● (太湖高級中學(xué) 江蘇無錫 214125)

排列組合是離散數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分.排列組合的內(nèi)容豐富，具有一定的挑戰(zhàn)性，可培養(yǎng)學(xué)生猜想、概括等思維能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造力.筆者在日常教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解決相應(yīng)問題時(shí)，容易出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤.筆者記錄了與學(xué)生對話的4個(gè)片段，每個(gè)片段都以學(xué)生的提問開始，在對話的過程中，暴露學(xué)生的錯(cuò)誤，通過筆者的糾正和引導(dǎo)，最終使學(xué)生達(dá)到正確思考.

1 解題對話

片段1

問題14名司機(jī)和4名售票員，被分配到4輛不同路線的公交車上，每輛公交車有1名司機(jī)和1名售票員，有多少種不同的方案？

生：我的答案是4×4×4=64.先選1名司機(jī)，共4種選法；再選1名售票員，共4種選法；最后選1輛公交車，也是4種選法.故答案為64.

(該學(xué)生用樹狀圖把所有的情況羅列了出來.)

生:還有別的情況嗎？

師：我們不妨把4名司機(jī)分別記為a1,b1,c1,d1，售票員記為a2,b2,c2,d2，公交車記為a3,b3,c3,d3，而a1a2a3只是司機(jī)、售票員和公交車的一個(gè)配對，并不是4名司機(jī)、4名售票員被分配到4輛不同路線的公交車上的一種方案.

生：是的，沒理解題目的意思.那這個(gè)問題該怎么思考？

師：可將4輛不同的公交車看成4個(gè)不同的位置，現(xiàn)在要把4名司機(jī)放在這4個(gè)位置上，每個(gè)位置1個(gè)人，這是哪一類問題？

生：4個(gè)位置排4個(gè)人，排列問題.

師：那有多少種情況？

師：那將4名售票員放到4個(gè)不同的位置呢？

排列組合中的問題來源于日常生活，與生活、生產(chǎn)實(shí)踐密切相關(guān).如何根據(jù)情景將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題至關(guān)重要.片段1反映了學(xué)生在解決問題的過程中常常誤解文字表述、錯(cuò)誤理解情景.那么如何正確理解題目所給的情景呢？一是正確讀題，找出題目中的關(guān)鍵詞；二是復(fù)述題意，復(fù)述題意可反映學(xué)生對題目的理解程度，有利于提高學(xué)生的概括能力和數(shù)學(xué)語言的表述能力；三是采取某種方法模擬情景，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，利用具體的圖形、表格表示實(shí)際問題，用數(shù)學(xué)符號或數(shù)學(xué)表達(dá)式表示題目中的數(shù)量關(guān)系.

片段2

問題2將4封信投入3個(gè)不同的郵筒，有多少種投法？

生：老師，本題參考答案是34，而我認(rèn)為是43.

師：那你的理由是什么？

(學(xué)生先在草稿紙上畫3個(gè)方格表示郵筒.)

生：第1個(gè)郵筒可能有4封信放入，第2個(gè)郵筒也可能有4封信放入，第3個(gè)郵筒也可能有4封信放入,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,所有的投法應(yīng)為4×4×4=64種.

師：第1個(gè)郵筒可放入4封信，那你一旦放入1封信，第2個(gè)郵筒肯定沒有4封信可放.

生(陷入思考)：那第1個(gè)郵筒可能放0封信、1封信、2封信、3封信、4封信，共5種情況，第2個(gè)郵筒也有5種情況，第3個(gè)也一樣.由分步計(jì)數(shù)原理，知共53種放法.

師：按照你的說法，會(huì)出現(xiàn)每個(gè)郵筒都有3封信的情形，但總共才有4封信.

生：那該怎么想呢？

師：4封信投入3個(gè)郵筒，最終的結(jié)果是什么？

生：信在郵筒中.

師：對，信在郵筒中.第1封信有幾個(gè)去向？

生：3個(gè).

師：第2封信呢？

生：3個(gè)，第3、第4封信都是3個(gè)去向.

師：一次投1封，幾次能把信投完？

生：4次.

師：那也就是說，完成投信這件事有4步:第1步有3種方法，第2步也有3種方法，第3、第4步也各有3種方法.利用分步計(jì)數(shù)原理,共有34種不同的投法.

生：這樣啊，從結(jié)果看信的去向.

師：對，從結(jié)果看問題，比如5名學(xué)生報(bào)名參加4項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)1項(xiàng)，報(bào)名的方法有多少種？

生：結(jié)果是學(xué)生報(bào)上體育項(xiàng)目，第1個(gè)學(xué)生有4種報(bào)法，第2個(gè)學(xué)生有4種報(bào)法，……共計(jì)45種報(bào)名方法.

師：若5人爭奪4項(xiàng)體育比賽的冠軍，獲得冠軍的情況可能有多少種？

生：結(jié)果是4項(xiàng)比賽冠軍產(chǎn)生，第1個(gè)項(xiàng)目的冠軍可能是5人中的任何1個(gè)人，有5種可能，第2個(gè)項(xiàng)目也是這樣，……共有54種可能性.

師：這是一類重復(fù)排列問題，如果在同一個(gè)含n個(gè)元素的集合中依次進(jìn)行k次選取，而且選過的元素還可再選，則一共有nk種不同的選取方式，但是一定要弄清楚是從哪個(gè)集合中進(jìn)行重復(fù)選取.投信的例子可看作從集合{郵筒1，郵筒2，郵筒3}中重復(fù)選4次，5名學(xué)生報(bào)名的例子可看作從集合{項(xiàng)目1，項(xiàng)目2，項(xiàng)目3，項(xiàng)目4}中重復(fù)選5次.

排列組合計(jì)數(shù)問題有很多種，如排列問題、組合問題、重復(fù)排列問題、染色問題等等.學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中難免出現(xiàn)混淆，在解決問題時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)不顧具體問題的含義，亂套用公式，亂用策略.為了避免此類錯(cuò)誤，學(xué)生要理解公式或策略的來龍去脈，知道其適用范圍.

片段3

問題36本不同的書分給甲、乙、丙3個(gè)人，每人至少1本，有多少種不同的分法？

師：這里面有很多的重復(fù)，舉個(gè)例子：給6本不同的書編號，分別為1，2，3，4，5，6.從6本書中選3本給甲、乙、丙3個(gè)人，甲得到1，乙得到2，丙得到3；剩余3本書再分時(shí)，甲得到4，乙得到5，丙得到6；這樣甲得到的是1，4，乙得到的是2，5，丙得到的是3，6.利用你的方法，也會(huì)出現(xiàn)這樣一種情形，甲、乙、丙先分別得到4，5，6，再將剩余3本書分給3個(gè)人時(shí)，甲得到1，乙得到2，丙得到3.這樣2種操作是一個(gè)情形，就出現(xiàn)了重復(fù).

生：怎么思考才能做到不重復(fù)呢？

師：6本不同的書分給3個(gè)人，每人至少1本，先不管每個(gè)人具體分到什么書，從每個(gè)人得到書的數(shù)量上考慮，會(huì)出現(xiàn)哪些情況？

生：1本、1本、4本；1本、2本、3本；2本、2本、2本，共3種情況.

師：比如第1種情況，哪個(gè)人得到4本呢？

生：這3個(gè)人都有可能，不過可以先不考慮這種情況，先將書分3組，然后再分給3個(gè)人.

師：你說的對,那我們先分組，6本書分成3組：1本、1本、4本，如何分呢？

生：平均分組會(huì)出現(xiàn)次序.

師：對的，那再分給3個(gè)人呢？

師：另外2組也可類似計(jì)算，不妨試試.

師:那所有的情況呢？

生：全部加起來，即

片段4

問題46名學(xué)生排成一行照相，其中女生2名，男生4名，女生甲不排在最左端，女生乙不排在最右端，問共有多少種不同的排法？

生：對啊，確實(shí)遺漏1種情況.

師：這個(gè)問題可以這樣考慮：女生甲不能排在最左端，女生乙不能排在最右端，那就是說最左端和最右端都是特殊位置，甲、乙是特殊的人員.我們可以按某一個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)”進(jìn)行分類：甲在最右端，乙在最左端；甲在最右端，乙不在最右端；甲不在最右端，乙在最左端；甲不在最右端，乙不在最左端，共4類情況，且每一類情況之間沒有重復(fù).

片段3和片段4是學(xué)生在解決排列組合問題時(shí)常犯的錯(cuò)誤：重復(fù)或遺漏.如何才能有效地避免重復(fù)與遺漏的現(xiàn)象呢？文獻(xiàn)[1]中指出面對一些頭緒紛繁的計(jì)數(shù)問題，將該問題劃分為一類一類較為簡單的情況，分別計(jì)數(shù)，然后再求總和.而一類一類的劃分，沒有重復(fù)沒有遺漏，我們稱之為一個(gè)有效劃分.利用集合表示就是把集合B分成一些子集B1,B2,B3,…,Bk，使得

(1)B1∪B2∪B3∪…∪Bk=B；

(2)B1∩B2=φ,B2∩B3=φ,…,Bk-1∩Bk=φ.

也就是說不僅這些子集的并是B，而且這些子集之間兩兩互不相交.

正確分類可避免重復(fù)和遺漏.將復(fù)雜的情形簡單化，分為幾類，每類都便于計(jì)數(shù).此外，還有很多其他類型的錯(cuò)誤，如文獻(xiàn)[2]中指出：忽視排列順序、混淆對象、列舉不全、憑直覺回答、計(jì)算錯(cuò)誤、忘記公式、代錯(cuò)參數(shù)、畫錯(cuò)樹形圖、誤用組合數(shù)性質(zhì)等等.面對學(xué)生在學(xué)習(xí)排列組合出現(xiàn)的錯(cuò)誤，作為教師要思考平時(shí)的教學(xué)采取何種策略才能提高教學(xué)質(zhì)量，提升教學(xué)效果.

2 教學(xué)策略

2.1 原理概念作基石

2個(gè)基本計(jì)數(shù)原理是學(xué)習(xí)排列組合的基礎(chǔ)，學(xué)生在學(xué)習(xí)這2個(gè)原理時(shí)，教師必須利用大量的實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生理解這2個(gè)基本原理，用實(shí)例概括、歸納這2個(gè)原理，同時(shí)讓學(xué)生分清這2個(gè)基本原理的條件和結(jié)論，比較它們的異同.在排列和組合教學(xué)時(shí)，首先讓學(xué)生分清什么是排列問題、什么是組合問題，搞清排列和組合的區(qū)別與聯(lián)系；其次理解排列數(shù)和組合數(shù)的含義，能利用排列數(shù)、組合數(shù)結(jié)合這2個(gè)基本計(jì)數(shù)原理解決問題.

2.2 題型模式識別

筆者認(rèn)為，排列組合問題的情景很多，而情景是造成學(xué)生學(xué)習(xí)障礙的主要原因之一，能適當(dāng)總結(jié)一類問題及其解決方法，可有效地提高解決問題的能力.筆者結(jié)合文獻(xiàn)[3]對中學(xué)排列組合問題給出13種模式(見表1)，學(xué)習(xí)掌握這些模式可提高解決問題的能力，也可加深對排列組合概念的認(rèn)識.

表1 中學(xué)排列組合問題的13種模式

上述策略不是相互孤立的，而是互相為用的，有時(shí)解決某一問題需用上述的某2個(gè)策略，也有時(shí)需綜合利用多個(gè)策略才能解決問題.

2.3 數(shù)學(xué)思想領(lǐng)航

模式識別只是用一種方法解決一類問題，但問題很多，“死記”模式就把知識學(xué)“死”了.排列組合中問題雖多，但解決排列組合問題的一般思路是：(1)先組合，再排列；(2)先分類，再分步；(3)先特殊，再一般.深刻理解基本概念與原理，靈活利用解題模式、數(shù)學(xué)思想，從而將待解決問題轉(zhuǎn)化為已有模式，利用已知求解未知.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 蘇淳.同中學(xué)生談排列組合[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2011.

[2] 黃興豐,李士锜.從符號學(xué)的視角分析學(xué)生解排列組合題的錯(cuò)誤[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008，17(4):33-35.

[3] 王凱.例談排列組合問題的常用解法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2014(3)：92-94.