杜保營

(宜賓學(xué)院數(shù)學(xué)研究所，四川宜賓644007)

能量估計(jì)在偏微分方程中的應(yīng)用

杜保營

(宜賓學(xué)院數(shù)學(xué)研究所，四川宜賓644007)

介紹了一般形式二階n維雙曲型方程初邊值問題解的能量估計(jì)、一般形式二階n維拋物型方程初邊值問題解的能量估計(jì)以及一般形式二階n維橢圓型方程邊值問題解的能量估計(jì),探討了能量估計(jì)在這幾類方程的(初)邊值問題的一些應(yīng)用,并得出一些結(jié)論.關(guān)鍵詞：能量估計(jì)；雙曲型方程；拋物型方程；橢圓形方程

能量估計(jì)又稱能量不等式，它在偏微分方程中有著廣泛的應(yīng)用．曹洪鋒等[1]研究了熱傳導(dǎo)方程中能量估計(jì)的一些應(yīng)用；楊金林[2]研究了二階波動(dòng)方程中的能量估計(jì)與應(yīng)用．一些特殊的偏微分方程的初邊值問題解的唯一性和穩(wěn)定性可用極值原理[3]或最大模估計(jì)[4]來處理．但是對于一般形式n維雙曲型偏微分方程的初邊值問題解的唯一性和穩(wěn)定性，一般形式的n維拋物型偏微分方程初邊值問題解的唯一性和穩(wěn)定性以及一般形式n維橢圓型偏微分方程邊值問題解的唯一性和穩(wěn)定性用極值原理或最大模估計(jì)處理就會(huì)很困難，而用能量估計(jì)處理這幾類偏微分方程解的唯一性及穩(wěn)定性就能夠很好地解決．本文就能量估計(jì)在這幾類偏微分方程中的應(yīng)用做一些探討，并得出一定的結(jié)論．

1 基本概念

定義1[5]設(shè)Ω是Rn中的一個(gè)子集，u是Ω上的可測函數(shù)，而且|u(x)|p在Ω上可積，這種函數(shù)的全體記做Lp(Ω)，即

Lp(Ω)稱為Ω上的p方可積函數(shù)空間．在Lp(Ω)中定義范數(shù)如下

定義2[5]在定義1中,若p=2,則

在L2(Ω)中定義范數(shù)為

定義3[6]設(shè)T＞0,Ω為Rn中的一個(gè)可測集,則中的范數(shù)如下定義

引理1(Green公式)[7]三維空間有界閉體Ω是由光滑或逐片光滑的閉曲面Γ圍成,函數(shù)P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)及其偏導(dǎo)數(shù)在有界閉體Ω上連續(xù),則

(1)式的另一種形式為

其中dΩ是Ω的體積微元，n是Γ的外法線方向，ds是Γ的面積微元.偏微分方程中常用Green公式的(2)式,該公式可以推廣到有限維的形式．

2 雙曲型方程中能量估計(jì)的應(yīng)用

設(shè)Ω為Rn中的有界區(qū)域,且具有光滑邊界Γ．T＞0,在區(qū)域QT=Ω×() 0,T中考察一般形式的二階雙曲型方程

其中系數(shù)滿足以下兩個(gè)條件：

①系數(shù)aij,bi,b0,c及右端項(xiàng)f都是-QT上的連續(xù)函數(shù),且aij在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).

②對一切i,j=1,2…n，成立aij=aji,且存在正常數(shù)α＞0,使得對一切及任意實(shí)向量都有

現(xiàn)在給定如下初始條件和邊界條件:

其中ΣT=Γ×() 0,T為QT的側(cè)邊界.在雙曲型方程初邊值問題(3)(5)(6)引入該問題的能量函數(shù):

對(3)兩邊同時(shí)乘ut并在Ω上關(guān)于x積分,利用Green公式及Friedrichs不等式[6]，可得到雙曲型方程初邊值問題(3)(5)(6)如下能量估計(jì).

引理2[3]設(shè)u是雙曲型方程初邊值問題(3)(5)(6)的解,則成立下面的能量估計(jì)

其中c是一個(gè)不依賴于u的正常數(shù).

定理1雙曲型方程初邊值問題(3)(5)(6)的解是唯一的.

證明：考察下面的雙曲方程的初邊值問題

令

其中α為(4)式中的α．設(shè)u是雙曲型方程初邊值問題(7)(8)(9)的解,則

在雙曲型方程初邊值問題(7)(8)(9)中

在不等式(10)中右端項(xiàng)為零，即E1(t)≤0,又E1(t)≥0,所以E1(t)=0．故ut=uxi=0,i=1,2…n.

所以u=const,又u(x,0)=0,因而u≡0,即雙曲型方程初邊值問題(7)(8)(9)的解必為零解．

設(shè)u1,u2為雙曲型方程初邊值問題(3)(5)(6)的任意兩個(gè)解，則u=u1-u2為雙曲型方程初邊值問題(7)(8)(9)的解，所以u=0，即u1=u2．定理證畢．

定理2雙曲型方程初邊值問題(3)(5)(6)的解連續(xù)依賴于初始資料及右端項(xiàng)(關(guān)于初始資料及右端項(xiàng)具有穩(wěn)定性)．

即

其中E1(t)為定理1證明過程中所設(shè)．以e-t同乘(11)式兩邊,并在0到t積分，整理得

又

即

(12)+(13)整理得

又

由(14)(15)整理得

其中c,c1,c0是正常數(shù)．設(shè)u1是以φ1,ψ1,f1為初始資料和右端項(xiàng)的解，設(shè)u2是以φ2,ψ2,f2為初始資料和右端項(xiàng)的解，則u1-u2是以φ1-φ2,ψ1-ψ2,f1-f2為初始資料和右端項(xiàng)的解，由(16)式可知：?ε＞0,?僅依賴于ε,T的η＞0，只要

就有

定理證畢．

3 拋物型方程能量估計(jì)的應(yīng)用

在QT中考察下面的二階拋物型方程

其中系數(shù)及右端項(xiàng)仍滿足前面雙曲型方程的條件①②．方程(18)滿足下面的初始條件及邊界條件：

引理3[3]設(shè)u拋物型方程初邊值問題(17)(18)(19)的解，構(gòu)造能量函數(shù)則成立能量估計(jì)式：

其中c是一個(gè)不依賴于u的正常數(shù)．

定理3拋物型方程初邊值問題(17)(18)(19)的解是唯一的．

證明：考察下面的拋物型方程的初邊值問題

設(shè)u是拋物方程初邊值問題(20)(21)(22)的解．則

在拋物方程初邊值問題(20)(21)(22)中

在不等式(23)中右端項(xiàng)為零，即E(t)≤0,又E(t)≥0,所以E(t)=0.故ut=uxi=0,i=1,2…n.所以u=const．

又u(x,0)=0,因而u≡0．即拋物方程初邊值問題(20)(21)(22)的解的解必為零解．設(shè)u1,u2為拋物型方程初邊值問題(17)(18)(19)的任意兩個(gè)解，則u=u1-u2為拋物型方程初邊值問題(20)(21)(22)的解，所以u=0,即u1=u2．定理證畢．

定理4拋物型方程初邊值問題(17)(18)(19)的解連續(xù)依賴于初始資料及右端項(xiàng)(關(guān)于初始資料及右端項(xiàng)具有穩(wěn)定性)．

證明：設(shè)u拋物型方程初邊值問題(17)(18)(19)的解，由引理3知：

即

整理得

其中c1是正常數(shù)．設(shè)u1是以φ1,f1為初始資料和右端項(xiàng)的解，設(shè)u2是以φ2,f2為初始資料和右端項(xiàng)的解，則u1-u2是以φ1-φ2,f1-f2為初始資料和右端項(xiàng)的解，由(24)式可知：?ε＞0,?僅依賴于ε,T的η＞0，只要

就有

定理證畢．

4 橢圓型方程能量估計(jì)的應(yīng)用

在Ω中考察下面的二階橢圓型方程

其中系數(shù)及右端項(xiàng)仍滿足前面雙曲型方程的條件①②．方程(25)滿足下面的邊界條件:

引理4[3]存在一個(gè)僅依賴于區(qū)域Ω,α以及的最大值的正常數(shù)λ0，在c(x)≤-λ0時(shí)，橢圓型方程邊值問題(25)(26)的解u,滿足能量估計(jì)式:

其中c是一個(gè)不依賴于u的正常數(shù)．

定理5橢圓型方程邊值問題(25)(26)的解是唯一的．

證明：考察下面的拋物型方程的邊值問題

設(shè)u是橢圓型方程邊值問題(27)(28)的解．則由引理4知

即

又

所以

故

所以u(x)=0,因而u≡0.即橢圓型方程邊值問題(27) (28)的解必為零解.設(shè)u1,u2為橢圓型方程邊值問題(25) (26)的任意兩個(gè)解，則u=u1-u2為橢圓型方程邊值問題(27)(28)的解，所以u=0,即u1=u2.

定理證畢.

定理6橢圓型方程邊值問題(25)(26)的解連續(xù)依賴于右端項(xiàng)(關(guān)于右端項(xiàng)具有穩(wěn)定性)．

證明：設(shè)u橢圓型方程邊值問題(25)(26)的解，由引理4知:

整理得：

其中c1是正常數(shù)．設(shè)u1是以f1為右端項(xiàng)的解,設(shè)u2是以f2為右端項(xiàng)的解,則u1-u2是以f1-f2為右端項(xiàng)的解.由(29)(30)式可知：?ε＞0,?僅依賴于ε的η＞0,只要，就有

定理證畢.

5 結(jié)語

一些特殊的偏微分方程(初)邊值問題解的唯一性和穩(wěn)定性用(強(qiáng))極值原理[8]處理會(huì)更容易,但是本文所討論的一般形式n維偏微分方程(初)邊值問題解的唯一性和穩(wěn)定性的證明如果用(強(qiáng))極值原理處理會(huì)很困難,而用能量估計(jì)處理就會(huì)容易很多．但是能量估計(jì)在偏微分方程中的應(yīng)用也有一定的局限性，比如本文所討論的三類方程系數(shù)和右端項(xiàng)必須要滿足條件①②,邊值條件必須為零等,橢圓方程還必須要滿足引理4的條件．如果突破這些限制條件偏微分方程的(初)邊值問題解的唯一性和穩(wěn)定性是否仍成立，如果成立應(yīng)該怎樣證明?這些問題計(jì)劃在以后的工作中研究解決.

[1]曹洪鋒.熱傳導(dǎo)方程的能量估計(jì)[J].價(jià)值工程,2011(13):52-54.

[2]楊金林,楊勤榮.二階波動(dòng)方程的一種能量估計(jì)[J].包頭鋼鐵學(xué)院學(xué)報(bào),1996(4):34-36.

[3]谷超豪,李大潛,陳恕行,等.數(shù)學(xué)物理方程[M].第二版.北京:高等教育出版社,2002.

[4]崔志勇,金德俊,盧喜觀.線性偏微分方程引論[M].長春:吉林大學(xué)出版社,1991.

[5]張恭慶,林源渠.泛函分析講義:上冊[M].北京:北京大學(xué)出版社, 1987.

[6]曹廣福,嚴(yán)從荃.實(shí)變函數(shù)與泛函分析:下冊[M].北京:高等教育出版社,2011.

[7]劉玉蓮,傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義:下冊[M].第三版.北京:高等教育出版社,2001.

[8]陳恕行.現(xiàn)代偏微分方程導(dǎo)論[M].北京:科學(xué)出版社,2005.

【編校：許潔】

The Application of Energy Estimation in Partial Differential Equation

DU Baoying
(Institute of Mathematical Science,Yibin University,Yibin,Sichuan 644007,China)

The energy estimation of the initial boundary value in 2-order hyperbolic equations in the general form,in 2-order parabolic equations in the general form and in 2-order elliptic equations in the general form were introduced.Some application problems about the estimation of energy of the(initial)boundary value in these equations were discussed,then some conclusions were drawn.

energy estimation;hyperbolic equation;parabolic equation;elliptic equation

O175.2

A

1671-5365(2014)06-0003-04

2014-03-02修回：2014-03-05

宜賓學(xué)院科研啟動(dòng)項(xiàng)目碩士啟動(dòng)金(2012Q13)

杜保營(1981-)，男，助教，理學(xué)碩士，研究方向?yàn)槲⒎址匠?/p>

時(shí)間：2014-03-27 17:44

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20140327.1744.005.html