繆 芳, 朱海江, 秦永松

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

設(shè){Xn}n≥1是一實(shí)值平穩(wěn)NA隨機(jī)樣本序列,具有相同的未知分布函數(shù)F(x).未知分布函數(shù)的一個自然估計是經(jīng)驗分布函數(shù),但經(jīng)驗分布函數(shù)有其不連續(xù)性的缺陷,所以用經(jīng)驗分布函數(shù)估計F(x)不盡理想.本文對固定的x∈R,采用如下核估計求解F(x)的估計:

(1)

式(1)中:K(5)為已知的分布函數(shù);窗寬0

下面給出NA隨機(jī)變量序列的定義.

定義1 若對{1,2,…,n}的任何2個不相交的非空子集A1與A2都有

Cov[f1(Xi),i∈A1,f2(Xj),j∈A2]≤0,

其中f1和f2是任何2個使得協(xié)方差存在的且對每個變元均非降(或?qū)γ總€變元均非升)的函數(shù),則稱實(shí)值隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn(n≥2)是NA的.

文獻(xiàn)[1]在提出正相協(xié)隨機(jī)變量序列后,大量文獻(xiàn)針對正相協(xié)樣本進(jìn)行了研究;文獻(xiàn)[2]提出了負(fù)相協(xié)隨機(jī)變量序列的概念,負(fù)相協(xié)樣本雖沒有正相協(xié)樣本應(yīng)用廣泛,但在負(fù)相協(xié)樣本情況下也得到了一些重要的結(jié)果.例如,文獻(xiàn)[3]給出了NA情況的重對數(shù)律;文獻(xiàn)[4]研究了NA序列加權(quán)和的完全收斂性;文獻(xiàn)[5]得到了NA樣本分布函數(shù)的遞歸型核估計的漸近性質(zhì);文獻(xiàn)[6]研究了NA樣本情形概率密度函數(shù)估計的相合性等.

對獨(dú)立樣本情形,許多學(xué)者研究了Fn(x)的性質(zhì),并且得到了比較完美的結(jié)果[7-10].對相協(xié)樣本情形,文獻(xiàn)[11-12]證明了Fn(x)幾乎處處收斂于F(x)的速度;文獻(xiàn)[12-13]獲得了Fn(x)的漸近正態(tài)性.

在單點(diǎn)情形下,可以利用分布函數(shù)核估計的漸近正態(tài)性構(gòu)造分布函數(shù)在某個點(diǎn)的置信區(qū)間,而將分布函數(shù)的核估計從單點(diǎn)估計推廣到r個點(diǎn)處的估計后,不僅可以構(gòu)造分布函數(shù)在r個點(diǎn)處的聯(lián)合置信域,而且還能構(gòu)造分布函數(shù)在任意兩點(diǎn)差的置信區(qū)間,從而擴(kuò)大了分布函數(shù)核估計的應(yīng)用范圍.

1 假設(shè)條件及主要結(jié)果

為證明本文的主要結(jié)果,首先給出如下假設(shè)條件:

(A1)1){Xn}n≥2是一實(shí)值平穩(wěn)的NA隨機(jī)變量序列,具有相同的分布函數(shù)F(x)和有界密度函數(shù)f(x);

2)X1,X2,…,Xn為負(fù)相協(xié)樣本;

4)若F1, j是關(guān)于X1和Xj+1的聯(lián)合分布函數(shù),則對所有的 j>1,u,v∈R,有

|F1, j(u,v)-F(u)F(v)|≤C;

5)f′有界.

(A2)K為一已知分布函數(shù),其密度函數(shù)K′存在且有上界B,B為常數(shù),且

本文的主要結(jié)論如下:

定理1 假設(shè)條件(A1),(A2)中1)，2)及(A3)滿足,F(x(1))

定理2 假設(shè)條件(A1),(A2)及(A3)滿足,則

其中,Vr同定理1.

2 引 理

為證明定理1,只需證明當(dāng)r=2時結(jié)論成立即可,同理可證r>2的情形.下證

(2)

令

(3)

式(3)中,

(4)

令

其中:Im={i : i=(m-1)(p+q)+1,…,(m-1)(p+q)+p};Jm={j : j=(m-1)(p+q)+p+1,…,m(p+q)};m=1,2,…,k,n=1,2,…,r;余塊為Il={l : k(p+q)+1≤l≤n}.再令

(5)

將證明

(6)

為證明上述結(jié)果,需要如下引理:

引理1[14]令{ηj}1≤j ≤n是NA隨機(jī)變量序列,Eηj=0,E|ηj|β<∞ (β>1),{aj}j≥1是一實(shí)值常數(shù)序列,則存在正常數(shù)C，C只與β有關(guān)，使得

引理2 設(shè)定理1的條件滿足,則

(8)

式 (8)和式(9)中,σ2(x(1),x(2))如式(4)所定義.

證明 由平穩(wěn)性知,

由文獻(xiàn)[15]引理3.1中1)的證明方法可證,

(10)

由文獻(xiàn)[15]引理 3.3中3)的證明方法知,

(11)

由式(11)知,

(12)

從而式(8)成立.由平穩(wěn)性知,

(13)

從而式(9)成立.引理2證畢.

引理3 設(shè)定理1的條件成立,則

證明 由引理1及假設(shè)條件(A1)～(A3)知,

故引理3成立.

3 定理的證明

定理 1的證明 由文獻(xiàn)[13]定理2.1的證明可得,

由Bulinski定理[16]及平穩(wěn)性知,

(14)

再次應(yīng)用平穩(wěn)性可得，

p|Cov(X1,X(p+q)+1)|+(p-1)|Cov(X1,X(p+q)+2)|+…+|Cov(X1,X(p+q)+p)|≤

p|Cov(X1,X2(p+q)+1)|+(p-1)|Cov(X1,X2(p+q)+2)|+…+|Cov(X1,X2(p+q)+p)|≤

…

p|Cov(X1,X(k-1)(p+q)+1)|+(p-1)|Cov(X1,X(k-1)(p+q)+2)|+…+|Cov(X1,X(k-1)(p+q)+p)|≤

因此,

(15)

故{ynm}為漸近獨(dú)立的隨機(jī)變量序列.令

因此,由林德貝格-費(fèi)勒中心極限定理知,

結(jié)合式(6)和引理 3知

故

當(dāng)r>2時同理可證.定理1證畢.

定理2的證明 因為

且將F(x)在x處二階泰勒展開得,

ξ位于x與x-uh之間,所以

令

故

因為

所以

故由Slusky引理[17]及定理1知,定理2成立.

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