李明忠,陳會娟,張賢松,李衛(wèi)東,孫曉飛,孫仁遠(yuǎn)

(1.中國石油大學(xué)石油工程學(xué)院,山東青島266580；2.海洋石油高效開發(fā)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100027；3.中海油研究總院,北京100027；4.延長油田股份有限公司定邊采油廠,陜西定邊718600)

多分支水平井以其獨(dú)特的優(yōu)勢在煤層氣開采中得到廣泛應(yīng)用，并獲得了較好的經(jīng)濟(jì)效益[1-3]。在其生產(chǎn)時，除井筒內(nèi)流體沿水平井筒從趾端向跟端流動外，還有地層流體向井筒的徑向流及分支流體向主支的匯合流動，因此水平井筒內(nèi)流體流動為變質(zhì)量流，不能忽略井筒壓降對其生產(chǎn)動態(tài)的影響[4-8]。國外學(xué)者基于煤層氣直井建立了描述煤層氣滲流的吸附-擴(kuò)散模型、組分模型和黑油模型[9]，在此基礎(chǔ)上國內(nèi)研究者[10-12]對煤層氣多分支水平井進(jìn)行了研究，但研究中忽略了多分支水平井主支和分支混合引起的壓降。筆者運(yùn)用流體力學(xué)相關(guān)理論，結(jié)合質(zhì)量守恒和動量守恒方程，建立考慮多分支水平井井筒內(nèi)摩擦壓降、加速度壓降和混合壓降的井筒壓降模型，并將其與煤儲層滲流模型進(jìn)行耦合，研究煤層氣多分支水平井主井筒及分支井筒的井筒壓力及入流量分布規(guī)律。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 基本假設(shè)

①煤層是由基質(zhì)微孔隙和裂隙組成的雙重孔隙介質(zhì)，具有非均質(zhì)和各向異性；②煤層裂隙在原始狀態(tài)下100%飽和水，不含游離氣和溶解氣；③煤基質(zhì)孔徑很小，水不能進(jìn)入，只含氣，氣體以吸附狀態(tài)儲集在煤基質(zhì)內(nèi)表面；④氣體在煤基質(zhì)內(nèi)表面的吸附服從Langmuir等溫吸附定律，其擴(kuò)散為非平衡擬穩(wěn)態(tài)過程，服從Fick第一定律；⑤氣體和水在裂隙系統(tǒng)中的流動服從達(dá)西定律，考慮重力和毛管力的作用。

1.2 裂縫系統(tǒng)中氣、水兩相流動方程

根據(jù)運(yùn)動方程、連續(xù)性方程以及真實(shí)氣體狀態(tài)方程，得到裂縫系統(tǒng)中氣相和水相流動方程[13]為

式中，下角g和w分別代表氣相和水相；k為儲層滲透率，10-3μm2；Krg和Krw分別為氣相和水相相對滲透率；μ為黏度，mPa·s；B為體積系數(shù)；p為壓力，MPa；ρ為密度，kg/m3；g為重力加速度；D為標(biāo)高，m；Df為裂縫系統(tǒng)中氣體擴(kuò)散系數(shù)，m2/d；qmv為地面標(biāo)準(zhǔn)狀況下，單位體積儲層的煤層氣經(jīng)解吸擴(kuò)散到裂縫中的體積流量，m3/(m3·d)；qgv和qwv分別為單位體積儲層的日產(chǎn)氣量和日產(chǎn)水量，m3/m3；t為時間，d；S為飽和度；φf為裂縫系統(tǒng)孔隙度。

為了求解方程(1)和(2)，給定如下輔助方程：

式中，pcgw(Sg)為氣水兩相毛細(xì)管壓力，MPa。

1.3 基質(zhì)系統(tǒng)中氣相解吸擴(kuò)散方程

煤層氣從基質(zhì)向裂縫系統(tǒng)的擴(kuò)散遵循Fick第一定律，認(rèn)為煤層氣的解吸速度與基質(zhì)內(nèi)表面氣體濃度和基質(zhì)中氣體平均濃度的差成正比，即

式中，Vm為基質(zhì)單元內(nèi)氣體的平均濃度，m3/kg；Dm為煤基質(zhì)的氣體擴(kuò)散系數(shù)，m2/d；σ為基質(zhì)單元形狀因子；ρc為煤巖密度，kg/m3；VL為Langmuir體積常數(shù)，m3/t；PL為Langmuir壓力常數(shù)，MPa。

1.4 孔隙度和滲透率的壓力敏感性模型

在煤層氣開采過程中，隨儲層壓力降低，有效應(yīng)力增加，割理閉合，導(dǎo)致儲層滲透率降低，這種現(xiàn)象稱為有效應(yīng)力的負(fù)效應(yīng)；另一方面，隨儲層壓力降低，煤層氣解吸，基質(zhì)收縮，割理寬度增大，使儲層滲透率增加，這種現(xiàn)象稱為煤基質(zhì)收縮的正效應(yīng)。Palmer和Mansoori[14]提出如下考慮有效應(yīng)力和基質(zhì)收縮效應(yīng)的關(guān)系式：

式中，φf0為煤儲層原始裂縫孔隙度；p為煤儲層壓力，MPa；p0為煤儲層原始壓力，MPa；εl為Langmuir體積應(yīng)變常數(shù)；K為體積模量，MPa；M為單軸模量，MPa；f取0～ 1；γ為煤顆粒壓縮系數(shù)，MPa-1；kf0為煤儲層原始裂縫滲透率，10-3μm2；υ為泊松比。

1.5 井筒壓降模型

對于多分支水平井，將其主支和分支均看作由若干微元段組成(圖1)，則在井筒內(nèi)部，主支或分支的上下游相鄰兩井段的壓力關(guān)系表示為

若為定壓生產(chǎn)，則出口端處的井底壓力pwf，c為已知，則

式中，pwf，i+1和pwf，i分別為第i+1 個和第i個井筒微元中點(diǎn)的壓力，MPa；pwf，c為多分支水平井井筒出口端壓力，MPa。

圖1 多分支水平井微元段示意圖Fig.1 Sketch map of multi-lateral horizontal well element

若為定產(chǎn)氣量生產(chǎn)，則pwf，c未知，需增加一個方程，氣產(chǎn)量為所有分支及主支產(chǎn)量之和，即

其中，IPD為井指數(shù)，其表達(dá)式為

式中，ke為與各向異性介質(zhì)等價的各向同性滲透率，10-3μm2；Lp為變換空間上網(wǎng)格內(nèi)井段的長度，m；rb為井格塊等效半徑，m；rw為等效井徑，m；S為表皮因子。

Δpwf，i為相鄰兩井段壓降，分兩種情況來求解。

(1)主支和分支存在匯合點(diǎn)。在主支井筒上取流動微元控制體如圖1(a)所示，則該匯合點(diǎn)處即可簡化為斜三通，根據(jù)伯努利方程[15-16]可得，

式中，pwf，j，1為與主支相連的分支井段壓力，MPa；ρi為該微元段內(nèi)流體密度，kg/m3；vi+1和vi分別為流體流入和流出該微元段的速度，m/s；vR，i為匯合處分支流體流入主支的速度，m/s；d為主井筒直徑，m；R，i為第j分支流體流入主支的平均速度，m/s；i為該微元段主支流體平均流速，m/s；fi和fj，i為分別為該微元段內(nèi)流體和管壁之間的摩擦系數(shù)；αi+1、αi和αj，1分別為動能修正系數(shù)，在實(shí)際應(yīng)用中，可令αi+1≈αi≈αj，1=α；ξi為局部阻力系數(shù)，查表得ξi=0.05。

對于該微元段，根據(jù)質(zhì)量守恒原理，得

整理得主支與分支存在匯合點(diǎn)時主支上、下游及主支與分支之間的井筒壓力表達(dá)式分別為

式中，vv，i為流體由煤層徑向流入該微元段的平均流速，m/s；QR，i為該微元段內(nèi)分支流入主支的流量，m3/s；qi為由煤層流入該微元段的流量，m3/s。

式(16)右端第一項(xiàng)表示主支上下游之間的加速度壓降，式(17)右端第一項(xiàng)表示主支與分支之間的加速度壓降，兩式第二項(xiàng)均為摩擦壓降，第三項(xiàng)均為混合壓降。

(2)主支和分支不存在匯合點(diǎn)。在主支上取長度為Δxi的微元井段(圖1(b))。微元井段內(nèi)流體受到上、下游段壓力以及管壁摩擦阻力τw的作用，該微元井段的質(zhì)量守恒和動量守恒方程分別為

由式(1)～(8)組成的煤儲層滲流方程和由式(9)～(20)組成的井筒壓降方程耦合可得完整的煤層氣多分支水平井滲流數(shù)學(xué)模型。

2 模型的求解

上述煤儲層滲流方程和井筒壓降方程通過井筒壓力耦合在一起，具體求解過程如下：

(1)在定井底流壓條件下令井筒壓力均為已知，定產(chǎn)條件則可設(shè)為任意合理的井筒壓力值，利用隱壓顯飽法求解該煤儲層滲流方程可得煤儲層壓力值。

(2)將所得儲層壓力值代入井筒壓降方程組中進(jìn)行求解，得到相應(yīng)的井筒壓力值。

(3)將最新的井筒壓力值帶入煤儲層滲流方程中重復(fù)計(jì)算，如此反復(fù)迭代，直到所求未知數(shù)滿足一定的收斂條件，即得該時刻儲層壓力及各段井筒壓力值。

(4)將求得的壓力值代入水相差分方程，由水組分方程顯式計(jì)算出水相飽和度，然后由飽和度輔助方程計(jì)算出氣相飽和度。

(5)重復(fù)(1)～(4)，即可得任意時刻煤儲層壓力、井筒壓力和飽和度值。

3 實(shí)例分析

利用樊莊區(qū)塊實(shí)際地質(zhì)資料對所建模型進(jìn)行驗(yàn)證，并對煤層氣多分支水平井主井筒及分支井筒的壓力及入流量分布進(jìn)行研究。模型基礎(chǔ)數(shù)據(jù)為：區(qū)塊面積1.29 km2，煤層埋深500 m，煤層厚度5.0 m，裂縫滲透率0.5×10-3μm2，裂縫孔隙度4.48%，煤層原始含水飽和度1.0，原始壓力3.84 MPa，Langmuir壓力 2.68 MPa，Langmuir 體積 47.38 m3/t，表皮系數(shù)-1.23，井底流壓0.5 MPa，解吸時間12.33 d，煤巖密度1350 kg/m3，煤層初始含氣量20 m3/t，泊松比0.25，彈性模量3.0 GPa，Langmuir體積應(yīng)變常數(shù)0.04。煤層氣多分支水平井含有6個分支，主支長900 m，分支長360 m，將分支井筒由主井筒跟端到趾端依次編號，如圖2所示。

圖2 多分支水平井示意圖Fig.2 Sketch map of multi-lateral horizontal well

3.1 模型的可靠性驗(yàn)證

為驗(yàn)證所建模型的準(zhǔn)確性，將模型預(yù)測煤層氣多分支水平井產(chǎn)能與應(yīng)用廣泛的CMG軟件預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比，如圖3所示。由圖3可知，本文預(yù)測結(jié)果與CMG軟件預(yù)測結(jié)果趨勢一致，煤層氣多分支水平井日產(chǎn)氣量均先增大后減小，日產(chǎn)水量逐漸減低。但本文所建模型考慮了多分支水平井井筒內(nèi)的摩擦壓降、加速度壓降和混合壓降，能更好地反映煤層氣多分支水平井井筒入流動態(tài)。

圖3 煤層氣多分支水平井產(chǎn)能Fig.3 Productivity of multi-lateral horizontal well for coalbed methane

3.2 井筒壓力分布

根據(jù)煤層氣多分支水平井的生產(chǎn)特征，其沿水平井筒的壓力分布特征可分開采前期和開采后期兩種情況來分析，模擬計(jì)算結(jié)果如圖4、5所示。

圖4 不同時刻主支井筒的壓力分布Fig.4 Main wellbore pressure distribution at different time

由圖4可知，無論在煤層氣多分支水平井開采前期還是在開采后期，由于井筒內(nèi)壓降的存在，主支井筒壓力均隨距主支跟端距離的增大而增大，但增加的幅度越來越小。在開采前期，隨著時間的增加，主支井筒內(nèi)流量增加，井筒內(nèi)產(chǎn)生的壓降亦增加，井筒壓力呈上升趨勢，如圖4(a)所示；而在開采后期則呈現(xiàn)相反的趨勢，如圖4(b)所示。

圖5 生產(chǎn)2000 d各分支的井筒壓力分布Fig.5 Multi-lateral wellbore pressure distribution after producing 2000 days

對于煤層氣多分支水平井各分支來講，在煤層氣多分支水平井開采期內(nèi)，各分支井筒內(nèi)壓力均隨距分支跟端距離的增大而增大(圖5)。

3.3 井筒入流量分布

不同時刻主支井筒與分支井筒的入流量分布如圖6、7所示。由圖6可知，在開采前期，主井筒入流量分布曲線在主支與分支匯合處呈上凸趨勢，在開采后期則呈下凹趨勢。這是因?yàn)樵陂_采前期分支與主支之間的相互干擾使分支與主支匯合處煤層氣解吸量大，因此主井筒入流量也大，且越靠近主井筒跟端，匯合處的主井筒入流量越大。但在開采后期，受供氣范圍的影響，主支與分支匯合處主井筒入流量越來越低，而主井筒端部由于供氣范圍大，入流量越來越高，如圖6(b)所示。

圖6 不同時刻主支井筒的入流量分布Fig.6 Main wellbore inflow rate distribution at different time

圖7 不同時刻分支井筒的入流量分布Fig.7 Multi-lateral wellbore inflow rate distribution at different time

由圖7可知，在開采前期各分支井筒入流量呈U型分布，而在開采后期則呈倒U型分布。這是因?yàn)樵陂_采前期受分支與主支之間相互干擾的影響，沿分支井筒的入流量也大，而在各分支趾端由于供氣范圍較大，沿分支井筒的入流量也較大；受井筒壓降和供氣范圍的雙重影響，沿各分支中部的井筒入流量變化不大。受井筒壓降的影響，越靠近主井筒出口端，分支入流量越大。但在開采后期，由于開采前期各分支兩端煤層解吸程度高，此時受供氣范圍的影響沿各分支兩端的井筒入流量較小，各分支中部的井筒入流量較大，且越靠近主井筒出口端，分支入流量越小。

4 結(jié) 論

(1)無論是在開采前期還是在開采后期，煤層氣多分支水平井主支和分支井筒的壓力均隨距跟端距離的增大而增大，但主井筒壓力增加的幅度越來越小。

(2)開采前期，煤層氣多分支水平井主井筒入流量分布曲線在主支與分支匯合處呈上凸趨勢，而在開采后期則呈下凹趨勢；各分支井筒入流量開采前期呈U型分布，但在開采后期呈倒U型分布。

[1] 江山，王新海，張曉紅，等.定向羽狀分支水平井開發(fā)煤層氣現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢[J].鉆采工藝，2004，27(2)：4-7.JIANG Shan，WANG Xin-hai，ZHANG Xiao-hong，et al.Development status quo and trend of directional pinnate horizontal well for coalbed gas[J].Drilling&Production Technology，2004，27(2)：4-7.

[2] 姜文利，葉建平，喬德武.煤層氣多分支水平井的最新進(jìn)展及發(fā)展趨勢[J].中國礦業(yè)，2010，19(1)：101-103.JIANG Wen-li，YE Jiang-ping，QIAO De-wu.The recent process and developing tendency in CBM multi-branch horizontal well[J].China Mining Magzine，2010，19(1)：101-103.

[3] 張衛(wèi)東，魏韋.煤層氣水平井開發(fā)技術(shù)現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢[J].中國煤層氣，2008，5(4)：19-22.ZHANG Wei-dong，WEI Wei.Status of coalbed methane horizontal well technology and trend of development[J].China Coalbed Methane，2008，5(4)：19-22.

[4] DIKKEN.Pressure drop in horizontal wells and its effect on production performance[R].SPE 19824，1990.

[5] 黃世軍，程林松，趙鳳蘭，等.考慮多段流動耦合的魚骨刺井產(chǎn)能評價模型[J].中國石油大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，34(2)：83-88.HUANG Shi-jun，CHENG Lin-song，ZHAO Feng-lan，et al.Production evaluation model of fishbone well considering coupling among multi-segments flow[J].Journal of China University of Petroleum(Edition of Natural Science)，2010，34(2)：83-88.

[6] 汪志明，張磊敏，魏建光，等.分支參數(shù)對多分支井入流及產(chǎn)能的影響規(guī)律研究[J].石油鉆探技術(shù)，2009，37(3)：83-88.WANG Zhi-ming，ZHANG Lei-min，WEI Jian-guang，et al.The effect of branch parameters on inflow performance and productivity on multilateral wells[J].Petroleum Drilling Technology，2009，37(3)：83-88.

[7] 李明忠，李彥超，王衛(wèi)陽，等.考慮井筒變質(zhì)量流動的礫石充填水平井產(chǎn)能預(yù)測[J].中國石油大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，35(3)：89-94.LI Ming-zhong，LI Yan-chao，WANG Wei-yang，et al.Productivity prediction for gravel-packed horizontal well considering variable mass flow in wellbore[J].Journal of China University of Petroleum(Edition of Natural Science)，2011，35(3)：89-94.

[8] 蘇玉亮，張東，李明忠.油藏中滲流與水平井筒內(nèi)流動的耦合數(shù)學(xué)模型[J].中國礦業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，36(6)：752-759.SU Yu-liang，ZHANG Dong，LI Ming-zhong.Mathematical model coupling seepage in the reservoir with flow in the horizontal wellbore[J].Journal of China University of Mining&Technology，2007，36(6)：752-759.

[9] 蘇現(xiàn)波，林曉英.煤層氣地質(zhì)學(xué)[M].北京：煤炭工業(yè)出版社，2007.

[10] 張冬麗，王新海.煤層氣羽狀水平井開采數(shù)值模擬研究[J].煤田地質(zhì)與勘探，2005，33(4)：47-52.ZHANG Dong-li，WANG Xin-hai.Numerical simulation of pinnate horizontal multilateral well for coalbed gas recovery[J].Coal Geology&Exploration，2005，33(4)：47-52.

[11] 張冬麗，王新海，宋巖.考慮啟動壓力梯度的煤層氣羽狀水平井開采數(shù)值模擬[J].石油學(xué)報(bào)，2006，27(4)：89-92.ZHANG Dong-li，WANG Xin-hai，SONG Yan.Numerical simulation of pinnate horizontal multilateral well for coalbed gas development in consideration of start-up pressure gradient[J].Acta Petrolei Sinica，2006，27(4)：89-92.

[12] 席長豐，吳曉東，王新海.多分支井注氣開發(fā)煤層氣模型[J].煤炭學(xué)報(bào)，2007，32(4)：402-406.XI Chang-feng，WU Xiao-dong，WANG Xin-hai.A model for enhanced coalbed methane and CO2sequestration with multilateral wells[J].Journal of China Coal Society，2007，32(4)：402-406.

[13] KING G R，ERTEKIN T，SCHWERER F C.Numerical simulation of the transient behavior of coal-seam degasification wells[R].SPE 12258，1986.

[14] PALMER I，MANSOORI J.How permeability depends on stress and pore pressure in coalbeds：a new model[R].SPE 52607，1996.

[15] 袁恩熙.工程流體力學(xué)[M].北京：石油工業(yè)出版社，1986.

[16] 步玉環(huán)，王瑞和，劉繼林.分支井匯合流動壓降計(jì)算[J].鉆采工藝，2007，30(4)：10-12.BU Yu-huan，WANG Rui-he，LIU Ji-lin.Pressure drop calculation for aggregate flow in multi-lateral wells[J].Drilling&Production Technology，2007，30(4)：10-12.