陳永亮, 韓曉玲

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅蘭州730070)

1 引言及預(yù)備知識

隨機不動點理論在各類隨機微分積分方程的研究中起著重要作用,文獻[1]將Banach壓縮原理隨機化,得到了隨機壓縮映射不動點定理;A.T.Bharucha Reid[2]將著名的Schauder不動點定理隨機化,建立了隨機Schauder不動點定理;張石生[3]建立了一系列隨機壓縮映像不動點定理;李國禎[4]將Leray-Schauder拓撲度和不動點指數(shù)理論隨機化,建立了隨機拓撲度和指數(shù)理論;上述不動點定理都有著廣泛的應(yīng)用.

近年來,許多學(xué)者不斷的將Banach壓縮原理進行改進,得到了各種形式的壓縮不動點定理[5-10].本文將文獻[5]中的不動點定理隨機化,得到了一個新的隨機不動點定理.

本文假設(shè)(Ω,Σ,μ)為一完備的概率測度空間,E為可分的實Banach空間,(E,B)為可測空間,其中,B為E的一切Borel子集的σ-代數(shù).

定義1.1[11]映像x:Ω?E稱為E-值Σ-可測,若對E中的任意開集S,集合{ω∈Ω|x(ω)∈S}∈Σ.

定義1.2[11]算子A:Ω×E?E稱為隨機算子,若對?x∈E,A(ω,x)為E-值隨機變量,即對E中任意閉集S,集合{ω∈Ω|A(ω,x)}∈Σ.特別地,若算子A(ω):E?E對?x∈E,A(ω)x為E-值隨機變量,則A(ω)為隨機算子.

定義 1.3[12]設(shè)A(ω)為隨機算子,若存在E-值隨機變量x(ω),使得A(ω)x(ω)=x(ω),?ω∈Ω,則稱x(ω)為算子A(ω)的隨機不動點.

定義1.4[10]設(shè)θ是E的零元素,P是E中的一個集合,intP表示P的內(nèi)部.集合P被稱為一個錐,如果:

(a)P是非空的閉集且P≠{θ};

(b)a,b∈R,a,b≥0,x,y∈P?ax+by∈P;

(c)P∩(-P)={θ}.

對于給定的錐P,可以通過如下方法在P上定義偏序關(guān)系?,x?y當(dāng)且僅當(dāng)y-x∈P.x?y表示x?y且x≠y.x?y表示intP.如果P非空,則稱P為體錐.

定義1.5[10]錐P?E稱為正規(guī)錐,如果?K>0使得對所有的x,y∈E,

定義1.6[10]設(shè)X是一個非空集,映射d:X×X?E,其中d滿足:

(i)θ?d(x,y),?x,y∈X,d(x,y)=0,當(dāng)且僅當(dāng)x=y;

(ii)d(x,y)=d(y,x),?x,y∈X;

(iii)d(x,y)?d(x,z)+d(z,y),?x,y,z∈X,則稱d是X上的一個度量,(X,d)是一個抽象的度量空間.

引理1.1[10]若P是E中的一個正規(guī)錐,則?E的一個單調(diào)范數(shù)‖·‖1,即?x,y∈E,

如果P還是一個體錐,則有

2 主要結(jié)果和證明

顯然,對一些n∈N,上面2個不等式不能同時成立,即對每一個n∈N必有以下2種情形之一成立:

若(2)式成立時,可以得到若(3)式成立時,可以得到

顯然,能使得以上2個不等式之一成立的n構(gòu)成N中的一個無限集.如果能使不等式(2)成立的n構(gòu)成無限集N1∈N,則取極限,當(dāng)N1?n?∞可得

不等式(3)成立的情形與不等式(2)的證明類似,因此,無論那一種情形都可以得到

這與假設(shè)沒有隨機不動點矛盾.

假設(shè)v(ω)是T(ω)的一個隨機不動點,u(ω)是T(ω)的另一個隨機不動點,v(ω)∈X;u(ω)∈X,v(ω)≠u(ω).因

根據(jù)(1)式可得

如果E≤B+C+D,則A+D+E≤A+B+C+2D=1,這就與d(u(ω),v(ω))>0矛盾.證畢.

如果取A=1和B=C=D=E=0,可以獲得隨機化了的Suzuki不動點定理.

推論2.2設(shè)(X,d)是一個緊的度量空間,隨機算子T:Ω×X?X,假設(shè)對任意可測的隨機變量x(ω),y(ω)∈X,?ω∈Ω有

則T(ω)在X中有唯一的隨機不動點.

如果取A=D=E=0和B+C=1,B≠0,可以得到隨機化了的Kannan不動點定理.

推論2.3設(shè)(X,d)是一個緊的度量空間,隨機算子T:Ω×X?X,假設(shè)對任意可測的隨機變量x(ω),y(ω)∈X,?ω∈Ω有

其中,B、C是非負常數(shù),滿足B+C=1,C≠1,則T(ω)在X中有唯一的隨機不動點.

如果取A=B=C=0和D=1/2,可以得到隨機化了的Chatterjea不動點定理.

推論2.4設(shè)(X,d)是一個緊的度量空間,隨機算子T:Ω×X?X,假設(shè)對任意可測的隨機變量x(ω),y(ω)∈X,?ω∈Ω有

其中,E是任意固定的非負常數(shù),則T(ω)在X中有隨機不動點.如果,則不動點是唯一的.

定理2.5設(shè)(X,d)是錐P上一個緊的錐度量空間,其中,P是正規(guī)的體錐.隨機算子T:Ω×X?X,假設(shè)對任意可測的隨機變量x(ω),y(ω)∈X,x(ω)≠y(ω),?ω∈Ω有

則T(ω)在X中有唯一隨機不動點.

證明因為P是一個正規(guī)的體錐,由引理1.1得,存在E的一個單調(diào)范數(shù)‖·‖1,即

則D是一個實值度量,(X,D)是一個緊的度量空間.這樣就把原問題等價的轉(zhuǎn)化為證明推論2.2的條件,即對任意可測的隨機變量x(ω),y(ω)∈X,?ω∈Ω有

這就與假設(shè)矛盾.因此可得

根據(jù)范數(shù)的單調(diào)性可得

由推論2.2可得T(ω)在X中有一個隨機不動點.

定理2.6設(shè)(X,d)是錐P上一個緊的錐度量空間,其中,P是正規(guī)的體錐.隨機算子T:Ω×X?X,假設(shè)對任意可測的隨機變量x(ω),y(ω)∈X,x(ω)≠y(ω),?ω∈Ω有

其中,A、B、C、D、E是非負常數(shù),滿足:A+B+C+2D=1且C≠1,則T(ω)在X中有一個隨機不動點,進一步假設(shè)E≤B+C+D則不動點是唯一的.

推論2.7設(shè)(X,d)是錐P上一個緊的錐度量空間,其中,P是正規(guī)的體錐.隨機算子T:Ω×X?X,假設(shè)對任意可測的隨機變量x(ω),y(ω)∈X,x(ω)≠y(ω),?ω∈Ω有

其中,B、C是非負常數(shù),滿足B+C=1,C≠1,則T(ω)在X中有唯一的隨機不動點.

推論2.8設(shè)(X,d)是錐P上一個緊的錐度量空間,其中,P是正規(guī)的體錐.隨機算子T:Ω×X?X,假設(shè)對任意可測的隨機變量x(ω),y(ω)∈X,x(ω)≠y(ω),?ω∈Ω有

則T(ω)在X中有唯一的隨機不動點.

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