張軍菲 王昭娜

(1.中建三局集團有限公司工程總承包公司，湖北 武漢 430070； 2.安陽工學院土木與建筑工程學院，河南 安陽 455000)

無網(wǎng)格點插值法工程應(yīng)用概述

張軍菲1王昭娜2*

(1.中建三局集團有限公司工程總承包公司，湖北 武漢 430070； 2.安陽工學院土木與建筑工程學院，河南 安陽 455000)

重點介紹了點插值法(PIM)的基本原理及程序?qū)崿F(xiàn)過程，并比較了PIM與有限元法(FEM)和無網(wǎng)格伽遼金法(EFGM)之間的異同，結(jié)果表明：PIM法集合了FEM法和EFGM法的優(yōu)點，便于工程應(yīng)用。

無網(wǎng)格，點插值法，形函數(shù)，delta函數(shù)

0 引言

有限元法自20世紀50年代提出以來，已成為工程分析與計算的最重要工具之一。其顯著特點之一是用預(yù)先定義的網(wǎng)格，將一個無限自由度的連續(xù)體離散成有限自由度的單元集合，從而獲得一個復(fù)雜問題的近似解。但因為運用了網(wǎng)格，造成有限元法在算解某些工程問題時變得越加困難。所以，無網(wǎng)格法的思想被提出，并得到迅速壯大。

最先無網(wǎng)格法的一種是光滑質(zhì)點水動力學法。1994年美國的Belytschko教授在修正模糊單元法的基礎(chǔ)上提出了自由單元法[1]。當前，無網(wǎng)格法已應(yīng)用到巖土工程、大變形問題、穿透問題等。當然無網(wǎng)格法也存在計算量大，效率低等很多缺點。因此，Liu[2]提出了點插值法(PIM)。PIM法集合了有限元法(FEM)和無網(wǎng)格伽遼金法(EFGM)的優(yōu)點。

本文將簡要介紹點插值法(PIM)的基本原理及其實現(xiàn)的流程，并基于插值過程和主要位移邊界條件的實現(xiàn)等兩方面來比較PIM法與FEM法和EFGM法的基本特征，從而闡明PIM法在原理和工程應(yīng)用方面的優(yōu)勢。

1 PIM法基本原理及實現(xiàn)過程

1.1 PIM法基本原理

在域Ω中，點xQ附近的點的數(shù)值u的近似函數(shù)為：

(1)

其中，pi(x)為任意階的基函數(shù)，可通過Pascal三角取得；n為基函數(shù)的項數(shù)；a(xQ)為系數(shù)矩陣。

插值函數(shù)Ф(x)定義為：

(2)

其中，插值函數(shù)Фi(x)滿足：

Фi(x)=1,i=j,j=1,2,…,n

(3)

Фi(x)=0,i≠j,j=1,2,…,n

(4)

(5)

因為插值函數(shù)Ф(x)具備delta函數(shù)特性，進而使PIM在主要位移邊界條件上容易呈現(xiàn)。

1.2 PIM法實現(xiàn)經(jīng)過

PIM的流程圖可簡單表述如下：

1)把域Ω分成有限個子域(cell)。

2)每個cell都反復(fù)a步～e步：a.獲取cell里的某個高斯點xQ；b.確定xQ的影響域并找到xQ的全部相鄰點；c.計算Фi(xQ)和Фi,j(xQ)；d.代入前面PIM的方程；e.解出結(jié)果以及序列存儲；f.反復(fù)a步～e步，直到遍歷cell里全部的高斯點。

3)反復(fù)步驟2)，直到遍歷域Ω里全部的cell。

2 PIM法與FEM法、EFGM法的對比

2.1 插值過程的對比

1)PIM法和FEM法的對比。

PIM法插值過程建立在一系列隨機分布節(jié)點的基礎(chǔ)之上。FEM法與PIM法的插值過程相同，兩樣插值函數(shù)都具備delta函數(shù)的特性，都是過點插值，在邊界條件的施加上更加簡便。

此外，PIM法在取樣點上的插值過程是由該節(jié)點的影響域變徑來確定的，它會覆蓋作為另外取樣點的影響域。但是，F(xiàn)EM法的網(wǎng)格之間沒有相互覆蓋的部分，單元和單元之間是由單元邊界上的公共節(jié)點來聯(lián)系的。

2)PIM法和EFGM法的對比。

對比于PIM法，EFGM法的插值過程同樣是建立在一組隨便分布的節(jié)點基礎(chǔ)上。然而，EFGM法基的項數(shù)m不同于域內(nèi)節(jié)點數(shù)n，即m≠n。

所以，EFGM法的形函數(shù)比PIM法的形函數(shù)要繁瑣許多，對不一樣的問題還應(yīng)該選擇不一樣的權(quán)函數(shù)。從某種意義上說，PIM法是EFGM法的特殊情況，原因是當基的個數(shù)m同于域內(nèi)節(jié)點數(shù)n時，兩者是統(tǒng)一的。

2.2 實現(xiàn)主要位移邊界條件

1)PIM法和FEM法的對比。

PIM法和FEM法的形函數(shù)都具有delta函數(shù)特性，全部主要邊界條件都容易實現(xiàn)。

2)PIM法與EFGM法的對比。

EFGM法是一種不過點擬合的非線性插值過程，其形函數(shù)不擁有delta函數(shù)特性，精確并有效的施加本質(zhì)邊界條件是困難的，通常采用Lagrange乘子法來消除這種困難。在運用Lagrange乘子法時，系數(shù)矩陣是一個滿秩矩陣，要比PIM法形成的矩陣大很多，尤其是在邊界條件很多時，這樣就使得EFGM法很不經(jīng)濟。

3 結(jié)語

點插值法(PIM)是一種重要的無網(wǎng)格方法，它集合了有限元法(FEM)和無網(wǎng)格伽遼金法(EFGM)的優(yōu)點。具備無網(wǎng)格法不需要建立網(wǎng)格、精度高、后處理方便和收斂快等優(yōu)點，同時插值函數(shù)具備delta函數(shù)特性，克服了傳統(tǒng)無網(wǎng)格法計算與選擇形函數(shù)繁瑣耗時、主要位移邊界條件難以實現(xiàn)等缺點。

[1] Belytschko T,Lu Y Y,Gu L.Element-free Galerkin methods[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering,1994,37(2):229-256.

[2] Liu G R.Mesh Free Methods[M].Florida USA:CRC Press,2003.

Summary of engineering application of meshfree Point Interpolation Method

ZHANG Jun-fei1WANG Zhao-na2*

(1.GeneralConstructionCompanyofCCTEBGroupCo.，Ltd，Wuhan430070，China；2.DepartmentofCivilandArchitectureEngineering,AnyangInstituteofTechnology，Anyang455000,China)

This paper mainly introduced the fundamental principle and the process of program of Point Interpolation Method(PIM). Therefore, the differences between PIM and the Finite Element Method(FEM), and the differences between PIM and the Element-Free Galerkin Method(EFGM) are compared. The results indicated that PIM collected the advantages of FEM and EFGM, which would contribute to the engineering application.

meshfree， Point Interpolation Method， shape function， delta function

1009-6825(2014)34-0086-02

2014-09-20

張軍菲(1984- )，男，二級建造師

王昭娜(1985- )，女，助教

O313

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