占 楊, 宣本金
(中國科學技術大學 a.物理學院;b.數學學院,合肥 230026)
所謂“標度變換”是指放大或縮小,即碼尺的變化.如果一件事物放大或縮小后,其某種性質不發(fā)生改變, 就說它具有標度變換不變性.用標度變換法可以很方便地求解很多物理和數學上的問題,并避開積分的繁瑣[1,2],例如求剛體的轉動慣量.用標度變換求剛體的轉動慣量,實際過程是通過量綱分析得出待求量與哪些物理量有關,并與它們如何相關;再通過放大(縮小)相關物理量(通常是長度),利用變換中的標度不變性列出方程進行求解.在大一上學期學習微積分課程時,第一作者嘗試了用標度變換法,而非洛必達法則或泰勒公式這類需要求導數的方法,求一些極限,取得了不錯的效果.通過與宣本金老師的交流,第一作者對這種方法進行了進一步的歸納整理.
當x→0時,sinx≈x,tanx≈x,ex-1≈x.但是,x-sinx呢?下面將用標度變換法分別求出幾個常見函數的等價無窮小量.計算并不需要用到導數等概念,與力學中利用標度變換法求轉動慣量的方法類似,將函數的自變量進行“縮放”.需要指出的是,以下計算是形式上的,因為沒有事先證明所求的無窮小量一定有階數,事實上,并不是所有的無窮小量都有階數[3].
例1 當x→0時,求x-sinx的等價無窮小量.
解設當x→0時,(x-sinx)≈αxk(α≠0,k≥2,k∈Z+),故
另一方面,由正弦函數的性質,有
當x→0時
由極限的唯一性,故
例2 當x→0時,求ex-(1+x)的等價無窮小量.
解設當x→0時,ex-(1+x)≈αxk,(α≠0,k≥2,k∈Z+),故
e2x-1≈α(2x)k+(1+2x)-1
另一方面,由指數函數的性質,有
e2x-1≈[(1+x)+αxk]2-1≈(1+x)2+2(1+x)αxk-1
由以上兩式,略去高于k階的項,化簡得
x2+2αxk=2kαxk
設f(x)是一個非線性連續(xù)函數,且f(0)=0,例如sinx,ex-1,ln(1+x)等,而g(x)=α1xk1+α2xk2+…+αn-1xkn-1,滿足當x→0時,f(x)≈g(x),即g(x)的這n-1項的系數αi和冪次ki均可由f(x)確定(1≤k1≤k2≤…≤kn-1).在上述2例題的討論中,即等效于已知g(x)和f(x),求f(x)-g(x)的等價無窮小量.
設當x→0時,f(x)-g(x)≈αnxkn,則對任意實數λ,有
f(λx)≈g(λx)+αn(λx)kn
另一方面,利用具體函數的性質化簡函數f(λx)的形式,如f(λx)=h[f(x)],然后再利用已知的等價無窮小量關系式,得到函數f(λx)另一種等價形式;最后,利用極限的唯一性,列出一組代數方程組,求解這組代數方程組定出待定的常數.
注意,λ為任意實數,為了計算方便,常取λ=2.為簡化計算,可略去高于kn階的項.下面為了書寫方便,以“=”表示,即
h[f(x)]=h[g(x)+αnxkn]=g(λx)+αn(λx)kn
(1)
h[g(x)+αnxkn]=g(λx)+αn(λx)kn
(2)
或者用反函數表示為
λf-1[g(x)+αnxkn]=f-1[g(λx)+αn(λx)kn]
(3)
將式(2),式(3)兩邊展開,比較系數和冪次,可以得到關于kn,αn的代數方程組,解之可得kn和αn的值.
通過進一步的應用,發(fā)現(xiàn)在兩種情況下,可以比較快捷地求出kn和αn,一是h(x)為有理函數,此時利用式(2);二是f(x)的反函數的等價無窮小量容易求得,可以利用式(3).
例3 當x→0時,求arcsinx-x的等價無窮小量.
解設f(x)=arcsinx,g(x)=x,則當x→0時,
利用式(3)
λsin(x+αxk)=sin(λx+α(λx)k)
利用sinx的展開,并略去高于k階的小量,得
化簡得
下面再對已知其反函數等價無窮小量的函數進行進一步拓展.
定理1對于任意連續(xù)函數f(x),f(0)=0,如果其反函數存在且滿足當x→0時,f-1(x)=ax+bxn+o(xn)(a≠0),則
證明較為簡單,就不在此贅述了.特別的,當a=1時,
f-1(x)≈x+bxn,f(x)≈x-bxn
進一步地,對于
x→0時,
利用定理1,易知
特別地,當n=2或n=3時,有
參考文獻:
[1] RABINOFF R.用標度變換求轉動慣量:如何避免繁雜的積分[J].大學物理,1987,6(7):31-32
[2] 張慶國,尤景漢.標度變換[J].工科物理,1999(9):43-44
[3] 陳祖墀,宣本金,汪琥庭,等.微積分學導論(上冊)[M].合肥:中國科學技術大學出版社,2011