古傳運(yùn)，鄭鳳霞

(四川文理學(xué)院數(shù)學(xué)與財經(jīng)學(xué)院，四川達(dá)州635000)

一類非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解的唯一性

古傳運(yùn)，鄭鳳霞

(四川文理學(xué)院數(shù)學(xué)與財經(jīng)學(xué)院，四川達(dá)州635000)

利用τ-φ-凹算子的不動點(diǎn)定理,研究了一類非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解的唯一性．主要結(jié)論不僅保證了正解的存在唯一性，而且能夠構(gòu)造一迭代序列去逼近此解．

分?jǐn)?shù)階微分方程；邊值問題；正解；唯一性；τ-φ-凹算子；不動點(diǎn)定理

分?jǐn)?shù)階微分方程廣泛應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活的諸多領(lǐng)域,如物理、力學(xué)、工程、化學(xué)、生物學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等[1-3]．近年來，眾多專家學(xué)者利用錐上的不動點(diǎn)定理和Leray-Schauder理論等，深入研究了帶有各種邊值問題的非線性分?jǐn)?shù)階微分方程正解的存在性和多重性，并取得了重要的研究成果[4-7]．

Xu等人[8]利用非線性leray-schauder選擇定理、錐上的不動點(diǎn)定理等研究了非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

正解的存在性，其中Dα0+是標(biāo)準(zhǔn)的α＞0階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)．

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文利用τ-φ-凹算子的不動點(diǎn)定理,研究如下非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題:

1 預(yù)備知識

定義1.1[2]對于定義在[0,∞)上的函數(shù)f(x),算式

稱為標(biāo)準(zhǔn)的α＞0階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分,等式的右端在[0,∞)有定義,其中Γ(α)表示Gamma函數(shù)．

定義1.2[2]對于定義在[0,∞)上的函數(shù)f(x),算式稱為標(biāo)準(zhǔn)的α＞0階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),等式的右端在[0,∞)有定義,其中n=[α]+1,[α]表示數(shù)α的整數(shù)部分．

引理1.1[8]給定h∈C[0,1]且3＜α≤4．分?jǐn)?shù)階微分方程

其中:

這里稱G(t,s)是分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題(1.1)的Green函數(shù),且

引理1.2[8]引理2.1中的Green函數(shù)G(t,s)具有如下性質(zhì):

其中M0=max{α-1,(α-2)2}．

下面再給出一些下文所要用到的序Banach空間中的一些基本概念和不動點(diǎn)定理,詳細(xì)討論可見文獻(xiàn)[9, 10]及其他文獻(xiàn)．

假設(shè)(E,‖?‖)是實(shí)Banach空間,P為E中的非空閉凸子集,θ為E中的零元素．如果P滿足(i)x∈P, λ≥0?λx∈P；(ii)x∈P,-x∈P?x=θ,則稱P為E中的一個錐．由P引出E中的半序關(guān)系如下: x,y∈E,x≤y當(dāng)且僅當(dāng)y-x∈P．若x≤y且x≠y，則記作x＜y．

記P0={x∈P|x為P的內(nèi)點(diǎn)},如果P0非空,則稱錐P為體錐．若存在常數(shù)N＞0,使得對任意x,y∈E, θ≤x≤y,都有‖x‖≤N‖y‖,則稱錐P是正規(guī)的，其中N叫做錐P的正規(guī)常數(shù)．易知,對任意正規(guī)錐,正規(guī)常數(shù)N≥1．若x≤y,就有Ax≤Ay,則稱一個算子A:E→E是遞增的．

任意x,y∈E,若存在λ＞0和 μ＞0,使得λx≤y≤μx,則稱x～y．顯然～是一個等價關(guān)系．給定w＞θ(即w≥θ且w≠θ)，記Pw={x∈E|x～w},易知當(dāng)?w∈P,有Pw?P且當(dāng)w∈P0時,Pw=P0．

定義1.3[10]設(shè)P是實(shí)Banach空間E中的錐．A:P→P稱為τ-φ-凹算子,如果存在兩個定義在區(qū)間(a,b)上的正值函數(shù)τ(t),φ(t)使得τ:(a,b)→(0,1)是滿射, φ(t)＞τ(t),?t∈(a,b)和A(τ(t)x)≥φ(t)Ax,?t∈(a,b),x∈P．

引理1.3[10]設(shè)P是實(shí)Banach空間E中的正規(guī)錐．假設(shè)A:P→P是一個遞增的τ-φ-凹算子和存在w∈P且w≠θ使得Aw∈Pw．則有:

(i)存在u0,v0∈Pw和r∈(0,1)使得rv0≤u0＜v0, u0≤Au0≤Av0≤v0； (ii)算子方程Ax=x在Pw中存在唯一不動點(diǎn)x*；(iii)對任意初值x0∈Pw,構(gòu)造一迭代序列xn=Axn-1,n=1,2,...,則當(dāng)n→∞時‖xn-x*‖→0．

2 主要結(jié)果

利用引理1.3研究非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題(0.1),并得到關(guān)于其正解存在唯一性的新結(jié)果．

在本文中，所討論的空間是Banach空間C[0,1],且賦有標(biāo)準(zhǔn)范數(shù)‖x‖=sup{|| x(t):t∈[0,1]}．注意到這個空間可以賦予偏序,定義為

?x,y∈C[0,1],x≤y??t∈[0,1],x(t)≤y(t)令P={x∈C[0,1]|x(t)≥0,t∈[0,1]},顯然P是Banach空間C[0,1]中的正規(guī)錐且正規(guī)常數(shù)是1．

定理2.1假設(shè)：

(H1)f(t,u):[0,1]×[0,∞)→[0,∞)關(guān)于u是連續(xù)遞增函數(shù)且f(t,0)≡0；

(H2)存在兩個定義在區(qū)間(0,1)上的正值函數(shù)τ(t),φ(t)使得τ:(0,1)→(0,1)是滿射，φ(t)＞τ(t),?t∈(0,1)滿足f(t,τ(λ)u)≥φ(λ)Au,?λ∈(0,1),?t∈(0,1),?u∈P．則有:

(1)存在u0,v0∈Pw和r∈(0,1)使得rvo≤u0＜v0且

其中w(t)=tα-2(1-t)2,t∈[0,1]和G(t,s)即為式(2.2)．

(2)非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題(0.1)在Pw中存在唯一正解u*．

(3)對任意初值x0∈Pw,構(gòu)造一迭代序列

從而當(dāng)n→∞時有‖xn(t)-u*(t)‖→0．

證明：由引理1.1，問題(0.1)與下列的一個積分方程等價:

定義算子A:P→E為

容易證明u是問題(0.1)的解當(dāng)且僅當(dāng)u=Au．因?yàn)閒(t,u(t))≥0,所 以 有Au(t)≥0,t∈(0,1),從 而A:P→P．下面驗(yàn)證算子A滿足引理1.3的所有條件．

首先證明Aw∈Pw,其中w(t)=tα-2(1-t)2,t∈[0,1]．

由條件(H1)和引理1.2,對于?t∈[0,1],則有

從條件(H1)可知

因?yàn)閒(t,0)≡0,?t∈[0,1]，所以

從而

因此l1w(t)≤Aw(t)≤l2w(t),t∈[0,1]；故Aw∈Pw．

其次,從條件(H1)(H2)可知,對?λ∈(0,1)和u∈P,有

即對于?λ∈(0,1),u∈P,有A(τ(λ)u)≥φ(λ)Au．所以算子A是一個遞增的τ-φ-凹算子．

最后，利用引理1.3可得:

(1)存在u0,v0∈Pw和r∈(0,1)使得rvo≤u0＜v0且

其中w(t)=t(1-t),t∈[0,1]和G(t,s)即為式(1.2)．

(2)非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題(0.1)在Pw中存在唯一正解u*．

(3)對任意初值x0∈Pw,構(gòu)造一迭代序列

從而當(dāng)n→∞時有

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【編校：許潔】

The Uniqueness of Positive Solution for a Class of Nonlinear Fractional Differential Equation Boundary Value Problem

GU Chuanyun,ZHENG Fengxia
(School of Mathematics and Finance-Economics,Sichuan University of Arts and Science,Dazhou,Sichuan 635000,China)

The uniqueness of positive solution for nonlinear fractional differential equation boundary value problem was concerned using the fixed point theorem forτ-φ-concave operator.The results can guarantee the uniqueness of positive solution, and can also be applied to construct an iterative scheme for approximating the solution.

fractional differential equation;boundary value problem;positive solution;uniqueness;τ-φ-concave operator; fixed point theorem

O175.8

A

1671-5365(2014)06-0013-03

2013-09-22修回：2013-10-25

四川文理學(xué)院校級科研項(xiàng)目(2012Z004Z)

古傳運(yùn)(1982-),男,助教,碩士,研究方向?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué)

時間：2013-10-30 15:06

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20131030.1506.013.html