與N1的夾角為鈍角時β1＝π－β。按照夾角β1的銳角、鈍角情況，εx的計算公式如式（7）所示：

向 量 ΔX （ΔX，0）與 N1即式（2）的夾角是否為銳角，可用兩者相乘的數(shù)量積的正負表示。即當ΔX·N1＞0時，向量ΔX與N1的夾角為銳角；當ΔX·N1＜0時，向量ΔX與N1的夾角為鈍角。而ΔX·N1＝ΔX×＋0×＝，且＞0，因此，式（7）可寫成式（8）的形式：

為便于表達與計算，引入符號函數(shù)sign函數(shù)，其性質(zhì)如式（9）所示：

由式（9）可知，以下兩個等價條件成立，如式（10）所示：

根據(jù)式（10），將式（8）所示的兩種情況合并，統(tǒng)一寫成式（11）的形式：

符號函數(shù)sign具有分配率，即sign（ΔXy′）＝sign（ΔX）×sign（y′）成立，則式（11）可寫成式（12）的形成：

由于sign（ΔX）×｜ΔX｜＝ΔX成立，代入式（12），可得式（13）：

同理，可得出Y軸跟蹤誤差ΔY引起的廓形誤差εy計算公式：

式（14）和式（15）具有相應(yīng)的物理意義：由式（2）可以得出向量（y′，－x′）表示外表面加工時法向量即圖2中N1的方向，其橫坐標y′表示A1點外法線沿X軸的方向；縱坐標－x′表示A1點外法線沿Y軸的方向。當ΔX與y′方向相同時，表示刀具遠離目標廓形，ΔX引起的廓形誤差為正，反之為負；當ΔY與－x′方向相同時，表示刀具遠離目標廓形，ΔY引起的廓形誤差為正，反之為負。

聯(lián)立式（14）和式（15），推導出XY平臺外表面加工廓形誤差的耦合計算公式：

1．4 內(nèi)表面輪廓XY加工廓形誤差耦合模型構(gòu)建

當目標廓形Γ（t）為零件內(nèi)表面輪廓時，X、Y軸跟蹤誤差ΔX、ΔY引起的廓形誤差εx、εy同樣可等同于向量 ΔX（ΔX，0）、ΔY（ΔY，0）在廓形內(nèi)法向線（即式（4））上的投影，總廓形誤差ε為εx、εy的矢量和。按照式（6）～式（16）的方法，得到XY平臺內(nèi)表面加工廓形誤差耦合計算公式：

式（17）同樣具有相應(yīng)的幾何意義：由N2的表達式可知，向量（－y′，x′）表示內(nèi)表面加工時法向量N2的方向，其橫坐標－y′表示A2點外法線沿X軸的方向；縱坐標x′表示A2點外法線沿Y軸的方向。當ΔX與－y′方向相同時，表示刀具按法線方向遠離目標廓形，ΔX引起的廓形誤差為正，反之為負；當ΔY與x′方向相同時，表示刀具按法線方向遠離目標廓形，ΔY引起的廓形誤差為正，反之為負。

2 XY直驅(qū)平臺交叉耦合控制器設(shè)計

2．1 XY單軸控制器設(shè)計［12］

對于直線電機采用d－q坐標系下的模型，電流內(nèi)環(huán)采用電流在d軸上的分量id＝0的控制策略，使定子電流矢量與永磁體磁場在空間正交。在理想情況下，其直軸、交軸電壓方程如式（18）所示：

直線電機電磁推力及機械運動方程如式（19）所示：

式中：Fe為電磁推力；τ為極距；f為頻率；R為永磁同步直線電機的動子繞組電阻；Ld和Lq分別為永磁同步直線電機d軸和q軸電感；ud和uq為永磁同步直線電機電壓的d軸和q軸分量；Fd是直線電機的負載，Ψf為永磁體磁鏈。

直線電機矢量控制仿真程序框圖如圖4所示。電流環(huán)及速度環(huán)采用PI控制，位置環(huán)采用PID控制。

2．2 非圓曲面XY直驅(qū)加工交叉耦合控制方案設(shè)計

在X、Y單軸控制的基礎(chǔ)上，采用交叉耦合控制［13］方法進行非圓面輪廓誤差補償控制，減小廓形誤差。XY直驅(qū)加工交叉耦合控制原理圖如圖5所示，其思想是將X、Y的跟蹤誤差在耦合控制器中首先進行綜合，計算得到廓形誤差，然后經(jīng)過前饋交叉耦合控制器進行調(diào)節(jié)，將誤差信息分配給各軸以產(chǎn)生相應(yīng)的實時附加補償作用。其中，Gx與Gy分別為X軸、Y軸交叉耦合控制器的耦合增益。

由式（16），得外表面輪廓XY加工X 軸、Y 軸交叉耦合控制的耦合增益Gx、Gy的計算公式：

由式（17），得到內(nèi)表面輪廓XY加工X 軸、Y軸交叉耦合控制的耦合增益Gx、Gy的計算公式：

2．3 廓形誤差前饋交叉耦合PID控制器設(shè)計

XY直驅(qū)平臺加工非圓輪廓時，廓形誤差主要由X、Y軸跟蹤誤差耦合形成，具有一定的滯后性，傳統(tǒng)的比例、積分、微分（Proportion，Integration，Differentiation，PID）控制很難取得滿意的控制效果。前饋控制可以提高系統(tǒng)的跟蹤性能，具有一定的補償功能。經(jīng)典的前饋控制理論中的前饋控制設(shè)計是基于復合控制的思想，當閉環(huán)系統(tǒng)為連續(xù)系統(tǒng)時，使前饋環(huán)節(jié)與閉環(huán)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之積為1，從而實現(xiàn)完全復現(xiàn)輸入［14］。

根據(jù)前饋控制的基本思想，設(shè)計了廓形誤差多級前饋交叉耦合控制器，如圖6所示。X、Y軸交叉耦合后的廓形誤差為ε，與廓形誤差期望值εcmd進行比較后，輸出量經(jīng)過前饋PID運算得到X、Y直線電機補償值，使不同時刻的ε保持在一個合理范圍內(nèi)。其中，比例、積分、微分的系數(shù)分別為Kp，Ki，Kd；可通過改變系數(shù)Kv，Ka對誤差變化及誤差變化率進行前饋補償控制；系統(tǒng)的固有阻尼可通過Kf進行前饋補償。

3 仿真實驗及驗證

本文建立了XY直驅(qū)加工交叉耦合的控制仿真模型，以柱塞式液壓馬達常用的修正心形曲面加工為例，對廓形誤差交叉耦合控制效果進行仿真，并對非圓曲面XY廓形誤差計算模型的準確性進行驗證。

3．1 XY直驅(qū)加工廓形誤差交叉耦合控制仿真模型建立

XY直驅(qū)加工廓形誤差前饋交叉耦合補償控制Simulink仿真程序圖如圖7所示。X、Y軸跟蹤誤差經(jīng)過耦合增益矢量疊加形成廓形誤差。廓形誤差經(jīng)過前饋PID控制器后，計算出補償量，與耦合增益相乘后，對X、Y軸進行位置補償，最終達到減小廓形誤差的目的。其中，直線電機模型按照圖4所示的直線電機矢量控制仿真程序圖建立，Xt．mat和Yt．mat為X、Y軸指令位置。

廓形誤差交叉耦合前饋PID調(diào)節(jié)模塊Simulink仿真程序圖如圖8所示。廓形誤差ε由X、Y軸跟蹤誤差耦合計算，取期望廓形誤差為0，設(shè)置了飽和及死區(qū)，以增加系統(tǒng)的安全性和快速性。

3．2 修正心形曲面基本參數(shù)

修正心曲面為一條簡單、連續(xù)、封閉且高次可微的周期性曲面，可解決內(nèi)曲面馬達的內(nèi)部沖擊問題。已廣泛應(yīng)用于徑向柱塞式液壓馬達中。該曲面較復雜，在xoy平面內(nèi)的每個象限均具有凹凸部分，具有代表性。其坐標計算如下［15］：

式中：A表示幅值；B表示脈動幅度；n表示脈動周期；θ為參數(shù)角度。取A＝100mm，B＝0．1，n＝6，θ＝0－2π，得到待加工廓形軌跡如圖9所示。

3．3 修正心形外表面XY直驅(qū)加工廓形誤差交叉耦合控制仿真

圖7所示的XY直驅(qū)平臺廓形誤差控制仿真模型中，選擇外表面交叉耦合控制方式，進行修正心形外表面加工廓形誤差交叉耦合控制仿真實驗。取刀具半徑r＝20mm，按式（3）計算出修正心形外表面輪廓加工軌跡，如圖10所示。

按照式（12），計算出修正心形外表面輪廓加工廓形誤差交叉耦合的控制增益曲線，如圖11所示。

將外表面加工坐標及耦合增益計算導入圖7所示的仿真模型中，進行交叉耦合控制仿真。設(shè)置一圈加工時間為18s，仿真結(jié)果采樣周期設(shè)置為0．05 s。前饋交叉耦合補償控制器的參數(shù)分別為：Kp＝10，Ki＝0．5，Kd＝10，前饋系數(shù)Kv＝0．05，Ka＝0．01，Kf＝0．002。得到修正心形外表面廓形誤差交叉耦合控制前后的廓形誤差曲線對比，如圖12所示。

由圖12可以看出，經(jīng)過前饋交叉耦合控制后，修正心形外表面X－Y加工廓形誤差峰值下降了65．7%，而且更加平穩(wěn)，大大提高了加工精度。

3．4 修正心形曲面內(nèi)表面XY直驅(qū)加工廓形誤差交叉耦合控制仿真

如圖7所示，調(diào)整開關(guān)，選擇內(nèi)表面交叉耦合控制方式，進行修正心形內(nèi)表面加工形廓誤差交叉耦合控制的仿真實驗。取刀具半徑r＝20mm，按式（5）計算出修正心形內(nèi)表面輪廓的加工軌跡，如圖13所示。

按照式（13），計算出修正心形內(nèi)表面輪廓加工廓形誤差交叉耦合控制的增益曲線，如圖14所示。

將內(nèi)表面加工坐標及耦合增益計算導入圖7所示的仿真模型中，進行交叉耦合控制仿真。仿真條件及參數(shù)與外表面交叉耦合控制相同，得到修正心形內(nèi)表面廓形誤差交叉耦合廓形的誤差曲線對比，如圖15所示。

由圖15可以看出，經(jīng)過前饋交叉耦合控制后，修正心形內(nèi)表面XY加工廓形的誤差峰值下降了66．8%，而且誤差也更加平穩(wěn)，大大提高了加工精度。

3．5 XY直驅(qū)加工廓形誤差耦合計算模型驗證

XY直驅(qū)平臺加工非圓零件時，刀具中心軌跡沿廓形在X、Y軸方向上插補移動，刀具旋轉(zhuǎn)并包絡(luò)形成工件輪廓。非圓曲面XY加工刀具軌跡法的廓形誤差分析如圖16所示，理論刀具中心為O（X，Y），與之對應(yīng)的理論加工點位A（x，y）。當X、Y 軸存在跟蹤誤差時，刀具中心變?yōu)镺′（X′，Y′），實際加工點變?yōu)锳′。因此，廓形誤差即為實際刀具中心點O′與目標廓形曲線Γ（t）的最短距離減去刀具半徑r，該方法以下簡稱刀具軌跡法。為便于計算，廓形誤差按照實際刀具中心點與理論目標點的距離減去刀具半徑r近似計算，其計算公式如式（23）所示：

按照上述方法，對非圓曲面XY加工廓形誤差耦合模型（即式（16）、式（17））所計算的廓形誤差的大小及方向進行驗證。將修正心形外表面加工交叉耦合控制仿真中的X、Y軸位置輸出代入式（23），得到外表面輪廓XY加工耦合誤差模型與刀具軌跡法得出的廓形誤差曲線對比圖，如圖17所示。

將修正心形內(nèi)表面加工交叉耦合控制仿真中的X、Y軸位置輸出代入式（23），得到內(nèi)表面XY加工耦合誤差模型與刀具軌跡法得出的廓形誤差曲線對比圖，如圖18所示。

由圖17和圖18可以看出，修正心型XY直驅(qū)平臺外表面加工和內(nèi)表面加工耦合廓形誤差模型與刀具軌跡法計算的廓形誤差非常接近，而且誤差的方向完全一致，說明耦合廓形誤差計算模型（即式（16）、式（17））能夠根據(jù) X、Y 軸的跟蹤誤差較準確地計算復雜凹凸軌跡的廓形誤差。

3．6 仿真實驗有效性分析

造成跟蹤誤差ΔX、ΔY的原因有很多，有些因素如機床振動、溫升及各種電氣干擾等，仿真沒有考慮這些因素引起的跟蹤誤差。實際加工與仿真模型的ΔX、ΔY存在小范圍偏差，即ΔX、ΔY實際加工與仿真值不同。對于其他ΔX、ΔY的情況，由于廓形誤差耦合計算模型也可以根據(jù)ΔX、ΔY的真實值計算廓形誤差，提出的交叉耦合前饋PID控制仍然可以根據(jù)ΔX、ΔY的值補償控制廓形誤差。因此，仿真結(jié)果可以說明本文所提方法的正確性。

4 結(jié)束語

本文通過刀具軌跡法廓形誤差與XY耦合誤差模型得出的廓形誤差曲線比較，說明所提出的非圓曲面XY直驅(qū)平臺外表面與內(nèi)表面加工廓形誤差計算模型具有很高的準確性，其誤差方向的判定方法是正確的。

與常規(guī)控制相比，本文所設(shè)計的前饋交叉耦合補償控制大幅降低了非圓曲面XY直驅(qū)平的廓形誤差，是提高非圓曲面加工精度的有效方法。

本文提出的非圓零件廓形誤差XY直驅(qū)加工交叉耦合控制方法具有計算量小、實現(xiàn)方便等特點，具有潛在的工程價值。

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