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        標(biāo)度變換的等價(jià)無窮小量應(yīng)用

        2014-08-08 06:27:36宣本金
        關(guān)鍵詞:代數(shù)方程本金轉(zhuǎn)動慣量

        占 楊, 宣本金

        (中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) a.物理學(xué)院;b.數(shù)學(xué)學(xué)院,合肥 230026)

        所謂“標(biāo)度變換”是指放大或縮小,即碼尺的變化.如果一件事物放大或縮小后,其某種性質(zhì)不發(fā)生改變, 就說它具有標(biāo)度變換不變性.用標(biāo)度變換法可以很方便地求解很多物理和數(shù)學(xué)上的問題,并避開積分的繁瑣[1,2],例如求剛體的轉(zhuǎn)動慣量.用標(biāo)度變換求剛體的轉(zhuǎn)動慣量,實(shí)際過程是通過量綱分析得出待求量與哪些物理量有關(guān),并與它們?nèi)绾蜗嚓P(guān);再通過放大(縮小)相關(guān)物理量(通常是長度),利用變換中的標(biāo)度不變性列出方程進(jìn)行求解.在大一上學(xué)期學(xué)習(xí)微積分課程時,第一作者嘗試了用標(biāo)度變換法,而非洛必達(dá)法則或泰勒公式這類需要求導(dǎo)數(shù)的方法,求一些極限,取得了不錯的效果.通過與宣本金老師的交流,第一作者對這種方法進(jìn)行了進(jìn)一步的歸納整理.

        1 幾個常見函數(shù)的等價(jià)無窮小量

        當(dāng)x→0時,sinx≈x,tanx≈x,ex-1≈x.但是,x-sinx呢?下面將用標(biāo)度變換法分別求出幾個常見函數(shù)的等價(jià)無窮小量.計(jì)算并不需要用到導(dǎo)數(shù)等概念,與力學(xué)中利用標(biāo)度變換法求轉(zhuǎn)動慣量的方法類似,將函數(shù)的自變量進(jìn)行“縮放”.需要指出的是,以下計(jì)算是形式上的,因?yàn)闆]有事先證明所求的無窮小量一定有階數(shù),事實(shí)上,并不是所有的無窮小量都有階數(shù)[3].

        例1 當(dāng)x→0時,求x-sinx的等價(jià)無窮小量.

        解設(shè)當(dāng)x→0時,(x-sinx)≈αxk(α≠0,k≥2,k∈Z+),故

        另一方面,由正弦函數(shù)的性質(zhì),有

        當(dāng)x→0時

        由極限的唯一性,故

        例2 當(dāng)x→0時,求ex-(1+x)的等價(jià)無窮小量.

        解設(shè)當(dāng)x→0時,ex-(1+x)≈αxk,(α≠0,k≥2,k∈Z+),故

        e2x-1≈α(2x)k+(1+2x)-1

        另一方面,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),有

        e2x-1≈[(1+x)+αxk]2-1≈(1+x)2+2(1+x)αxk-1

        由以上兩式,略去高于k階的項(xiàng),化簡得

        x2+2αxk=2kαxk

        2 歸納一般性解法及拓展

        設(shè)f(x)是一個非線性連續(xù)函數(shù),且f(0)=0,例如sinx,ex-1,ln(1+x)等,而g(x)=α1xk1+α2xk2+…+αn-1xkn-1,滿足當(dāng)x→0時,f(x)≈g(x),即g(x)的這n-1項(xiàng)的系數(shù)αi和冪次ki均可由f(x)確定(1≤k1≤k2≤…≤kn-1).在上述2例題的討論中,即等效于已知g(x)和f(x),求f(x)-g(x)的等價(jià)無窮小量.

        設(shè)當(dāng)x→0時,f(x)-g(x)≈αnxkn,則對任意實(shí)數(shù)λ,有

        f(λx)≈g(λx)+αn(λx)kn

        另一方面,利用具體函數(shù)的性質(zhì)化簡函數(shù)f(λx)的形式,如f(λx)=h[f(x)],然后再利用已知的等價(jià)無窮小量關(guān)系式,得到函數(shù)f(λx)另一種等價(jià)形式;最后,利用極限的唯一性,列出一組代數(shù)方程組,求解這組代數(shù)方程組定出待定的常數(shù).

        注意,λ為任意實(shí)數(shù),為了計(jì)算方便,常取λ=2.為簡化計(jì)算,可略去高于kn階的項(xiàng).下面為了書寫方便,以“=”表示,即

        h[f(x)]=h[g(x)+αnxkn]=g(λx)+αn(λx)kn

        (1)

        h[g(x)+αnxkn]=g(λx)+αn(λx)kn

        (2)

        或者用反函數(shù)表示為

        λf-1[g(x)+αnxkn]=f-1[g(λx)+αn(λx)kn]

        (3)

        將式(2),式(3)兩邊展開,比較系數(shù)和冪次,可以得到關(guān)于kn,αn的代數(shù)方程組,解之可得kn和αn的值.

        通過進(jìn)一步的應(yīng)用,發(fā)現(xiàn)在兩種情況下,可以比較快捷地求出kn和αn,一是h(x)為有理函數(shù),此時利用式(2);二是f(x)的反函數(shù)的等價(jià)無窮小量容易求得,可以利用式(3).

        例3 當(dāng)x→0時,求arcsinx-x的等價(jià)無窮小量.

        解設(shè)f(x)=arcsinx,g(x)=x,則當(dāng)x→0時,

        利用式(3)

        λsin(x+αxk)=sin(λx+α(λx)k)

        利用sinx的展開,并略去高于k階的小量,得

        化簡得

        下面再對已知其反函數(shù)等價(jià)無窮小量的函數(shù)進(jìn)行進(jìn)一步拓展.

        定理1對于任意連續(xù)函數(shù)f(x),f(0)=0,如果其反函數(shù)存在且滿足當(dāng)x→0時,f-1(x)=ax+bxn+o(xn)(a≠0),則

        證明較為簡單,就不在此贅述了.特別的,當(dāng)a=1時,

        f-1(x)≈x+bxn,f(x)≈x-bxn

        進(jìn)一步地,對于

        x→0時,

        利用定理1,易知

        特別地,當(dāng)n=2或n=3時,有

        參考文獻(xiàn):

        [1] RABINOFF R.用標(biāo)度變換求轉(zhuǎn)動慣量:如何避免繁雜的積分[J].大學(xué)物理,1987,6(7):31-32

        [2] 張慶國,尤景漢.標(biāo)度變換[J].工科物理,1999(9):43-44

        [3] 陳祖墀,宣本金,汪琥庭,等.微積分學(xué)導(dǎo)論(上冊)[M].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2011

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