龐思勤+喬小峰+王西彬+彭松

文章編號：16742974(2014)05004406

收稿日期：20130725

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(50935001/E050901)

作者簡介：龐思勤（1958-），男，安徽宿州人，北京理工大學(xué)教授，博士

通訊聯(lián)系人，Email:xf_qiao@126.com

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摘 要：為了簡化球頭銑刀“S”形刃口的數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)兩個空間平面與球面相交而成的復(fù)合型刃口曲線方程,提出并應(yīng)用了“單球法”和“雙球法”兩種數(shù)學(xué)建模方法，并推導(dǎo)了球頭銑刀球面部分平面刃口曲線偏轉(zhuǎn)角和螺旋角的數(shù)學(xué)表達(dá)式.結(jié)果表明:偏轉(zhuǎn)角和螺旋角兩者相等，可以簡化球面部分平面刃口曲線的數(shù)學(xué)模型,既降低了平面刀刃曲線的推導(dǎo)過程的復(fù)雜性，同時又為兩個或多個空間平面與球頭銑刀球面部分相交而成的復(fù)合型刃口曲線方程的建模提供了一種有效方法.

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關(guān)鍵詞：球頭銑刀；“S”形刃口曲線；刀刃曲線；數(shù)學(xué)模型

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中圖分類號：TG714 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

A Mathematical Modeling Method forthe “S” 

Edge Curves ofa Ball End Mill

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PANGSiqin,QIAOXiaofeng,WANGXibin,PENGSong

(Key Laboratory of Fundamental Science for Advanced Machining, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081,China)

Abstract:To simplify the mathematical model for the "S" edge curves of a ball end mill and derive the composite edge curve equations of the intersection of two space planes and the sphere，this paper proposed and applied the "Single Sphere Method" and "Dual Spheres Method" to deduce the mathematical expressions of the deflection angle and helical angle of the flat edge curves on a ball end mill's spherical part. The results have shown that the mathematical relationship between the deflection angle and the helical angle is equal, thus simplifying the mathematical model of the plane edge curves on the spherical part with an equal relationship between the two angles. This reduces the complexity of the derivation process of the plane edge curves and provides an effective method for the composite edge curves' modeling of the intersections of two or more space planes and the spherical part of the ball end mill.

Key words: ball end mill；“S” edge curve ；edge curve；mathematical model

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由于球頭立銑刀加工復(fù)雜曲面時有較好的自適應(yīng)性和減振性，可以十分方便地加工模具內(nèi)腔型面以及其他復(fù)雜曲面，廣泛應(yīng)用于加工自由曲面機(jī)械構(gòu)件、模具等產(chǎn)業(yè)[1].同時，由于刀刃曲線一般為變導(dǎo)程弧形曲線且經(jīng)過回轉(zhuǎn)軸線，球頭立銑刀具有切削力小，波動范圍不大，耐用度高，切削過程平穩(wěn)等優(yōu)點[2].除此之外，球頭立銑刀的切削性能和加工質(zhì)量在很大程度上也取決于刀刃曲線的合理設(shè)計 [3].早期的刀刃曲線以直線刃為主，隨著工件加工精度要求的提高，隨后便出現(xiàn)了一般曲線刃和螺旋線刀刃.目前，對“S”形刃口曲線的研究和應(yīng)用較廣泛，有關(guān)“S”型刃口曲線設(shè)計和優(yōu)化方法的文獻(xiàn)層出不窮，易德明等人在分析球頭立銑刀刃磨方法的基礎(chǔ)上，建立了“S”形刃球頭立銑刀的前、后刀面及切削刃的數(shù)學(xué)模型[4].廖鋼等人對“S”形刃球頭立銑刀幾何參數(shù)進(jìn)行了分析與優(yōu)化，并對切削機(jī)理進(jìn)行了研究[5].胡思節(jié)等人根據(jù)球頭立銑刀的刃磨參數(shù)所需滿足的條件，對“S”形刃口曲線進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模[6].汪云濤等人在已建立球頭銑刀前刀面和后刀面數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，研究了“S”形刃口球頭銑刀的誤差數(shù)學(xué)模型[7].Lee等人提出在球頭銑刀球面部分，以一個與刀軸垂直的圓柱面與之相交而形成的“S”形刃口曲線模型[8].Tai等人使用多項式構(gòu)造了“S”形刃口曲線模型[9].盛尚雄等人根據(jù)加工時前刀面的成形運動,分別研究了圓柱和圓錐球頭立銑刀球頭部分的“S”形刃口曲線數(shù)學(xué)模型［10］.Lin等人討論了“S”刃口球頭銑刀的制造問題[11].

由于球頭銑刀在切削加工時的點接觸狀態(tài)會使加工效率降低，隨著五軸數(shù)控機(jī)床的廣泛引入，球頭銑刀在某些加工領(lǐng)域已被側(cè)銑刀所代替.但是，為了降低生產(chǎn)成本，二軸及三軸數(shù)控機(jī)床加工過程中仍然廣泛使用球頭銑刀，對球頭銑刀的深入研究是有必要的.目前，對球頭銑刀“S”形刃口曲線的研究較為廣泛，但是對球面與多個平面相交而成的刀刃曲線數(shù)學(xué)建模問題的研究少之又少.本文在推導(dǎo)文獻(xiàn)[12]中提到的“S”形刃口曲線的過程中，結(jié)合空間幾何理論和微分幾何理論，首次提出了“單球法”和“雙球法”兩種數(shù)學(xué)建模方法，可以應(yīng)用于球頭銑刀球面與兩個成一定夾角空間平面相交所形成的“S”形刃口曲線的數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)問題，也可以應(yīng)用到多個空間平面與球面相交的問題.

1 球面刀刃曲線通用數(shù)學(xué)模型

如圖1所示，設(shè)點M為球頭銑刀刀刃曲線上任意一點，刀刃曲線方程為：

x=ρcos ψy=ρsin ψz=z （1）

式中ρ為M點處矢徑，ψ為相對于zox平面的偏轉(zhuǎn)角，顯然，其均為z的函數(shù)，即有：ρ=ρz,ψ=ψz.據(jù)此可以求出刀刃曲線上M點處的單位切矢量τ，回轉(zhuǎn)面輪廓母線在M處的切矢量τ0和輪廓表面在M點處的單位法矢量n0分別為：

τ=

dρdzcosψ－ρdψdzsinψ,dρdzsinψ+ρdψdzcosψ,1dρdz2+ρdψdz2+1（2）



圖1球面“S”形刃口曲線

Fig.1 “S” shape edge curve on sphere

由于錐面為回轉(zhuǎn)面，所以在其經(jīng)線上dψ/dz=0，代入式（2）可得：

τ0=dρdzcosψ,dρdzsinψ,1dρdz2+1（3）

n0=τ×τ0 （4）

根據(jù)螺旋角的定義，刀刃M點處螺旋角為單位切矢量τ和τ0之間的夾角，即

cos β=τ?τ0 （5）

將式（2），（3）代入式（5），得到偏轉(zhuǎn)角的微分方程表達(dá)式：

dψdz=tanβρ1+dρdz2（6）

由式（6）解得ψ并代入式（1），便可求得球面刀刃曲線參數(shù)方程如式（7）所示:

x=R2－z2cos ψ0+tan β2ln R+z－ln R－zy=R2－z2sin ψ0+tan β2ln R+z－ln R－zz=z（7）

2 球面上平面刀刃曲線的簡化數(shù)學(xué)模型

在刀刃曲線設(shè)計過程中，為使刀刃過銑刀回轉(zhuǎn)軸，球面部分采用復(fù)合型切削刃，即在刀尖點附近，采用平面曲線刀刃，而在遠(yuǎn)離刀尖點的部位，采用能與平面曲線刀刃光滑連接的刀刃曲線，通常為螺旋線刀刃曲線，也可以為不同平面上的刀刃曲線，本文主要對兩個不同平面上的兩段平面刀刃曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)建模.

如圖2（a）所示，平面Ⅰ，Ⅱ相交于球的一條直徑線，在平面Ⅰ內(nèi)過直徑線的一個端點作球面的切線t，過切線t作另一個平面Ⅲ，平面Ⅱ，Ⅲ和球面相交于球面上一點M，球面角β即為平面刀刃曲線上任意一點M處的螺旋角，平面Ⅰ，Ⅱ之間的夾角即為平面刀刃曲線上任意一點M處的偏轉(zhuǎn)角ψ的余角.

（a）點M處偏轉(zhuǎn)角和螺旋角關(guān)系圖

（b）點M處矢量圖

圖2 球面刀刃曲線上點M處偏轉(zhuǎn)角和螺旋角

Fig.2 The point Mdeflection angle and the spiral

angle on edge curve of sphere



如圖2（b）所示，平面Ⅱ，Ⅲ和球面的相交點M坐標(biāo)、M點在球面上的法矢量nR、平面Ⅱ的法線矢量nx和平面Ⅲ的法線矢量nβ分別如式（8）~（11）所示：

x=Rsin αy=Rcos αcos θz=Rcos αsin θ（8）

nR=sin αcos αcos θcos αsin θ（9）

nx=cos α－sin α0 （10）

nβ=cos βk0－sin βk （11）

式中R為球面半徑；α，θ為球面參數(shù)；βk為平面與z坐標(biāo)軸的夾角，且有：

sin α=R－zρtan βk （12）

平面Ⅱ和球面的交線與平面Ⅲ和球面交線在相交點M處的切向量為tx和tβ：

tx=nx×nR，tβ=nβ×nR （13）

由平面Ⅱ和平面Ⅲ在球面上的球面角β的定義，可得：

cos β=tx?tβtxtβ（14）

將式（9）、（10）和式（11）代入式（13），得：

cos β=tx?tβtxtβ=nx×nR?nβ×nRnx×nRnβ×nR=

cos α?cos βkcos βk=cos α ,β=α

即，用過球面直徑線端點的切線作任一平面Ⅲ，平面Ⅲ和球面的交線與過同一端點的球面經(jīng)線所形成的球面角β，與過球面經(jīng)線的平面Ⅱ和過直徑線端點切線的平面Ⅰ相交于直徑線所形成的二面角α在數(shù)值上相等，如圖2所示.如圖1中所示，設(shè)平面Ⅰ為yoz坐標(biāo)平面，平面Ⅰ，Ⅱ相交所得直徑線為z坐標(biāo)軸，則平面Ⅲ和球面的交線為球頭銑刀刀刃曲線，球面角β為刀刃曲線上任意一點M處的螺旋角，二面角α為點M處偏轉(zhuǎn)角的余角，即：

β=α=π2－ψ（15）

聯(lián)立式（12），（15），便可求得刀刃上任意一點M處的偏轉(zhuǎn)角為：

ψ=arccos R－zρtan βk（16）

將式（16）代入式（1），得球面上簡化的平面刀刃曲線的參數(shù)方程如式（17）所示：

x=R－ztan βky=ρsin arccos R－zρtan βkz=z（17）

對比式（17）和式（7），可以明顯看出刀刃曲線方程得到了有效簡化，更易于求解.

3 一種“S”形刃口曲線的數(shù)學(xué)模型

3.1 新型“S”形刃口曲線特征

本文應(yīng)用簡化的平面刀刃曲線的參數(shù)方程，對文獻(xiàn)[12]提出的球頭銑刀“S”形刃口曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)建模.如圖3所示，該球頭銑刀的刃型特點有以下特征[12]：

1）刃型曲線由平面Pa與球面的交線和平面Pb與球面的交線組合而成，即由圖3所示的兩段平面圓弧a和b組成.圓弧b的一端與圓弧a相切于點N，另一端與半球面沿刀具回轉(zhuǎn)軸線方向的頂點K（刀尖）重合.

2）平面Pb與圓弧刃a段的后刀面相切，切線通過圓弧a和b的切點N.

3）b段圓弧刃的前刀面為圓柱面，并與Pb相切.

4）圓弧a和b所在的平面Pa和Pb分別與刀具軸線不平行也不垂直.平面Pa為a段圓弧刃的前刀面，平面Pb為b段圓弧刃的后刀面.

3.2 “單球法”和“雙球法”理論

本文基于簡化的球頭銑刀平面刃口曲線數(shù)學(xué)方程和圖3所示球頭銑刀球面部分刃口曲線幾何特征，首次提出了“單球法”和“雙球法”的理論方法，基于此方法可以解決球頭銑刀球面部分任意數(shù)量和任意位置平面與球面相交而成的刃口曲線數(shù)學(xué)建模問題.

（a）“S”形刃口曲線平面視圖

（b）“S”形刃口曲線三維視圖

圖3 “S”刃口曲線圖

Fig.3 Figure of “S”shape edge curve

“單球法”是在同一個球面上或同一個坐標(biāo)系中對兩段或多于兩段平面刃口曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)建模.圖3中所示的平面刃口曲線由兩個平面Pa和Pb分別與球面相交而得.平面Pb在坐標(biāo)系oxyz中的位置符合式（17）的推導(dǎo)條件，可直接帶入?yún)?shù)求得b段刃口曲線數(shù)學(xué)方程，即：1）平面與y坐標(biāo)軸平行；2）平面過球面頂點，并與z坐標(biāo)軸之間的夾角不為零.平面Pa在坐標(biāo)系oxyz中的位置不符合上述條件，對平面Pa進(jìn)行坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換和平移變換得平面P′a，使其在坐標(biāo)系oxyz中的位置符合上述條件，如圖4所示.由式（17）便可求得a段刃口曲線的過渡數(shù)學(xué)模型，可歸納為：坐標(biāo)變換→滿足條件→過渡數(shù)學(xué)模型→坐標(biāo)逆變換→數(shù)學(xué)模型.

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圖4平面P′a位置關(guān)系圖

Fig.4 Location diagram of plane P′a

同樣，“雙球法”是在不同球面上或不同坐標(biāo)系中對兩段或多段平面刃口曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，兩球面半徑須相等.如圖5所示，平面Pa位置不變，建立能使平面Pa滿足上述條件的過渡坐標(biāo)系o1x1y1z1，將平面參數(shù)代入式（17）可求得過渡坐標(biāo)系o1x1y1z1中a段刃口曲線的數(shù)學(xué)模型，對過渡坐標(biāo)系o1x1y1z1進(jìn)行坐標(biāo)變換使其與坐標(biāo)系oxyz重合，求得過渡坐標(biāo)系變換為固定坐標(biāo)系的變換矩陣，對過渡坐標(biāo)系中的刃口曲線進(jìn)行同樣的坐標(biāo)變換，即可求得a段刃口曲線在坐標(biāo)系oxyz中的數(shù)學(xué)模型，可歸納為：建立過渡坐標(biāo)系→滿足條件→過渡數(shù)學(xué)模型→坐標(biāo)變換→數(shù)學(xué)模型.

3.3 “單球法”建立平面刃口數(shù)學(xué)模型

3.3.1 平面Pb與球面相交刃口曲線方程

如圖3所示，b段刃口曲線由平面Pb和球面相交而成，平面Pb與y平行，符合式（17）推導(dǎo)條件.將平面Pb和z坐標(biāo)軸夾角βk代入式（17），可得b段刃口曲線數(shù)學(xué)模型如式（18）所示：

（a）a段刃口曲線圖

（b）平面Pa位置坐標(biāo)圖

圖5 坐標(biāo)系o1x1y1z1與平面Pa位置關(guān)系圖

Fig.5Location figure between coordinate system

o1x1y1z1 and plane Pa



xPb=R－ztan βkyPb=ρsin arccos R－zρtan βkzPb=z（18）

3.3.2 平面Pa與球面相交刃口曲線方程

如圖4所示，平面Pa通過繞z旋轉(zhuǎn)角度φ和沿坐標(biāo)軸平移可得到平面P′a，平面P′a與z坐標(biāo)軸夾角β′k，即：

xP′ayP′azP′a=MzφxPayPazPa+－xN－yNR－zN（19）

式中Mzφ為平面Pa繞坐標(biāo)軸z旋轉(zhuǎn)角度φ時的變換矩陣，如式（20）.xN，yN，zN為刀刃曲線連接點N在坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)值.

Mzφ=cos φ－sin φ0sin φcos φ0001（20）

通過旋轉(zhuǎn)和平移所得到的平面P′a符合第2節(jié)中球面上平面刀刃曲線的參數(shù)方程式（17），由此可求得平面P′a與球面相交所得的刃口曲線方程如式（21）所示：

xP′a=R－ztan β′kyP′a=ρsin arccos R－zρtan β′kzP′a=z（21）

將式（18），（20）代入式（19）便可得平面Pa在同一坐標(biāo)系oxyz中的刀刃曲線方程如式（22）所示:

xPayPazPa=M－1zφxP′ayP′azP′a+xNyNzN－R （22）

式中xP′a，yP′a，zP′a分別為平面P′a與球面相交所得平面曲線上任意一點的坐標(biāo)值;xPa，yPa，zPa分別為平面Pa與球面相交所得平面曲線上任意一點的坐標(biāo)值;M－1zφ為旋轉(zhuǎn)變換矩陣Mzφ的逆矩陣.由式（18）和式（22）可得球面上平面刀刃曲線方程為：

xPayPazPa=M－1zφxP′ayP′azP′a+xNyNzN－R0≤z＜zNxPb=R－ztan βkyPb=ρsin arccos R－zρtan βk zN≤z≤RzPb=z（23）

式中zN為a，b兩段刃口曲線連接點N的坐標(biāo)值，可由Pa和Pb平面參數(shù)βk和β′k確定.

3.4 “雙球法”建立平面刃口數(shù)學(xué)模型

本文提出的“雙球法”，即以N點為球面直徑線端點，在坐標(biāo)系o1x1y1z1中建立一個等半徑的球面，z1軸和z軸在空間坐標(biāo)系中平行，如圖5所示.平面Pa與坐標(biāo)軸y1平行，且與z1坐標(biāo)軸之間的夾角為β1，符合式（17）推導(dǎo)條件，由此可得a段刃口曲線在o1x1y1z1坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)方程如式（24）所示:

x1Pa=R－ztan β1y1Pa=ρsin arccos R－zρtan β1z1Pa=z1 （24）

式中x1Pa，y1Pa，z1Pa分別為a段刃口曲線上任意一點在o1x1y1z1坐標(biāo)系的坐標(biāo)值.

將式（24）所示刃口曲線方程通過坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)換到oxyz坐標(biāo)系中，即可得到a段刃口曲線在oxyz坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)方程如式（25）所示:

xPayPazPa=Mzλx1Pay1Paz1Pa－xo′yo′zo′（25）

由式（18）和式（25）可得球面上平面刀刃曲線方程為：

xPayPazPa=Mzλx1Pay1Paz1Pa－xo′yo′zo′0≤z＜zNxPb=R－ztan βkyPb=ρsin arccos R－zρtan βkzN≤z≤RzPb=z（26）

式中 Mzλ為平面Pa繞坐標(biāo)軸z旋轉(zhuǎn)角度φ時的變換矩陣，如式（27）.xo′，yo′，zo′分別為坐標(biāo)原點o1在坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)值.zN為a,b兩段刃口曲線連接點N的坐標(biāo)值，可由Pa和Pb平面參數(shù)βk和β1確定.

Mzλ=cos λ－sin λ0sin λcos λ0001（27）

4 結(jié) 論

本文通過對空間平面理論和球面相交理論進(jìn)行推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，證明了球面部分平面刃口曲線偏轉(zhuǎn)角和螺旋角相等的簡明數(shù)學(xué)關(guān)系，簡化了球面部分平面刃口曲線的數(shù)學(xué)模型.同時，應(yīng)用本文提出的“單球法”和“雙球法”數(shù)學(xué)建模方法，并結(jié)合簡化的平面刃口曲線數(shù)學(xué)模型，對一種新型“S”形刃口曲線進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模，應(yīng)用此建模方法可以求解球頭銑刀不同數(shù)量空間平面與球面相交所形成的刃口曲線方程，既降低了平面刀刃曲線推導(dǎo)過程的復(fù)雜性，同時又為兩個或多個空間平面與球頭銑刀球面部分相交而成的復(fù)合型刃口曲線方程的數(shù)學(xué)建模提供了一種有效方法.

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