● (玉門(mén)市第一中學(xué) 甘肅玉門(mén) 735211)

自2010年甘肅省實(shí)施新課程以來(lái),“條件概率”便進(jìn)入了高中數(shù)學(xué).4年來(lái),大部分?jǐn)?shù)學(xué)教師已講授過(guò)該內(nèi)容,也有一部分教師初次學(xué)習(xí)并講授“條件概率”等內(nèi)容.面對(duì)新的問(wèn)題,因缺少經(jīng)驗(yàn),在教學(xué)過(guò)程中他們像學(xué)生一樣容易犯種種錯(cuò)誤.為了有效應(yīng)對(duì)在“條件概率”教學(xué)中發(fā)生的各種困局,下文舉2個(gè)例子深度剖析原因,以饗讀者.

1 高考題目參考答案中的“·”

在高三集體備課會(huì)上,一個(gè)偶然的機(jī)會(huì),教師1提出了2012年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題的參考答案是錯(cuò)誤的.同時(shí),他對(duì)參考答案進(jìn)行了錯(cuò)誤分析,并給出了自己的解法.

1.1 題目及參考答案

例1某單位招聘面試,每次從試題庫(kù)隨機(jī)調(diào)用一道試題,若調(diào)用的是A類(lèi)型試題,則使用后,該試題回庫(kù),并增補(bǔ)一道A類(lèi)試題和一道B類(lèi)型試題入庫(kù),此次調(diào)題工作結(jié)束;若調(diào)用的是B類(lèi)型試題,則使用后該試題回庫(kù),此次調(diào)題工作結(jié)束.試題庫(kù)中現(xiàn)共有m+n道試題,其中有n道A類(lèi)型試題和m道B類(lèi)型試題,以X表示2次調(diào)題工作完成后,試題庫(kù)中A類(lèi)試題的數(shù)量.

(1)求X=n+2的概率;

(2)(略).

解(1)記“第i次調(diào)題調(diào)用到A類(lèi)試題”為事件Ai(i=1,2)，則

1.2 教師1對(duì)參考答案的分析及提供的解法

接著,教師1提供了自己的答案如下:

將調(diào)題工作按首次是否調(diào)用A類(lèi)試題分為2類(lèi):(1)若首次調(diào)用A類(lèi)試題,則第1次調(diào)題有n種方法,第2次調(diào)用試題有m+n+2種方法;(2)若首次調(diào)用B類(lèi)試題,則第1次調(diào)題有m種方法,第2次調(diào)用試題有m+n種方法,故2次調(diào)題工作,共有n(m+n+2)+n(m+n)種方法.當(dāng)X=n+2時(shí),調(diào)題方法數(shù)為n(n+1),依古典概率模型有

P(X=n+2)=P(A1A2)=

由上可知,高考試題所提供的答案是錯(cuò)誤的,原因是將X=n+2時(shí)的概率錯(cuò)誤地認(rèn)為P(A1)·P(A2),忽視了判斷事件A1與事件A2的相互獨(dú)立性(只有當(dāng)2個(gè)事件相互獨(dú)立且都發(fā)生時(shí),計(jì)算概率才用“·”).

1.3 對(duì)以上2種解法的深層剖析

初看教師1對(duì)參考答案的分析與提供的解答,合情合理,天衣無(wú)縫,令全體教師有口難辯.頓時(shí),時(shí)間像停止了一樣,但大家覺(jué)得高考答案不可能有誤,那問(wèn)題出在哪里呢?會(huì)后,經(jīng)筆者仔細(xì)分析,過(guò)程如下：

先討論教師1提供的“答案”,他將調(diào)題工作分為2類(lèi),首次調(diào)用A類(lèi)試題和首次調(diào)用B類(lèi)試題.依分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理共有n(m+n+2)+n(m+n)種方法,而滿(mǎn)足X=n+2的方法有n(n+1)種,由古典概率模型可得

在該過(guò)程中利用了“分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理”與“古典概率模型”這2個(gè)概念,為了清楚無(wú)誤地解說(shuō)過(guò)程,我們從概念出發(fā),從中剖析問(wèn)題的根源.

分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有2種不同方案：在第1種方案中有m種不同的方法;在第2種方案中有n種不同的方法,那么完成這件事共有m+n種不同的方法(2種不同方案中的方法數(shù)互不相同).

古典概率模型我們將具有以下2個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱(chēng)為古典概率模型：

(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè);

(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.

對(duì)于分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理,該教師做到了2種不同方案中的方法數(shù)互不相同,對(duì)于古典概率模型的特點(diǎn)(1)不言而喻.而對(duì)特點(diǎn)(2),本題共有n(m+n+2)+n(m+n)個(gè)基本事件,每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性是否相同呢?經(jīng)仔細(xì)研究,舉例如下:

記“第1次調(diào)用A類(lèi)試題”為事件A1,“第2次調(diào)用A類(lèi)試題”為事件A2,“第1次調(diào)用B類(lèi)試題”為事件B1,“第2次調(diào)用B類(lèi)試題”為事件B2,因?yàn)槭录嗀1與事件A2,事件B1與事件B2為條件關(guān)系,所以

P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=

P(B1B2)=P(B1)P(B2|B1)=

由此可見(jiàn),P(A1A2)≠P(B1B2),因此首次調(diào)用A類(lèi)試題和首次調(diào)用B類(lèi)試題所對(duì)的基本事件發(fā)生的可能性不相等,不滿(mǎn)足古典概率模型的基本概念.

再討論教師1對(duì)“參考答案”的分析,在參考答案中事件A1與事件A2不相互獨(dú)立,故P(A1A2)≠P(B1B2)成立,而事件A2是事件A1發(fā)生的條件下發(fā)生的,于是利用條件概率公式有

成立.

教師1沒(méi)有認(rèn)識(shí)到條件概率公式,誤以為是使用公式

通過(guò)以上分析，對(duì)于“·”的使用,我們有了更清楚的認(rèn)識(shí)：當(dāng)事件A,B相互獨(dú)立時(shí),

P(AB)=P(A)·P(B);

當(dāng)事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生時(shí),

P(AB)=P(A)·P(B|A).

2 課本例題解答過(guò)程中的“10”與“9”

同樣,在集體備課會(huì)上,教師2提到人教A版《數(shù)學(xué)選修2-3》第53頁(yè)：例2中的第(1)小題解答中“10”與“9”可能寫(xiě)反了.大家隨即展開(kāi)討論,現(xiàn)將過(guò)程整理如下：

2.1 例2及解

例2一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共有6位數(shù)字,每位數(shù)字都可以從0～9中任選1個(gè),某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢(qián)時(shí),忘記了密碼的最后1位數(shù)字,求:

(1)任意按最后一位數(shù)字,不超過(guò)2次就按對(duì)的概率;

(2)略.

2.2 教師2對(duì)例2的解的分析及質(zhì)疑

2.3 對(duì)以上質(zhì)疑的深層剖析

3 感悟

面對(duì)新增加的知識(shí)要提前做好培訓(xùn)工作.2011年和2012年暑假教育部組織專(zhuān)家輪流對(duì)甘肅省教師進(jìn)行了新課程培訓(xùn)工作,在教育教學(xué)理念等方面得到不斷提升,但在具體知識(shí)的細(xì)節(jié)方面,沒(méi)能得到細(xì)致指導(dǎo).作為學(xué)校單位,雖然在教研組集體研究學(xué)習(xí),也未能預(yù)防該類(lèi)問(wèn)題的發(fā)生.

當(dāng)然,在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中,應(yīng)提倡勤鉆細(xì)研,在面子前講真理.本文例子中2位教師都從大家不起眼的細(xì)節(jié)出發(fā),通過(guò)努力推敲,面子前講真理,敢于發(fā)表所想,才能給予大家研討的機(jī)會(huì),在研討中理解知識(shí),形成、建立和交流數(shù)學(xué)知識(shí),相互學(xué)習(xí),共同提升,改進(jìn)做法,才能提高教學(xué)成績(jī).

最簡(jiǎn)單的基本思考,最原始的錯(cuò)誤理解,也許是每個(gè)人學(xué)習(xí)過(guò)程中都需經(jīng)歷的,只要我們善于思考,從問(wèn)題的概念、原理等出發(fā)遵守規(guī)則進(jìn)行推理,搜集文本,挖掘資源,捕捉課堂中鮮活的事例,由點(diǎn)到面,由此及彼,豐富課堂教學(xué)內(nèi)容,提升課堂厚度.唯此,才能使自己的專(zhuān)業(yè)得到快速成長(zhǎng).