陳 誠(chéng) 王 潔 楊小令

(揚(yáng)州大學(xué)水利與能源動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225127)

對(duì)稱受拉桿系的荷載—位移關(guān)系分析

陳 誠(chéng) 王 潔 楊小令*

(揚(yáng)州大學(xué)水利與能源動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225127)

對(duì)稱受拉桿系的軸力及結(jié)點(diǎn)位移計(jì)算方法都存在一定的局限性，而通過(guò)建立荷載—結(jié)點(diǎn)位移函數(shù)關(guān)系式，可解決瞬變體系結(jié)點(diǎn)位移計(jì)算問(wèn)題，同時(shí)提出了超靜定結(jié)構(gòu)的各桿軸力比值公式，為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

瞬變體系，彈性形變，非線性關(guān)系，結(jié)構(gòu)優(yōu)化

0 引言

在對(duì)稱受拉桿系結(jié)點(diǎn)位移及軸力的計(jì)算中，往往在小變形假設(shè)[1]前提下采用原尺寸原理和“以直代曲”的靜力學(xué)解法，計(jì)算時(shí)造成了一定的誤差。目前亦有采用迭代法[2]和能量法[3]進(jìn)行求解的探索，迭代法僅僅在內(nèi)力的相對(duì)誤差計(jì)算中取得一定突破，而能量法在計(jì)算過(guò)程中仍借助“以直代曲”的方法進(jìn)行求解，兩者均有一定的局限性。本文以建立荷載和結(jié)點(diǎn)位移的函數(shù)關(guān)系式為出發(fā)點(diǎn)，做出荷載—結(jié)點(diǎn)位移曲線，并將其同時(shí)應(yīng)用于大、小變形時(shí)桿系的軸力、位移分析中。對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)，證明了利用靜力法與能量法進(jìn)行求解的等價(jià)性，解決了瞬變體系的結(jié)點(diǎn)位移計(jì)算問(wèn)題[4]，并且證明了在小變形假設(shè)前提下荷載—結(jié)點(diǎn)位移函數(shù)與現(xiàn)有材料力學(xué)結(jié)果的一致性。在超靜定結(jié)構(gòu)中，推導(dǎo)出桿件軸力比值的精確表達(dá)式，在小變形假設(shè)前提下借助對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)分析荷載和結(jié)點(diǎn)位移的變化關(guān)系，并進(jìn)行結(jié)構(gòu)的初步優(yōu)化設(shè)計(jì)，創(chuàng)造了一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

1 對(duì)稱受拉桿系的靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算

考慮由兩根線彈性桿件連接而成的平面對(duì)稱桁架結(jié)構(gòu)，如圖1所示，在鉸A處作用一集中力P,由0開始緩慢增加，方向豎直向下，大小為P，B，C均為固定鉸支座。

若已知加載前1，2兩桿的軸力為FN=0，長(zhǎng)度均為l0，與豎直線的夾角均為α0(α0∈[0,90°])，經(jīng)拉伸變形后1，2兩桿的軸力為FN。長(zhǎng)度均變?yōu)閘(根據(jù)對(duì)稱性易知兩桿伸長(zhǎng)量相等)，與豎直線的夾角變?yōu)棣?。兩桿的彈性模量均為E，橫截面積均為A。經(jīng)拉伸后結(jié)點(diǎn)A的豎直位移為x。

1)幾何關(guān)系：

鉸A的豎直位移：

x=lcosα-l0cosα0

(1)

由式(1)得：

(2)

利用余弦定理[5]，得：

(3)

由式(3)得：

(4)

1，2桿的伸長(zhǎng)量:

Δl=l-l0

(5)

2)物理關(guān)系：

胡克定律(任意時(shí)刻1，2桿的伸長(zhǎng)量)：

(6)

3)任意位置平衡關(guān)系：

P=2FNcosα

(7)

根據(jù)以上已知各式，求得軸力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系：

(8)

荷載與位移的關(guān)系：

(9)

將式(4)代入得：

(10)

式(10)表明在EA，l0和cosα0一定的情況下，荷載P是位移x的單值函數(shù)，此關(guān)系為非線性關(guān)系。

(11)

令δ=x/l0，代入得:

(12)

分別取α0=0°，30°，45°，60°，75°，90°，δ在0到1之間取值(如果將1，2桿換成橡皮筋或彈簧，則在彈性變形范圍內(nèi)，δ完全有可能達(dá)到1)，利用Matlab軟件畫出荷載—位移函數(shù)(如圖2所示)。

從函數(shù)圖像(曲線由上而下分別對(duì)應(yīng)α0=0°，30°，45°，60°，75°，90°)可以看出：

1)α0=0°時(shí)，荷載—位移呈線性關(guān)系，曲線斜率為2。當(dāng)初始角大于0°，荷載—位移呈凹函數(shù)關(guān)系，且初始角越大，曲線的凹性越明顯。這表明隨著荷載的均勻增加，位移的增加速率越來(lái)越緩，且初始角越大的桿系，這種性質(zhì)越明顯。

2)在施加同等荷載且桿長(zhǎng)相同的情況下，初始角越大，鉸A的位移越大。即桿長(zhǎng)一定，初始角越小結(jié)構(gòu)越安全。

3)對(duì)于彈性模量很小的受拉系統(tǒng)(比如彈簧、橡皮筋)，將δ的范圍繼續(xù)增大，則各條曲線有呈近似線性關(guān)系的趨向。

特別地，當(dāng)α0=0°時(shí)，將cosα0=1代入并化簡(jiǎn)得：P/EA=2δ，為線性關(guān)系。

而當(dāng)α0=90°時(shí)，為瞬變體系，將cosα0=0代入得：

(13)

此時(shí)荷載—位移函數(shù)關(guān)系依然成立，這說(shuō)明基于荷載—結(jié)點(diǎn)位移函數(shù)關(guān)系式解決受拉桿系結(jié)點(diǎn)位移問(wèn)題具有更強(qiáng)的實(shí)用性。

當(dāng)x?l0時(shí)，將x視作l0的高階無(wú)窮小量，通過(guò)分子有理化可得：

(14)

略去無(wú)窮小量得：

這與利用材料力學(xué)推得的熟知的結(jié)果是一致的，同時(shí)也驗(yàn)證了小變形假設(shè)在處理受拉桿系位移問(wèn)題中的可行性。

2 對(duì)稱受拉桿系的超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算

下面考慮3根桿同時(shí)受拉的超靜定結(jié)構(gòu)[6，7]，其中1，2兩桿軸力FN1=FN2，原長(zhǎng)l0，與豎直線的夾角均為α0(α0∈[0,90°))，經(jīng)拉伸變形后長(zhǎng)度均為l，與豎直線的夾角為α。3桿軸力為FN3，方向豎直，原長(zhǎng)l0cosα0。3根桿的彈性模量均為E，橫截面積A(當(dāng)α0=90°時(shí)，3桿長(zhǎng)度為0，可視為靜定結(jié)構(gòu)中α0=90°的情況進(jìn)行考慮)。

變形前和變形后的平面超靜定對(duì)稱桁架見圖3。

1)幾何關(guān)系：

鉸A的豎直位移：

x=lcosα-l0cosα0

(15)

1，2桿的伸長(zhǎng)量：Δl=l-l0，3桿的伸長(zhǎng)量：Δl′=x

(16)

余弦定理：

(17)

2)物理關(guān)系：

胡克定律(任意時(shí)刻桿的伸長(zhǎng)量)：

(18)

3)任意位置平衡關(guān)系：

P=2FN1cosα+FN3

(19)

軸力與位移的關(guān)系：

(20)

(21)

(22)

當(dāng)x?l0，將δ視為無(wú)窮小量，且初始角一定，cosα0視為常數(shù)，則有：

(23)

利用羅必達(dá)法則，上下同時(shí)對(duì)δ求導(dǎo)得：

(24)

分析式(24)可知，在小變形情況下，3桿與1，2兩桿的軸力之比等于1/cos2α0。所以初始角不宜過(guò)于接近90°，以免3桿的軸力過(guò)大發(fā)生受拉破壞導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失穩(wěn)[8,9]?？梢钥紤]增大3桿的EA以優(yōu)化桿系結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

利用上述各式，求得荷載與位移的關(guān)系：

(25)

(26)

分子有理化得：

(27)

當(dāng)x?l0時(shí)，將x視作l0的高階無(wú)窮小量，略去δ的高階無(wú)窮小并化簡(jiǎn)得：

(28)

上式同樣表明在EA，l0和cosα0一定的情況下，荷載P是位移x的單值函數(shù)。

分別取α0等于0°，15°，30°，45°，60°，75°，85°，δ在0～1之間取值，并且用Matlab軟件來(lái)繪制荷載—位移曲線圖，如圖4，圖5所示。

通過(guò)上述曲線可以得出以下結(jié)論：

1)在超靜定結(jié)構(gòu)中，不論初始角為多少，荷載與位移為近似線性關(guān)系；

2)當(dāng)α0≤51°時(shí)，荷載—位移變化關(guān)系變化不大，曲線斜率非常接近；當(dāng)α0>51°時(shí)，隨著初始角的增大，在位移、桿長(zhǎng)一定的情況下，荷載呈加速上升趨勢(shì)。說(shuō)明對(duì)于超靜定結(jié)構(gòu)，只要3桿處于彈性變形范圍內(nèi)，初始角越大，桿系越穩(wěn)定；

3)相比于靜定結(jié)構(gòu)，在位移相同的情況下，超靜定結(jié)構(gòu)的荷載要大于靜定結(jié)構(gòu)，且初始角越大，穩(wěn)定性的提高越明顯。

3 結(jié)語(yǔ)

在建立桿系結(jié)構(gòu)彈性位移與荷載的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題處理中，以上方法得到了相對(duì)精確的結(jié)果，并且具有普適性，而在忽略微小變形的情況下結(jié)果與小變形求得的結(jié)果相一致，這本身也印證了這種方法的科學(xué)性，可以說(shuō)它是對(duì)材料力學(xué)中對(duì)稱受拉桿系的深入探討。在靜定結(jié)構(gòu)與超靜定結(jié)構(gòu)的比較中，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于初始角小于51°的受拉桿系，在靜定結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上增加桿件轉(zhuǎn)化為超靜定結(jié)構(gòu)，對(duì)于穩(wěn)定性的提高并不明顯，安全度提高為原來(lái)的2倍以內(nèi)。當(dāng)初始角大于51°，超靜定結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于靜定結(jié)構(gòu)。為了保證3桿在較大荷載作用下處于彈性變形范圍之內(nèi)，可以增大3桿的橫截面積和彈性模量，以提高其彈性極限和抗拉強(qiáng)度，這對(duì)實(shí)際工程應(yīng)用也具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

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Studyontheload-displacementrelationshipofthesymmetricalrod-systemsundertensionloading

CHENChengWANGJieYANGXiao-ling*

(CollegeofHydraulic,EnergyandPowerEngineering,YangzhouUniversity,Yangzhou225127,China)

Limitations still exist in the present computational methods of the axial force and the node displacement in the axial-symmetric bar systems. The computational problem of the node displacement in the instantaneously changeable system can be actually solved by founding a load-node displacement function relationship. At the same time, a ratio formula presented for the axial force of each rod piece in statically indeterminate structure can provide theoretical basis for optimum structural design.

instantaneously changeable system, elastic deformation, non-linear relationship, structure optimization

1009-6825(2014)14-0057-03

2014-03-02

陳 誠(chéng)(1993- )，男，在讀本科生; 王 潔(1993- )，女，在讀本科生; 楊小令(1960- )，男，講師

TU311.4

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