孫慧玲, 陳寶錠, 陳華寶, 李清波

(1.淮陰師范學(xué)院 人事處, 江蘇 淮安 223300; 2.淮陰師范學(xué)院 物理與電子電氣工程學(xué)院, 江蘇 淮安 223300)

基于橢圓基元光子晶體的寬角度自準(zhǔn)直傳輸研究

孫慧玲1, 陳寶錠2, 陳華寶2, 李清波2

(1.淮陰師范學(xué)院 人事處, 江蘇 淮安 223300; 2.淮陰師范學(xué)院 物理與電子電氣工程學(xué)院, 江蘇 淮安 223300)

針對二維光子晶體在自準(zhǔn)直傳輸現(xiàn)象,推導(dǎo)了非正交坐標(biāo)系下的時域有限差分(FDTD)模型,有效地計算了二維橢圓基元光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)．結(jié)合等頻圖分析,從理論上研究了二維橢圓基元光子晶體結(jié)構(gòu)中TM模式的自準(zhǔn)直現(xiàn)象,優(yōu)化設(shè)計出寬角度自準(zhǔn)直效應(yīng)模型,并通過高斯波束驗證了其無衍射自導(dǎo)傳輸模式．

光子晶體; 自準(zhǔn)直; 非正交時域有限差分方法

0 引言

自1987年美國貝爾通信實驗室的Eli Yablonovitch 教授和美國Priceton大學(xué)的Sajeev John教授在Physical Review Letters雜志上獨立地提出了光子晶體(Photonic crystals, PCs)的概念以來,光子晶體獨特的能帶結(jié)構(gòu)以及由此導(dǎo)致的奇特電磁特性使其成為近幾十年來一直備受關(guān)注的熱點研究課題．光子晶體最大的特點就是對光子傳播的調(diào)控,有關(guān)帶隙及其應(yīng)用的研究一直處于光子晶體研究的核心地位,例如:波導(dǎo)[1],濾波器[2],諧振腔[3]等．除了最基本的禁帶性質(zhì),人們發(fā)現(xiàn)通過引入缺陷等方式破壞光子晶體的完整周期后,將在其帶隙中形成一些新的模式,例如點缺陷引發(fā)的局域共振模式[4],線缺陷產(chǎn)生的波導(dǎo)模式[5]．此外,熱門的研究還包括光波在光子晶體中傳播的動力學(xué)效應(yīng),包括遂穿,超光速等[6,7]．同時,近年來,越來越多的人關(guān)注于光子晶體異常色散特性,如負折射,慢光,自準(zhǔn)直[8,9]．光子晶體中的自準(zhǔn)直現(xiàn)象提供一種新的無衍射控制光傳播的方式,因而產(chǎn)生了很多新的應(yīng)用,如虛擬波導(dǎo)[10], 干涉儀[11],光學(xué)開光[12],光子內(nèi)部連接器[13]等．

在光子晶體光子帶隙的計算中,最小的計算區(qū)域為晶體的一個元胞,傳統(tǒng)直角坐標(biāo)系FDTD的計算網(wǎng)格為矩形,研究非矩形結(jié)構(gòu)的光子晶體時,需要采用超元胞的方法,會引入重復(fù)的計算區(qū)域．在非正交的情況下,需要選用非正交直線坐標(biāo)系,只要求計算網(wǎng)格為是非正交的平行四邊形,這樣就無須采用超元胞的方法,能夠簡化計算．

本文首先研究了非正交FDTD(the finite-difference time-domain method)的遞推公式及光子晶體能帶的計算,然后通過光子晶體能帶及其等頻圖優(yōu)化設(shè)計了基于橢圓基元的二維光子晶體實現(xiàn)寬角度自準(zhǔn)直模型,理論認(rèn)為入射角度可以達到±90°范圍．

1 非正交坐標(biāo)FDTD方法

任意斜角的非正交二維坐標(biāo)系如圖1所示．其中直線坐標(biāo)軸為α,β,z,坐標(biāo)軸夾角為θ,坐標(biāo)α,β,z與正交直角坐標(biāo)x,y有如下關(guān)系:

x=α+βcosθ,y=βsinθ,z=z

(1)

圖1 任意斜角的非正交二維坐標(biāo)系

斜坐標(biāo)系下的協(xié)變基矢量為:

(2)

橢圓介質(zhì)柱中心間距為a,晶格點位置為

Rm,n=(m+ncosθ)aex+(ncosθ)aey

(3)

式中m,n為正整數(shù).倒格子基矢量為:

(4)

(5)

倒格子矢量為:

G=r1b1+r2b2

(6)

其中,r1和r2為整數(shù)．

(7)

(8)

(9)

(10)

以及TM波

(11)

(12)

(13)

根據(jù)Faraday定理,對TM波方程進行空間離散:

(14)

(15)

(16)

類似,可以得到空間離散的TE波方程．

2 分析及模擬

圖2 二維光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)

(a)三維等頻圖 (b)第四條能帶的二維等頻圖

考慮以空氣為背景的θ=90°即正方點陣介質(zhì)型光子晶體．橢圓介質(zhì)基元的長軸、短軸分別為9 mm,4.4 mm,晶格常數(shù)a=10 mm,相對介電常數(shù)為21．在本文的研究中,主要考慮電場平行于介質(zhì)柱的TM模式．為了找到光子晶體中自準(zhǔn)直效應(yīng)出現(xiàn)的頻率和傳播方向,首先使用非正交FDTD方法計算得到其TM模下的能帶結(jié)構(gòu)．TM模式的光子能帶結(jié)構(gòu)如圖2所示,可見,在第4條能帶ΓX1方向存在長距離的平帶,在X1M方向,存在線性變化的能帶．由于電磁波在光子晶體中的傳輸方向與其群速度方向保持一致,而群速度vg=kω(k),其中k表示波矢．在波矢空間中,群速度方向與該點處角頻率ω(k)的梯度方向一致．所以我們可以初步認(rèn)為在第4條能帶中存在自準(zhǔn)直傳輸現(xiàn)象為了進一步確認(rèn),我們利用COMSOL計算了第1、2、5條的三維能帶圖,如圖3a所示．同時,給出了第4條能帶的二維等頻圖,如圖3b所示．可以看出,TM模在頻率0.34～0.39(2.πc/a)時,等頻線的形狀接近于直線,其方向垂直于kx,根據(jù)自準(zhǔn)直效應(yīng),在該頻率區(qū)間電磁波可以在光子晶體內(nèi)無展寬自準(zhǔn)直傳輸．并且沿ΓX1方向近乎直線的等頻線穿過了整個第一布里淵區(qū),理論上對于±90°范圍內(nèi)的入射電磁波都可以產(chǎn)生自準(zhǔn)直傳輸現(xiàn)象．

在距離光子晶體左側(cè) 10a處放置一個沿豎直方向長度為 6a,中心頻率為0.363c/a的 TM模高斯線光源,從左側(cè)入射到光子晶體上．使用 COMSOL模擬高斯波束在光子晶體中的傳輸．圖4a和圖4b分別仿真在空氣背景與橢圓介質(zhì)光子晶體中的電場分布情況．由圖4a可以發(fā)現(xiàn)高斯波束在空氣背景中的寬度隨著傳輸距離的增加而增大,從而變得發(fā)散．當(dāng)高斯波束入射到光子晶體上時(如圖4b),大部分能量被耦合進光子晶體,只有較少的反射,耦合效果很好．耦合到光子晶體中的波束,受自準(zhǔn)直效應(yīng)的約束,即沿電磁波垂直方向的分量為零,沿水平方向無衍射直線傳輸,并從光子晶體右側(cè)出射．圖4c與圖4d分別仿真在高斯波束以30°、45°入射到介質(zhì)光子晶體中的電場分布情況．我們可以發(fā)現(xiàn)無論是30°還是45°入射,在光子晶體中都是無衍射水平傳輸?shù)?波束并沒有分散開來,并且波束在右側(cè)出射時的角度依然保持了入射時同樣的角度．

圖4 沿著kx方向傳播高斯波束的電場分布模式

3 結(jié)論

光子晶體中的自準(zhǔn)直傳輸提供一種新的無衍射控制電磁波傳播的方式,為了找到光子晶體中自準(zhǔn)直效應(yīng)出現(xiàn)的頻率和傳播方向,本文推導(dǎo)了非正交坐標(biāo)系下的時域有限差分方法,計算了二維橢圓基元光子晶體TM模下的帶隙結(jié)構(gòu)．進而結(jié)合等頻圖分析,從理論上研究了二維光子晶體結(jié)構(gòu)中TM模式的無衍射傳輸自準(zhǔn)直傳輸模式．此自準(zhǔn)直效應(yīng)模型入射角理論可達到±90°寬角度,無論高斯波束以什么樣的角度入射,在光子晶體中都是無衍射傳輸?shù)?波束不會分散開來,并且波束在出射出光子晶體時的角度依然保持了入射時同樣的角度．

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[責(zé)任編輯：李春紅]

All-angle Self-collimation in Photonic Crystals with Elliptical Basis

SUN Hui-ling1, CHEN Bao-ding2, CHEN Hua-bao2, LI Qing-bo2

(1.Department of Personnel, Huaiyin Normal University, Huaian Jiangsu 223300, China) (2.School of Physics and Electronic Electrical Engineering, Huaiyin Normal University, Huaian Jiangsu 223300, China)

In view of the self-collimation transmission phenomenon,a finite-difference time-domain scheme in a nonorthogonal coordinate system is presented to calculate the band structure of a two-dimensional photonic crystal.Self-collimation of photonic crystals in the whole angular range of ±90°in the fourth band of a two-dimensional photonic crystals with elliptical basis is demonstrated by examining the band structure and equifrequency contours. non-diffraction guiding modes is verified by a gaussian beam.

photonic crystal; self-collimation; nonorthogonal finite difference time domain method

2013-11-12

江蘇省高校大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃項目(201310323009Z); 淮安市科技支撐計劃項目(HAG2010068)

孫慧玲(1981-), 女, 江蘇淮安人, 助理研究員, 碩士, 研究方向為電磁場理論．E-mail: 109884915@qq.com

O413.1

A

1671-6876(2014)02-0121-05