胡鋼,宋偉杰

(1.西安理工大學理學院,710054,西安; 2.西北工業(yè)大學理學院,710072,西安)

四次擬Bézier旋轉曲面的構造技術

胡鋼1,宋偉杰2

(1.西安理工大學理學院,710054,西安; 2.西北工業(yè)大學理學院,710072,西安)

為了方便解決傳統(tǒng)旋轉曲面計算復雜和形狀難以調節(jié)的問題,研究了一種帶多形狀參數(shù)的四次擬Bézier旋轉曲面的構造技術。首先,基于二元超限向量值有理插值函數(shù)的重要思想,利用帶多形狀參數(shù)的四次擬Bézier曲線作為母線進行旋轉曲面的設計;其次,推導了生成整個四次擬旋轉曲面的一個顯式函數(shù)表達式。該方法生成的旋轉曲面不僅計算簡單而且具有良好的形狀可調性,同時還保留了傳統(tǒng)Bézier旋轉曲面的許多幾何特性。最后,對所設計的旋轉曲面進行了形狀與性質分析,并給出了形狀控制參數(shù)對旋轉曲面形狀的影響規(guī)律。造型實例表明,所提方法不僅直觀、高效,而且易于調整旋轉曲面的局部形狀,在各種旋轉曲面的構造與外形設計中將得到十分廣泛的應用。

四次擬Bézier曲線;形狀參數(shù);旋轉曲面;超限向量值有理插值函數(shù)

Bézier曲線由于具有許多優(yōu)良的特性,如今已成為CAD/CAM領域用于描述產品形狀信息的主要方法之一。近年來,為了彌補Bézier曲線曲面造型技術的缺點,人們另辟新徑,構造了許多非有理形式的帶形狀參數(shù)的Bézier曲線[1-10]。其中,四次擬Bézier曲線作為一種新穎的曲線造型方法[9-10],不僅保留了傳統(tǒng)Bézier曲線的所有優(yōu)點,同時具有計算復雜度較低和形狀靈活可調的特點,所以該曲線在CAD/CAM領域中將得到廣泛的應用[9-10]。

為了增強四次擬Bézier曲線的造型能力,人們繼續(xù)研究了該曲線的一些關鍵技術,如拼接技術[9]、形狀修改[10]等。然而,在航天航空、機械加工、工業(yè)產品設計以及3D動畫設計等領域會經常遇到旋轉曲面的快速生成問題,在現(xiàn)有的CAD系統(tǒng)中通常將旋轉曲面表示為Bézier的參數(shù)形式,所以研究Bézier旋轉曲面的構造技術無疑具有重要理論價值和實際意義。

生成旋轉曲面的常用方法一般有基于三維坐標變換法[11]、B樣條曲線理論[12]、散亂數(shù)據三角剖分[13]以及輪廓約束的旋轉曲面繪制[14]等。上述方法生成的旋轉曲面存在如下2個缺點:①形狀可調性有限,即沒有考慮旋轉曲面局部或整體的形狀調整問題,一旦旋轉曲面生成,若要修改其形狀需要重新設計旋轉曲面,操作麻煩且費時、費力,無法更好地滿足實際需要;②缺乏顯式函數(shù)表達式,且計算復雜度較高。

為此,本文基于超限向量值有理插值函數(shù)的重要思想,利用帶多參數(shù)的四次擬Bézier曲線,研究了一種帶多形狀參數(shù)的四次擬Bézier旋轉曲面的幾何構造問題。所提方法不僅能夠快速、簡便地生成任意旋轉式曲面,而且可以對所生成的旋轉曲面進行整體(或局部)形狀調整,較好地解決了旋轉曲面形狀難以調節(jié)的問題。

1 四次擬Bézier曲線

四次帶參Bézier曲線[6-8]雖然繼承了Bézier方法幾何上的一些優(yōu)良性質,且形狀參數(shù)可調,但由于只含單個形狀參數(shù)使得其形狀可調性有限。為此,文獻[10]在四次帶參Bézier曲線的基礎上給出四次擬Bézier曲線的概念。

若給定4個控制頂點向量Pj∈Rd(d=2,3;j=0,1,2,3),四次擬Bézier曲線定義如下[10]

(1)

式中:0≤t≤1,λ、μ∈[-3,1]稱為形狀參數(shù);四次基函數(shù)bj,4(t)(j=0,1,2,3)為

(2)

顯然,當λ=μ時,式(1)便退化為文獻[6-8]中的四次帶參Bézier曲線,這表明該曲線是四次擬Bézier曲線的一個特例。不難證明,四次擬Bézier曲線同樣具有端點性質、凸包性以及幾何不變性等幾何性質。此外,形狀參數(shù)λ、μ對四次擬Bézier曲線形狀的影響規(guī)律也十分明顯,即為:①不改變μ值,將λ的值慢慢變小(或變大),曲線會慢慢遠離(或靠近)它的控制頂點P1;②不改變λ的值,將μ的值慢慢變小(或變大),曲線會慢慢遠離(或靠近)它的控制頂點P2;③λ、μ的值同時慢慢變小(或變大),曲線會慢慢遠離(或靠近)其控制多邊形。

類似于傳統(tǒng)曲線的光滑拼接,可以推導四次擬Bézier曲線間G1、C1連續(xù)的充要條件。

定理1相鄰2段四次擬Bézier曲線P(t;λ1,μ1)和Q(t;λ2,μ2)間G1連續(xù)的充要條件為

(3)

式中:α>0為任意常數(shù);Pi和Qi(i=0,1,2,3)分別為P(t;λ1,μ1)和Q(t;λ2,μ2)的控制頂點。

顯然,若假設式(3)中α=1,則曲線G1連續(xù)的充要條件退化為曲線C1連續(xù)的充要條件。四次擬Bézier曲線間光滑拼接的一個顯著優(yōu)點是:不用修改曲線G1、C1連續(xù)的條件,僅通過修改形狀參數(shù)(無需調整控制頂點的位置)就可修改拼接后曲線的局部形狀。

2 超限向量值有理插值函數(shù)

對于給定的d維復向量V∈Cd,它的Samelson逆定義為[15]

(4)

式中:V*為V的共軛向量;‖V‖為向量V的模。

根據式(4)中向量的Samelson逆,給出如下形式的二元超限向量值有理插值函數(shù)[15]

(5)

其滿足如下的插值條件

(6)

式中:N(s,t)={λ1(s,t),λ2(s,t),λ3(s,t)}是三維向量值函數(shù),而λj(s,t)(j=0,1,2)和q(s,t)都是變量s、t的實函數(shù);Vi(s)、bi(s)(i=0,1,2)都是s的三維向量值函數(shù);ti(i=0,1,2)是實常數(shù)。

3 四次擬Bézier旋轉曲面的構造

3.1 算法的描述

本節(jié)討論如何利用二元超限向量值有理插值函數(shù)的思想,結合一條分段的四次擬Bézier曲線給出一種旋轉曲面構造算法,可以快速生成空間任意形狀的旋轉曲面。下面給出算法的基本步驟。

步驟1在空間直角坐標系的xoy平面(其他平面可類似討論)上,首先構造一條以Pi,0、Pi,1、Pi,2、Pi,3(i=1,2,…,n)為控制頂點的分段組合四次擬Bézier曲線S0,并將S0寫成向量的形式為

Vi,0(s;λi,μi)={xi,0(s),yi,0(s),0}

i=1,2,…,n

(7)

式中:Vi,0(s;λi,μi)按式(1)定義,它表示四次擬Bézier曲線S0的第i段曲線,其控制頂點為Pi,0、Pi,1、Pi,2、Pi,3;λi、μi為形狀參數(shù)。曲線S0的相鄰兩段Vi,0(s;λi,μi)和Vi+1,0(s;λi+1,μi+1)間通常要達到G0、G1或C1連續(xù)。

其次,在xoz平面(其垂直于xoy平面)上作曲線S1,寫成向量函數(shù)形式為

Vi,1(s;λi,μi)={xi,1(s),0,zi,1(s)}=

{xi,0(s),0,yi,0(s)},i=1,2,…,n

(8)

式中:Vi,1(s;λi,μi)表示曲線S1的第i段,該曲線段是由曲線S0的第i段Vi,0(s;λiμi)繞著x軸順時針旋轉90°得到的。

最后,以x軸為對稱軸L,在xoy平面上作曲線S0關于L對稱的曲線S2,記為

Vi,2(s;λi,μi)={xi,2(s),yi,2(s),0}=

{xi,0(s),yi,0(s),0},i=1,2,…,n

(9)

式中:Vi,2(s;λi,μi)表示曲線S2的第i段。從而,得到位于2塊相互垂直平面(xoy平面和xoz平面)上的3條參數(shù)曲線如下

(10)

步驟2將曲線Vi,0(s;λi,μi)、Vi,1(s;λi,μi)和Vi,2(s;λi,μi)作為3個插值條件函數(shù),可構造形如式(5)的超限向量值有理插值函數(shù),步驟如下。

(1)令t0=0,t1=0.5,t2=1,并定義向量函數(shù)

bi,0(s;λi,μi)=Vi,0(s;λi,μi),i=1,2,…,n

(11)

(2)由向量Samelson逆的定義,令

并將Ri,1(s,t1;λi,μi)記為

bi,1(s;λi,μi)=Ri,1(s,t1;λi,μi),i=1,2,…,n

(12)

(3)分別定義

并將Ri,2(s,t2;λi,μi)記為

(13)

(4)將bi,j(s;λi,μi)(j=0,1,2;i=1,2,…,n)代入式(5),即可得

(14)

且滿足如下插值條件Ri(s,tj;λi,μi)=Vi,j(s;λi,μi)

j=0,1,2;i=1,2,…,n

(15)

步驟3對函數(shù)Ri(s,t;λi,μi)進行由后向前的有理化,可以得到該函數(shù)的顯式表達式

{ri,1(s,t;λi,μi),ri,2(s,t;λi,μi),ri,3(s,t;λi,μi)}

(16)

式中ri,1(s,t;λi,μi)=xi,0(s)

由文獻[16]中的結論易證明,式(16)所表示的曲面是以參數(shù)曲線S0為母線的旋轉曲面的一半(證明過程這里不再贅述)。

步驟4為了生成一個完整的旋轉曲面,還需要進一步將Ri(s,t;λi,μi)(i=1,2,…,n)中的分量ri,3(s,t;λi,μi)取反號,即可生成剩余一半的旋轉曲面,記為

{ri,1(s,t;λi,μi),ri,2(s,t;λi,μi),-ri,3(s,t;λi,μi)}

3.2 旋轉曲面的性質

本節(jié)討論四次擬Bézier旋轉曲面繼承的四次擬Bézier曲線的許多相關基本性質。

性質1邊界插值性質。由四次擬Bézier曲線的端點性質可知,旋轉曲面母線S0的每一段曲線Vi,0(s;λi,μi)(i=1,2,…,n)均插值它的始末控制頂點Pi,0、Pi,3,且Vi,0(s;λi,μi)和Vi+1,0(s;λi+1,μi+1)的控制頂點滿足Pi,3=Pi+1,0(i=1,2,…,n-1)。從而,四次擬Bézier旋轉曲面會插值于由控制頂點Pi,0、Pi,3(i=1,2,…,n)分別繞著x軸旋轉一周生成的n+1個圓。

性質2凸包性。四次擬Bézier旋轉曲面位于一個空間的立體凸包之中,該空間立體凸包是由母線S0的凸包(凸包由母線的控制頂點生成)繞著x軸旋轉一周生成的。

性質3光滑性。如果旋轉曲面的母線S0滿足每相鄰2段Vi,0(s;λi,μi)和Vi+1,0(s;λi+1,μi+1)間要達到G0、G1或C1光滑拼接,則旋轉曲面沿其母線方向也必然達到G0、G1或C1光滑拼接。

性質4逼近性。當λ、μ同時逐漸增大時,四次擬Bézier曲線逐漸逼近它的控制多邊形。所以,隨著參數(shù)λi、μi同時逐漸增大,四次擬Bézier旋轉曲面會逐漸地逼近由其母線S0的控制多邊形繞x軸旋轉一周生成的旋轉曲面。

3.3 形狀參數(shù)對旋轉曲面形狀的影響規(guī)律

旋轉曲面中形狀參數(shù)的影響規(guī)律為:①當μi保持不變,λi慢慢變小或變大時,Ri(s,t;λi,μi)逐漸地遠離或靠近由母線控制頂點Pi,1繞x軸旋轉一周生成的圓;②當λi保持不變,隨著μi慢慢地變小或變大,Ri(s,t;λi,μi)會慢慢遠離或靠近其母線的控制頂點Pi,2繞x軸旋轉一周生成的圓;③當形狀參數(shù)λi、μi同時逐漸地變小或變大時,旋轉曲面Ri(s,t;λi,μi)逐漸地遠離或靠近由母線S0的控制多邊形繞x軸旋轉一周生成的控制旋轉曲面。

4 數(shù)值實例

實例1:給定xoy平面上的8個控制頂點,生成2段四次擬Bézier曲線Vi,0(s;λi,μi)(i=1,2),試求以Vi,0(s;λi,μi)為母線,繞x軸旋轉一周生成的旋轉曲面。這里,母線的控制頂點坐標為

(17)

解:由式(1)可知,以Pi,j(i=1,2;j=0,1,2,3)為控制頂點生成的母線Vi,0(s;λi,μi)(i=1,2)的參數(shù)方程為

Vi,0(s;λi,μi)={xi,0(s),yi,0(s),0},i=1,2

(18)

式中

x1,0(s)=(15+5λ1)s-(15+15λ1)s2+

(10+15λ1-5μ1)s3-(5λ1-5μ1)s3

y1,0(s)=5+(15+5λ1)s+(3-15λ1)s2-

(3-15λ1+4μ1)s3-(5λ1-4μ1)s4

x2,0(s)=10+(30+10λ2)s-30λ2s2+

(30λ2-10μ2)s3-(10λ2-10μ2)s4

y2,0(s)=20-(15+5λ2)s-(15-15λ2)s2+

(20-15λ2-5μ2)s3+(5λ2+5μ2)s4

由3.1小節(jié)中的結論可知,以Vi,0(s;λi,μi)為母線繞x軸旋轉一周所得旋轉曲面方程為

(19)

(20)

式中:xi,0(s)、yi,0(s)取式(18)中的值。

圖1 同時改變參數(shù)λi、μi時的旋轉曲面

圖2 固定參數(shù)λi、改變參數(shù)μi時的旋轉曲面

圖1～圖4中的旋轉曲面沿其母線方向只能達到G0光滑連續(xù)。若要使旋轉曲面達到G1光滑連續(xù),可按式(3)中的G1光滑拼接條件進一步修改式(17)中母線Vi,0(s;λi)(i=1,2)的控制頂點坐標。

圖3 固定參數(shù)μi、改變參數(shù)λi時的旋轉曲面

圖4 參數(shù)λi=μi時的旋轉曲面

實例2:試調整實例1中旋轉曲面母線的控制頂點坐標,使得生成的旋轉曲面沿其母線方向達到G1光滑連續(xù)。

解:為了使旋轉曲面沿其母線方向達到G1光滑連續(xù),根據定理1中的結論,首先需要將實例1中母線Vi,0(s;λi,μi)(i=1,2)的控制頂點調整為

(21)

圖5給出了實例2中當形狀參數(shù)取不同值時的沿母線方向達到G1連續(xù)的旋轉曲面。從圖5中可以看出,由于旋轉曲面具有4個獨立的形狀參數(shù),故其具有較好的形狀可調性。

圖5 沿母線方向G1連續(xù)的旋轉曲面

(a)θ=0.5π (b)θ=1.5π

5 結 論

基于超限向量值有理插值函數(shù)的重要思想,提出了一種設計四次擬Bézier旋轉曲面的新方法。該方法具有如下優(yōu)點:①通過引入形狀參數(shù)可以修改旋轉曲面的形狀,極大地增加了旋轉曲面造型的自由度;②克服了傳統(tǒng)旋轉曲面設計方法計算復雜的缺點,算法簡單、高效;③給出了生成旋轉曲面的顯式函數(shù)表達式,不僅方便計算旋轉曲面上點的坐標,而且有利提高旋轉曲面的生成速度。理論分析與造型實例表明,本文方法在各種CAD/CAM造型系統(tǒng)中將有著十分廣泛的應用價值。

[1] CHEN Q Y,WANG G Z.A class of Bézier-like curves [J].Computer Aided Geometric Design,2003,20(1): 29-39.

[2] ORUC H,PHILLIPS G H.q-Bernstein polynomials and Bézier curves [J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2003,151(1): 1-12.

[3] HAN Xian,MA Yichen,HUANG Xili.The cubic trigonometric Bézier curve with two shape parameters [J].Applied Mathematic Letters,2009,22(3): 226-231.

[4] 檀結慶,王燕,李志明.三次H-Bézier曲線的分割、拼接及其應用 [J].計算機輔助設計與圖形學學報,2009,21(5): 584-588.

TAN Jieqing,WANG Yan,LI Zhiming.Subdivision algorithm,connection and applications of cubic H-Bézier curves [J].Journal of Computer Aided Design & Computer Graphics,2009,21(5): 584-588.

[5] HAN Xian,MA Yichen,HUANG Xili.A novel generalization of Bézier curve and surface [J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2008,217(1): 180-193.

[6] 胡鋼,戴芳,秦新強,等.四次帶參Bézier曲線曲面的光滑拼接 [J].上海交通大學學報,2010,44(11): 1481-1485,1490.

HU Gang,DAI Fang,QIN Xinqiang,et al.On continuity conditions for quartic Bézier curves and surfaces with shape parameters [J].Journal of Shanghai Jiaotong University,2010,44(11): 1481-1485,1490.

[7] 吳榮軍,彭國華,羅衛(wèi)民,等.四次帶參Bézier曲線的形狀分析 [J].計算機輔助設計與圖形學學報,2009,21(6): 725-729.

WU Rongjun,PENG Guohua,LUO Weimin,et al.Shape analysis of quartic Bézier curve with shape parameter [J].Journal of Computer Aided Design & Computer Graphics,2009,21(6): 725-729.

[8] 胡鋼,段獻葆,秦新強,等.4次λ-Bézier曲線的近似合并算法 [J].華中科技大學學報,2011,37(9): 45-49.

HU Gang,DUAN Xianbao,QIN Xiqiang,et al.Approximate merging of a pair of quarticλ-Bézier curves with shape parameters [J].Journal of Huazhong University of Science and Technology,2011,37(9): 45-49.

[9] 胡鋼,秦新強,韓西安,等.擬三次Bézier曲線曲面的拼接技術 [J].西安交通大學學報,2010,44(11): 46-50,60.

HU Gang,QIN Xinqiang,HAN Xi’an,et al.Continuity conditions for cubic quasi-Bézier curves and surfaces [J].Journal of Xi’an Jiaotong University,2010,44(11): 46-50,60.

[10]韓西安,馬逸塵,黃希利.擬三次Bézier曲線的形狀調整 [J].西安交通大學學報,2007,41(8): 903-906.

HAN Xi’an,MA Yichen,HUANG Xili.Shape modification of cubic quasi-Bézier curve [J].Journal of Xi’an Jiaotong University,2007,41(8): 903-906.

[11]FARIN G.Curves and surfaces for CAGD: a practical guide fifth edition [M].San Diego,USA: Academic Press,2002: 229-303.

[12]BOURGUIGNON D,CANI M P,DRETTAKIS G.Drawing for illustration and annotation in 3D [J].Computer Graphics Forum,2001,20(3): 114-122.

12].http:∥citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.104.8535&rep=rep1&type=pdf.

[14]韓麗,RAFFAELE D A.Cubic B樣條旋轉曲面的自由繪制技術 [J].小型微型計算機系統(tǒng),2009,30(7): 1141-1144.

HAN Li,RAFFAELE D A.Rotation surface modeling technique by cubic B-spline free drawing [J].Journal of Chinese Computer Systems,2009,30(7): 1141-1144.

[15]檀結慶.連分式理論及其應用 [M].北京: 科學出版社,2007: 337-392.

[16]朱曉臨.一種快速構造圓弧的新方法 [J].合肥工業(yè)大學學報,2002,25(2): 269-272

ZHU Xiaolin.A new method for constructing circular arc [J].Journal of Hefei University of Technology,2002,25(2): 269-272.

(編輯 杜秀杰)

NewMethodforConstructingQuarticQuasi-BézierRotationSurfaceswithMultipleShapeParameters

HU Gang1,SONG Weijie2

(1.School of Science,Xi’an University of Technology,Xi’an 710054,China;2.School of Science,Northwestern Polytechnical University,Xi’an 710072,China)

To deal with the problems in adjusting and controlling shapes of rotation surfaces,a new efficient method for quick constructing rotary surfaces with local shape parameters is proposed.Following the essence of transfinite vectored rational interpolating function,the quartic quasi-Bézier rotary surfaces with multiple shape parameters are constructed and the explicit function for quartic quasi-Bézier rotary surfaces is presented.The so constructed surfaces inherit the outstanding properties of the Bézier rotary surfaces with good performance in adjusting local shapes by changing the shape parameters.Some properties of the quartic quasi-Bézier rotary surfaces and applications to surface design are discussed.

quartic quasi-Bézier curve; shape parameter; rotary surface; transfinite vectored rational interpolating function

2013-09-28。

胡鋼(1979—),男,副教授。

國家自然科學基金資助項目(51305344);國家自然科學基金重大研究計劃培育項目(91120014);陜西省教育廳基金資助項目(2013J K1029)。

時間:2014-03-06

10.7652/xjtuxb201406013

TP391.4

:A

:0253-987X(2014)06-0074-06

網絡出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20140306.1027.002.html