占 楊， 宣本金

(中國科學技術大學 a.物理學院；b.數學學院，合肥 230026)

所謂“標度變換”是指放大或縮小，即碼尺的變化.如果一件事物放大或縮小后，其某種性質不發(fā)生改變， 就說它具有標度變換不變性.用標度變換法可以很方便地求解很多物理和數學上的問題，并避開積分的繁瑣[1，2]，例如求剛體的轉動慣量.用標度變換求剛體的轉動慣量，實際過程是通過量綱分析得出待求量與哪些物理量有關，并與它們如何相關；再通過放大(縮小)相關物理量(通常是長度)，利用變換中的標度不變性列出方程進行求解.在大一上學期學習微積分課程時，第一作者嘗試了用標度變換法，而非洛必達法則或泰勒公式這類需要求導數的方法，求一些極限，取得了不錯的效果.通過與宣本金老師的交流，第一作者對這種方法進行了進一步的歸納整理.

1 幾個常見函數的等價無窮小量

當x→0時，sinx≈x，tanx≈x，ex-1≈x.但是，x-sinx呢？下面將用標度變換法分別求出幾個常見函數的等價無窮小量.計算并不需要用到導數等概念，與力學中利用標度變換法求轉動慣量的方法類似，將函數的自變量進行“縮放”.需要指出的是，以下計算是形式上的，因為沒有事先證明所求的無窮小量一定有階數，事實上，并不是所有的無窮小量都有階數[3].

例1 當x→0時，求x-sinx的等價無窮小量.

解設當x→0時，(x-sinx)≈αxk(α≠0，k≥2，k∈Z+)，故

另一方面，由正弦函數的性質，有

當x→0時

由極限的唯一性，故

例2 當x→0時，求ex-(1+x)的等價無窮小量.

解設當x→0時，ex-(1+x)≈αxk，(α≠0，k≥2，k∈Z+)，故

e2x-1≈α(2x)k+(1+2x)-1

另一方面，由指數函數的性質，有

e2x-1≈[(1+x)+αxk]2-1≈(1+x)2+2(1+x)αxk-1

由以上兩式，略去高于k階的項，化簡得

x2+2αxk=2kαxk

2 歸納一般性解法及拓展

設f(x)是一個非線性連續(xù)函數，且f(0)=0，例如sinx，ex-1，ln(1+x)等，而g(x)=α1xk1+α2xk2+…+αn-1xkn-1，滿足當x→0時，f(x)≈g(x)，即g(x)的這n-1項的系數αi和冪次ki均可由f(x)確定(1≤k1≤k2≤…≤kn-1).在上述2例題的討論中，即等效于已知g(x)和f(x)，求f(x)-g(x)的等價無窮小量.

設當x→0時，f(x)-g(x)≈αnxkn，則對任意實數λ，有

f(λx)≈g(λx)+αn(λx)kn

另一方面，利用具體函數的性質化簡函數f(λx)的形式，如f(λx)=h[f(x)]，然后再利用已知的等價無窮小量關系式，得到函數f(λx)另一種等價形式；最后，利用極限的唯一性，列出一組代數方程組，求解這組代數方程組定出待定的常數.

注意，λ為任意實數，為了計算方便，常取λ=2.為簡化計算，可略去高于kn階的項.下面為了書寫方便，以“=”表示，即

h[f(x)]=h[g(x)+αnxkn]=g(λx)+αn(λx)kn

(1)

h[g(x)+αnxkn]=g(λx)+αn(λx)kn

(2)

或者用反函數表示為

λf-1[g(x)+αnxkn]=f-1[g(λx)+αn(λx)kn]

(3)

將式(2)，式(3)兩邊展開，比較系數和冪次，可以得到關于kn，αn的代數方程組，解之可得kn和αn的值.

通過進一步的應用，發(fā)現(xiàn)在兩種情況下，可以比較快捷地求出kn和αn，一是h(x)為有理函數，此時利用式(2)；二是f(x)的反函數的等價無窮小量容易求得，可以利用式(3).

例3 當x→0時，求arcsinx-x的等價無窮小量.

解設f(x)=arcsinx，g(x)=x，則當x→0時，

利用式(3)

λsin(x+αxk)=sin(λx+α(λx)k)

利用sinx的展開，并略去高于k階的小量，得

化簡得

下面再對已知其反函數等價無窮小量的函數進行進一步拓展.

定理1對于任意連續(xù)函數f(x)，f(0)=0，如果其反函數存在且滿足當x→0時，f-1(x)=ax+bxn+o(xn)(a≠0)，則

證明較為簡單，就不在此贅述了.特別的，當a=1時，

f-1(x)≈x+bxn，f(x)≈x-bxn

進一步地，對于

x→0時，

利用定理1，易知

特別地，當n=2或n=3時，有

參考文獻：

[1] RABINOFF R.用標度變換求轉動慣量：如何避免繁雜的積分[J].大學物理，1987，6(7)：31-32

[2] 張慶國，尤景漢.標度變換[J].工科物理，1999(9)：43-44

[3] 陳祖墀，宣本金，汪琥庭，等.微積分學導論(上冊)[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2011