楊劉洋， 呂 翔

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

光碼分多址(OCDMA:optical code division multiple access)具有異步、寬帶、安全可靠和即時接入等優(yōu)點,將成為未來高速局域網(wǎng)和接入網(wǎng)的優(yōu)選方案之一.光正交碼(OOC: optical orthogonal code)是為光碼分多址系統(tǒng)設(shè)計的一種專用碼,其構(gòu)造方法的研究不斷涌現(xiàn)[1-17].一維OOC的研究始于1989年[1],關(guān)于一維OOC的存在性問題和構(gòu)造方法已有很多研究結(jié)果[1-4].目前,二維OOC的構(gòu)造也已成為研究熱點[5-17].二維OOC是在一維光地址碼的基礎(chǔ)之上,通過擴(kuò)展波長信道而得到的.根據(jù)時間擴(kuò)頻序列和波長擴(kuò)頻序列的不同,可以構(gòu)造多種二維OOC,已知主要的有素數(shù)碼(PC:prime code)/PC[5]、PC/擴(kuò)展二次同余碼(EQCC:extended quadratic congruence codes)[6]、OOC/PC[7]、PC/OOC[8]、一次重合跳頻碼(OCFHC:one-coincidence frequency-hopping)/OOC[9]等.這些二維OOC的構(gòu)造都需要以素數(shù)為基礎(chǔ),而本文提出的基于兩兩正交拉丁方(MOLS:mutually orthogonal latin squares)組構(gòu)造的二維OOC突破了素數(shù)冪的限制.

對于正交拉丁方(OLS:orthogonal latin squares)的研究也已經(jīng)取得了一定的成果[18].對于不同階數(shù)的拉丁方,MOLS數(shù)目也不相同. Bose,Shrikhande和Parker已經(jīng)證明對于2階和6階不存在OLS[19].已知素數(shù)冪階存在MOLS完備組,而其他階數(shù)(除了2和6階外)至少存在一對OLS[19],但沒有統(tǒng)一的構(gòu)造方法.

在本文中,首先為了解決MOLS的構(gòu)造問題,提出了一種新的非素數(shù)冪中奇數(shù)階MOLS的構(gòu)造方法；然后,以MOLS序列作為波長跳頻序列,以一維OOC作為時間擴(kuò)頻序列,構(gòu)造了一種新的二維OOC,即MOLS/OOC.根據(jù)拉丁方的階數(shù)不同分為2種情況:1)對于素數(shù)冪階數(shù),用MOLS完備組作為二維OOC的波長跳頻序列;2)對于非素數(shù)冪中的奇數(shù)階,以MOLS較大數(shù)目組作為二維OOC的波長跳頻序列.最后,對構(gòu)造的MOLS/OOC的性能進(jìn)行了仿真.與PC/OOC相比, MOLS/OOC的波長數(shù)與文獻(xiàn)[13-14]相似,并不局限于素數(shù)冪,充分利用了光碼分多址系統(tǒng)(MWOCDMA:mult-wave-length optical code division multiple access)中的有效波長數(shù),而且改善了多波長光碼分多址系統(tǒng)的誤碼率.理論分析表明碼字容量逼近理論極限,為漸近最優(yōu)二維OOC.

1 相關(guān)定義和引理

定義1設(shè)S為一個n元集{0,1,2,…,n-1},A為S上的一個n×n的方陣A(aij),(0≤i,j≤n-1).若使得A的每行、每列中各元素aij當(dāng)且僅當(dāng)出現(xiàn)一次,則稱A為S上的一個n階拉丁方.

定義2設(shè)S為一個n元集,A與B為S上2個n階拉丁方,并令C=A×B為S上的n階并置方陣.若方陣C的n×n個元素數(shù)對互不相同,則稱拉丁方A與B為一對n階兩兩正交拉丁方(MOLS).拉丁方A,B和并置方陣C分別為

A=(aij),

B=(bij),C=(aij,bij),0≤i,j≤n-1.

定義3將n-1個n階MOLS叫作一個n階正交拉丁方完備組.

引理1[20]令n為一個正整數(shù),且A1,A2,…,Ak是k個n階MOLS,則k≤n-1.即n階MOLS的最大個數(shù)是n-1.

引理2[21]令n=pe為一個正整數(shù),p是素數(shù),e是大于等于1的正整數(shù),則存在n-1個n階MOLS.

引理3[20]令n為一個正整數(shù),r為S中的非零整數(shù),使得(r,n)=1.并令A(yù)為n×n的方陣,第i行j列上的元素為

aij=r×i+j(modn).

(1)

式(1)中,0≤i,j≤n-1.則A為基于S上的n階拉丁方.

2 不同階數(shù)MOLS的構(gòu)造

已知2階和6階的特殊情況,在組合數(shù)學(xué)中已經(jīng)被證明不存在MOLS.由引理2和定義3可知,素數(shù)冪的階數(shù)存在并且可以構(gòu)造出MOLS完備組.對非素數(shù)冪的階數(shù)是否存在MOLS完備組,雖然是世界上目前未能解決的難題之一,但是可以通過一些方法構(gòu)造出較大數(shù)目的MOLS.本文的構(gòu)造方法主要基于以下新提出的定理.

定理1令n為一個奇正整數(shù),r和s為S中不同的2個非零整數(shù),使得(r,n)=1,(s,n)=1.若A和B均為n×n的方陣,其i行j列上的元素分別為:

aij=r×i+j(modn);

(2)

bij= s×i+j(modn).

(3)

式(2)～式(3)中,0≤i,j≤n-1.則A和B為基于S上的一對n階正交拉丁方.

證明 由引理3可知,A和B都是n階拉丁方.設(shè)在并置方陣A×B中某個序?qū)?x,y)出現(xiàn)2次,假設(shè)出現(xiàn)在第i行j列上和在第k行h列上.再由式(1)～式(3)可得:

r×i+j=r×k+h=x;

(4)

s×i+j= r×k+h=y.

(5)

再將以上方程改寫為:

r×(i-k)=h-j;

(6)

s×(i-k)=h-j.

(7)

從而可以得到

r×(i-k)=s×(i-k).

(8)

設(shè)i≠k表示不在同一行,則i-k≠0,再由(r,n)=1和(s,n)=1可知,r和s存在乘法逆元.再用(i-k)-1乘以式(8)兩邊,從而消去i-k,可以得出矛盾:r=s.因此,必然有i=k.將其代入式(4)中可以得到j(luò)=h.由此可以推出在并置方陣A×B中每個序?qū)?x,y)都只會出現(xiàn)一次,同時也說明A和B正交.證畢.

對于素數(shù)冪階的MOLS完備組構(gòu)造,最常用且最有效的方法是用GF(pe)域[21]構(gòu)造.然而,對于所有大于2的素數(shù)階,既可以使用GF(pe)域構(gòu)造也可以使用定理1進(jìn)行構(gòu)造MOLS完備組.對于非素數(shù)冪中的奇數(shù)階,既可以使用“張量積”法[20]構(gòu)造,也可以使用定理1進(jìn)行構(gòu)造MOLS,而且能夠構(gòu)造的MOLS數(shù)量等于歐拉函數(shù)φ(n)[22].φ(n)是比n小且與n互素的正整數(shù)的總數(shù)目.對于非素數(shù)冪中除去素數(shù)的2倍以外的情況,MOLS的構(gòu)造既可以使用“張量積”法,也可以使用其他方法.對于素數(shù)的2倍情況，MOLS的構(gòu)造不能使用“張量積”法,需要使用其他方法進(jìn)行構(gòu)造,比如“差方”法[23].根據(jù)現(xiàn)有文獻(xiàn),將已知能夠構(gòu)造出MOLS的最大數(shù)目(60階以內(nèi))列出,如圖1所示.

使用定理1與用“張量積”法和“差方”法構(gòu)造MOLS的具體數(shù)目對比,如表1.

由圖1和表1可以很清楚地看出,對于非素數(shù)冪階數(shù)構(gòu)造MOLS,定理1的方法很明顯優(yōu)于“張量積”法和“差方”法.

圖1 采用4種不同方法構(gòu)造的MOLS數(shù)目對比

方法名可以構(gòu)造的階數(shù)構(gòu)造的MOLS數(shù)目差方法10,14,22,26,34,38,46,582,4,3,3,3,3,4,5張量積12,15,20,21,24,28,30,3335,36,39,40,42,45,48,5051,52,54,552,2,3,2,2,3,2,24,2,2,4,2,4,2,42,2,2,4定理115,21,33,35,39,45,51,558,12,20,24,24,24,32,40

3 基于MOLS構(gòu)造二維光正交碼

一維OOC的構(gòu)造方法參考文獻(xiàn)[17],其參數(shù)為(L,w,λa,λc),參數(shù)中L表示碼長,w表示碼重,λa表示自相關(guān)限,λc表示互相關(guān)限.對于滿足參數(shù)(L,w,1，1)的OOC,其碼字容量應(yīng)滿足

(9)

二維OOC可以用m×n矩陣C來表示.其中m表示矩陣的行數(shù)(與可用波長數(shù)有關(guān)),n表示矩陣的列數(shù)(稱碼長,即時間切普數(shù)),其參數(shù)為(m×n,w,λa,λc).對于二維OOC中的任意2個碼字X,Y∈C(X≠Y)在時延τ下應(yīng)滿足的相關(guān)限制為:

(10)

(11)

式(10)～式(11)中:xi,j和yi,j分別為X和Y在第i行j列元素;⊕表示模加.

3.1 用MOLS完備組構(gòu)造二維OOC

對于素數(shù)冪,MOLS波長跳頻序列的構(gòu)造方法如下所述.

設(shè)拉丁方的階數(shù)為N=pe.

(12)

Hf(0≤f≤N×(N-1)-1).

由以上方法得到MOLS的波長跳頻序列組參數(shù)用(N,w,λa,λc)表示,N為有效波長數(shù),w=N為碼重,λa=0,在同步時λc≤1,依此方法所得MOLS波長跳頻序列數(shù)的碼字容量為N×(N-1).

例如,選擇5階MOLS,即N=5時有5個有效波長(用0,1,2,3,4表示),根據(jù)以上方法可以構(gòu)造出20個MOLS波長跳頻序列,如表2所示.

表2 N=5時(5,5,0,3)的MOLS波長跳頻序列組

表3 (5,5,0,3)MOLS/(7,3,1,1)OOC的碼字集C

圖2 碼字集C1中碼字(λ0λ10λ3000)的自相關(guān)函數(shù)

圖3 碼字集C1中碼字(λ0λ10λ3000)和碼字(λ1λ0λ3000)的互相關(guān)函數(shù)

選用(L,w,λa,λc)OOC作為時間擴(kuò)頻序列,并用(N,w,λa,λc)MOLS作為波長跳頻序列,即可構(gòu)成一種新的二維OOC.由于MOLS波長跳頻序列的碼重為N,因此,OOC的碼重w不能超過N.例如當(dāng)N=5時,OOC為(7,3,1,1)的一個碼字為C∶1101000.由于N=5,構(gòu)造的MOLS波長跳頻序列有20個,則總共可以產(chǎn)生20個二維OOC,見表3中的碼字集C1.將OOC碼字中的所有“1”脈沖代之以相同的波長,可以得到Φooc×N的MOLS/OOC碼字,如表3中的碼字集C2.對碼字集C1中的部分二維碼字,根據(jù)式(10)～式(11)對其自相關(guān)限和互相關(guān)限分別進(jìn)行了仿真,如圖2和圖3.一般情況下,對于給定的(L,w,1,1)OOC和給定的(N,w,λa,λc)MOLS,構(gòu)成的MOLS/OOC的碼字容量為N×N×Φooc.從此可以看出,根據(jù)需要可以單獨選擇MOLS和OOC.

3.2 用MOLS較大組構(gòu)造二維OOC

對于非素數(shù)冪階MOLS的構(gòu)造方法有多種,比如“張量積”法、“差方”法、定理1構(gòu)造法等.本節(jié)將用定理1來構(gòu)造MOLS波長跳頻序列,其構(gòu)造方法如下所述.

(13)

φ(N)=N×(1-1/p1) (1-1/p2)…

(1-1/pk).

(14)

Hf(0≤f≤φ(N)×N-1).

由以上方法得到的MOLS波長跳頻序列組參數(shù)用(N,w,λa,λc)表示,其中有效波長數(shù)為N,碼重為w=N,自相關(guān)限為λa=0,在同步時互相關(guān)限λc≤1,依此方法所得MOLS波長跳頻序列數(shù),即碼字容量為φ(N)×N.

例如,選擇15階MOLS,即N=15時有15個有效波長(用1,…,15表示).由于φ(15)=8,所以根據(jù)以上方法可以構(gòu)造出120個長度為N的波長跳頻序列.限于篇幅,在此只給出前8個序列,如表4.選用 (L,w,λa,λc)OOC作為時間擴(kuò)頻序列,并用N階MOLS構(gòu)造的(N,w,λa,λc)MOLS序列作為波長跳頻序列,構(gòu)造二維OOC.由于MOLS波長跳頻序列的碼重為N,因此,OOC的碼重w不能超過N.例如當(dāng)N=15時,OOC為(7,3,1,1)的一個碼字為C∶1101000.由于N=15,構(gòu)造的MOLS波長跳頻序列有120個,故總共可以產(chǎn)生120個二維OOC碼字.限于篇幅,在此只給出前16個和后8個碼字,見表5中的碼字集C1.將OOC碼字中的所有“1”脈沖代之以相同的波長,可以得到ΦOOC×N的二維MOLS/OOC碼字,如表5中的碼字集C2.對碼字集C1中的部分二維碼字,根據(jù)式(10)～式(11)對其自相關(guān)限和互相關(guān)限分別進(jìn)行了仿真,結(jié)果見圖4～圖5.一般情況下,對于給定的(L,w,1,1)OOC和(N,w,λa,λc)MOLS,且w≤N,構(gòu)造的MOLS/OOC碼字容量為

N×(1+φ(N))×ΦOOC.

定理2基于GF(pe)域和定理1構(gòu)造的MOLS中,任意2個列序列在同步時的重復(fù)個數(shù)不大于1.

證明 從基于GF(pe)域和定理1構(gòu)造的所有MOLS中任取兩個列序列H1和H2.

1)當(dāng)H1和H2取自同一個拉丁方時

根據(jù)定義1可知,拉丁方的每行、每列中各元素aij當(dāng)且僅當(dāng)出現(xiàn)一次,說明一個拉丁方中行與行之間、列與列之間各個元素都不重復(fù).同時說明,在同步時一個拉丁方的所有列序列中任意2個序列的重復(fù)個數(shù)為0.

表4 N=15時(15,15,0,15)的MOLS波長跳頻序列組

表5 (15,15,0,15)MOLS/(7,3,1,1)OOC的碼字集C

圖4 碼字集C1中碼字(λ0λ20λ4000)的自相關(guān)函數(shù)

圖5 碼字集C1中碼字(λ0λ20λ4000)和碼字(λ0λ40 λ8000)的互相關(guān)函數(shù)

2)當(dāng)H1和H2取自不同的拉丁方時

假設(shè)H1和H2中分別有2個元素出現(xiàn)重復(fù),分別為x,y.由于H1和H2取自不同的拉丁方,所以根據(jù)式(12)可得:

(15)

(16)

①若ai=0,則

(17)

(18)

由于x和y分別在同一列不同行,所以x和y不會出現(xiàn)2次,x和y中只有一個出現(xiàn)重復(fù).

②若ai≠0,則

(19)

因此,H1和H2中元素的重復(fù)個數(shù)不大于1.同時說明,在同步時H1和H2序列的重復(fù)個數(shù)不大于1.

綜上所述,在同步時H1和H2的重復(fù)個數(shù)不大于1.以上定理2得證.證畢.

4 二維MOLS/OOC碼的性能分析

由于MOLS波長跳頻序列的自相關(guān)限為0,所以C1中每個碼字的自相關(guān)限也是0.盡管C2的每個碼字中1脈沖的波長相同,但由于采用的是(L,w,1,1)OOC,自相關(guān)旁瓣最大值為1，因此,構(gòu)造MOLS/OOC碼字的自相關(guān)限也為1.對于互相關(guān)限，應(yīng)考慮以下幾種情況:

1)相同的時間擴(kuò)頻序列/不同波長跳頻序列.由于OOC的自相關(guān)限為1,并且由定理2可知,MOLS波長跳頻序列的互相關(guān)在同步時不大于1,所以MOLS/OOC碼字的互相關(guān)限為1.

2)不同的時間擴(kuò)頻序列/相同的波長跳頻序列.由于OOC的互相關(guān)限為1,因此,MOLS/OOC碼字的互相關(guān)限為1.

3)不同的時間擴(kuò)頻序列/不同的波長跳頻序列.同樣由于OOC的互相關(guān)限為1,因此,MOLS/OOC碼字的互相關(guān)限為1.因此,①當(dāng)N為素數(shù)冪時,二維MOLS/OOC碼字的參數(shù)為(N×L,w,1,1),碼字容量為N×N×ΦOOC;②當(dāng)N為非素數(shù)冪時,MOLS/OOC碼的參數(shù)為(N×L,w,1,1),并且碼字容量為N×(1+φ(N))× ΦOOC.

下面具體分析MOLS/OOC碼字的互相關(guān)均值,先讓任意一個碼字A的時間平移L次,統(tǒng)計該碼字與其余N×(1+φ(N))×ΦOOC-1個碼字在時間和波長上都重合的“1”的個數(shù)(碰撞數(shù)),然后計算互相關(guān)均值.分以下幾種情況進(jìn)行介紹.

1)與A具有相同的時間擴(kuò)頻序列,但波長跳頻序列不同.總共有N×(1+φ(N))-1個不同的波長跳頻序列,對應(yīng)的不同碼字?jǐn)?shù)為N×(1+φ(N))-1個.分以下2種情況：①階數(shù)為素數(shù)冪時,共有N×N-1個碼字,有N×w2-w次碰撞；②階數(shù)為非素數(shù)冪時,共有N×(1+φ(N))-1個碼字,有φ(N)+3w-3次碰撞.

2)與A具有不同的時間擴(kuò)頻序列,但有相同的波長跳頻序列.總共有φOOC-1個不同的碼字,所以共有(ΦOOC-1)w個碰撞.

3)與碼字A具有不同的時間擴(kuò)頻序列,而且波長跳頻序列也不同.總共有Φ(OOC-1)(N×(1+φ(N))-1)不同的碼字,與1)的分析類似，分為2種情況:①階數(shù)為素數(shù)冪時,共有(ΦOOC-1)(N×w2-w)個碰撞；②階數(shù)為非素數(shù)冪時,共有(ΦOOC-1)(φ(N)+3w-3)個碰撞.

因此,任意一個碼字A水平移L次,與其余N×(1+φ(N))×ΦOOC-1個碼字發(fā)生碰撞的總次數(shù)為:

1)階數(shù)為素數(shù)冪時,

Y1=N×w2-w+ (ΦOOC-1)w+

(ΦOOC-1) (N×w2-w)=

N×ΦOOC×w2-w.

(20)

2)階數(shù)為非素數(shù)冪時,

Y2=φ(N)+3w-3+(ΦOOC-1)w+

(ΦOOC-1) (φ(N)+3w-3)=

ΦOOC(4w+φ(N)-3)-w.

(21)

考慮到用戶等概率地發(fā)送數(shù)據(jù)比特“0”和“1”, 則MOLS/OOC碼字的互相關(guān)均值為:

(22)

(23)

假設(shè)多波長光碼分多址系統(tǒng)中有K個并發(fā)用戶數(shù),則采用MOLS/OOC碼字的多波長碼分多址系統(tǒng)的誤比特率[17]為

(24)

在此處筆者只考慮用戶多址干擾的影響,忽略光電探測過程中的熱噪聲和散彈噪聲,判決門限取MOLS/OOC的碼重Th=w.下面針對多波長光碼分多址系統(tǒng)中不同碼字參數(shù)的MOLS/OOC碼字分2種情況進(jìn)行討論.

1)給定(N,w,λa,λc)MOLS跳波長序列,給定(L,w,1,1)OOC擴(kuò)時序列的碼重w,增加OOC的碼長L.根據(jù)式(17)～式(18),MOLS/OOC的碼字互相關(guān)均值u1和u2都降低.因此,在相同并發(fā)用戶數(shù)的情況下,多波長光碼分多址系統(tǒng)的誤碼率(BER)也降低.例如,波長跳頻序列MOLS為(5,5,0,3),擴(kuò)時序列OOC分別為(7,3,1,1)和(11,3,1,1),這兩種情況下的MOLS/OOC的碼字容量都為25.多波長光碼分多址系統(tǒng)的誤碼率與并發(fā)用戶數(shù)的關(guān)系如圖6所示.OOC的碼長越長,多波長光碼分多址系統(tǒng)的誤碼率就越低.

2)給定(L,w,1,1)OOC擴(kuò)時序列,由于(N,w, λa,λc)MOLS跳波長序列的碼長和波長數(shù)相同,都為N,所以當(dāng)增加波長數(shù)N時,MOLS/OOC的碼字容量增加.根據(jù)式(17)～式(18)，MOLS/OOC的碼字互相關(guān)均值u1和u2都降低.因此,多波長光碼分多址系統(tǒng)的誤碼率也降低.例如,擴(kuò)時序列OOC參數(shù)為(7,3,1,1),波長跳頻序列MOLS分別為(15,15,0,15)和(21,21,0,21),在這兩種情況下MOLS/OOC的碼字容量分別為135和273. 多波長光碼分多址系統(tǒng)的誤碼率與并發(fā)用戶數(shù)的關(guān)系如圖7所示.

圖7 不同波長數(shù)時多波長光碼分多址系統(tǒng)誤碼率與并發(fā)用戶數(shù)的關(guān)系

圖6 不同碼長時多波長光碼分多址系統(tǒng)誤碼率與并發(fā)用戶數(shù)的關(guān)系

MOLS跳波長序列的波長數(shù)越多,多波長光碼分多址系統(tǒng)的誤碼率就越低.

由文獻(xiàn)[17]可知,等重對稱二維OCDMA碼的理論上界為

Φ(m×n,w,λ,λ)≤

(25)

由此可得

(m×n,w,λ,λ)=(N×nOOC,w,1,1)

碼的理論上界為

ΦMOLS/OOC≤Φ(N×nOOC,w,1,1)≤

(26)

其中,nOOC=w(w-1)ΦOOC+1.

當(dāng)w較大時,二維MOLS/OOC碼的實際碼字容量N×(φ(N)+1)×ΦOOC,與式(26)的理論上界很接近,所以文中構(gòu)造的MOLS/OOC碼為漸近最優(yōu)二維OOC.

5 結(jié) 論

通過以上的構(gòu)造實例和仿真性能分析可以得到如下結(jié)論.

首先本文提出的非素數(shù)冪中奇數(shù)階MOLS組的構(gòu)造方法與其他方法相比具有構(gòu)造的MOLS數(shù)目更大的優(yōu)點.然后,本文提出的基于MOLS和OOC構(gòu)造的MOLS/OOC與文獻(xiàn)[7-8]中的PC/OOC對比,前者的波長數(shù)與文獻(xiàn)[13-14]等中的波長數(shù)相似,并不局限于素數(shù)冪.最后,仿真結(jié)果表明當(dāng)MOLS/OOC碼字的其他參數(shù)相同時,碼長越長誤碼率越低,或者有效波長數(shù)越多誤碼率越低.理論分析表明,MOLS/OOC的碼字容量逼近理論極限,為漸近最優(yōu)二維OOC.

在將來進(jìn)一步的工作中,如果對于非素數(shù)冪的階數(shù)能夠構(gòu)造出MOLS完備組,將具有更多數(shù)目的MOLS,則用本文提出的二維OOC的構(gòu)造方法可以構(gòu)造的碼字容量將更大.當(dāng)然也可以與其他的擴(kuò)時序列結(jié)合,構(gòu)造更多新的二維OOC.

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