朱俊俏, 卜月華

(浙江師范大學(xué) 行知學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

圖論在自然科學(xué)和應(yīng)用科學(xué)中都起著重要的作用,如網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、信息科學(xué)、密碼學(xué)、DNA基因譜的確定和計(jì)數(shù)、工業(yè)生產(chǎn)和企業(yè)管理中的優(yōu)化方法等都廣泛地應(yīng)用了圖論及其算法[1].圖的染色理論是圖論研究的熱點(diǎn)問題,它起源于四色定理,之后許多學(xué)者研究了列表染色、均勻染色[2-4]、強(qiáng)鄰邊染色[5-6],其中點(diǎn)可區(qū)別全染色[7]、點(diǎn)可區(qū)別邊染色[8-9]或點(diǎn)可區(qū)別均勻邊染色[10-11]等帶有限制條件的染色，是一類較難研究的問題.文獻(xiàn)[10]解決了一些路、圈聯(lián)圖的點(diǎn)可區(qū)別邊染色;文獻(xiàn)[11]給出了星、扇、輪、完全二部圖等特殊圖類的點(diǎn)可區(qū)別均勻邊色數(shù).本文得到了星、扇、輪的聯(lián)圖的點(diǎn)可區(qū)別均勻邊色數(shù).

定義1[1]對(duì)簡單圖G和正整數(shù)k,若存在映射f:E(G)→{1, 2,…,k},滿足任意相鄰的2條邊e,e′, 有f(e)≠f(e′),則稱f為G的一個(gè)k-正常邊染色,并記χ′(G)=min{k|G的k-正常邊染色}為G的邊色數(shù).

猜想2[10-11]對(duì)于|V(G)|≥3的簡單連通圖G,有

猜想2中1)的左端是顯然的.設(shè)Sn,Fn,Wn分別是n+1階的星、扇、輪圖,本文得到了Sn∨Sn,Fn∨Fn,Wn∨Wn的點(diǎn)可區(qū)別均勻邊色數(shù).文中未加說明的術(shù)語請(qǐng)參考文獻(xiàn)[10].

1 主要結(jié)果

在下面的一些運(yùn)算中,若其結(jié)果大于2n+2,則取模2n+2.

1)若n=1,S1∨S1=K4,則由文獻(xiàn)[1]知結(jié)論為真.

2)若n=2,S2∨S2=P3∨P3,則由文獻(xiàn)[10]知結(jié)論為真.

①n≡0(mod 2).定義f為:

對(duì)f,有:

從而Sn∨Sn中任意2個(gè)頂點(diǎn)有不同的色集,故f是Sn∨Sn的一個(gè)(2n+2)-VDEC.又

故f是Sn∨Sn的一個(gè)(2n+2)-VDEEC.

②n≡1(mod 2).當(dāng)n=5時(shí),f的定義如表1所示.此時(shí)易知f是一個(gè)12-正常邊染色,且S5∨S5中任意2個(gè)頂點(diǎn)有不同的色集,故f是S5∨S5的一個(gè)12-VDEC.對(duì)|Ei|,當(dāng)i∈{6,8}時(shí),|Ei|=3;當(dāng)i?{6,8}時(shí),|Ei|=4.故f是S5∨S5的一個(gè)12-VDEEC.

表1 S5∨S5的一個(gè)12-VDEEC

當(dāng)n≥7時(shí),f定義為:

此時(shí)對(duì)f,有:

表2 S4∨S4的一個(gè)10-VDEEC

1)若n=1,F1∨F1=K4,則由文獻(xiàn)[1]知結(jié)論為真.

2)若n=2,F2∨F2=C3∨C3,則由文獻(xiàn)[8]知結(jié)論為真.

①n≡0(mod2).當(dāng)n=4時(shí),定義f如表2所示.

從而Fn∨Fn中任意2個(gè)頂點(diǎn)有不同的色集,故f是Fn∨Fn的一個(gè)(2n+2)-VDEC.又

故f是Fn∨Fn的一個(gè)(2n+2)-VDEEC.

當(dāng)n≥7時(shí),定義f為:

其余邊所染的顏色同定理1中的②.對(duì)f,有:

從而Fn∨Fn中任意2個(gè)頂點(diǎn)有不同的色集,故f是Fn∨Fn的一個(gè)(2n+2)-VDEC.又

故f是Fn∨Fn的一個(gè)(2n+2)-VDEEC.定理2證畢.

表3 S4∨S4的一個(gè)10-VDEEC

1)若n=1,W1∨W1=K4,則由文獻(xiàn)[1]知結(jié)論為真.

2)若n=2,W2∨W2=C3∨C3,則由文獻(xiàn)[8]知結(jié)論為真.

故f是Wn∨Wn的一個(gè)(2n+2)-VDEEC.

其余的點(diǎn)所染的色集同定理2中的②.從而Wn∨Wn中任意2個(gè)頂點(diǎn)有不同的色集,故f是Wn∨Wn的一個(gè)(2n+2)-VDEC.又

故f是Wn∨Wn的一個(gè)(2n+2)-VDEEC.定理3證畢.

參考文獻(xiàn)：

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