顧恩國(guó)，安樹(shù)庭，秦文釗

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

2013年2月6日，國(guó)務(wù)院常務(wù)會(huì)議部署完善研究生教育投入機(jī)制，決定從2014年秋季學(xué)期起，向所有納入國(guó)家招生計(jì)劃的新入學(xué)研究生收取學(xué)費(fèi)[1]. 該項(xiàng)政策的公布，立即在社會(huì)上引起了強(qiáng)烈的反響[2,3]，反映了教育系統(tǒng)可持續(xù)穩(wěn)定發(fā)展的重要性與迫切程度. 隨著我國(guó)招生規(guī)模的迅速擴(kuò)大，教學(xué)質(zhì)量與招生規(guī)模的矛盾日益突出，尤其是教育質(zhì)量，遭到來(lái)自多方的質(zhì)疑[4]，因此眾多學(xué)者對(duì)教育系統(tǒng)的合理發(fā)展進(jìn)行了探討，如招錄工作與獎(jiǎng)學(xué)金制度[5]，招生規(guī)模的合理增長(zhǎng)率區(qū)間估計(jì)[6,7]等，文獻(xiàn)[8-12]從不同側(cè)面(如招生規(guī)模、學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)、政府投入等)建立線性和非線性動(dòng)力系統(tǒng)模型，研究了不同情況下系統(tǒng)解的存在性與穩(wěn)定性，為政府進(jìn)行宏觀調(diào)控決策提供了相應(yīng)的理論依據(jù). 現(xiàn)有文獻(xiàn)的研究方法與結(jié)論對(duì)政府宏觀調(diào)控具有一定的參考意義，但均為連續(xù)模型，事實(shí)上，無(wú)論是招生、政府投入還是就業(yè)等行為都具有一定的周期性，因此離散動(dòng)力學(xué)模型更符合實(shí)際.

為此，本文將考慮畢業(yè)生的就業(yè)成本，在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下建立招生規(guī)模與教育質(zhì)量的二維離散動(dòng)力學(xué)模型，描述兩者隨時(shí)間演化的規(guī)律，給出招生規(guī)模與教育質(zhì)量可持續(xù)穩(wěn)定發(fā)展的條件，為政府和高等院校進(jìn)行宏觀調(diào)控提供相應(yīng)的理論依據(jù).

1 模型的建立

本文主要考慮招生規(guī)模與教育質(zhì)量的非線性關(guān)系，用N(t)表示t時(shí)刻的招生規(guī)模，Q(t)表示t時(shí)刻的教育質(zhì)量. 先考慮從t時(shí)刻到t+1時(shí)刻，招生規(guī)模的變化率：

(1) 假設(shè)教育資源充分，當(dāng)教育質(zhì)量增加時(shí)，招生規(guī)模可以適當(dāng)?shù)財(cái)U(kuò)大(需要說(shuō)明的是，盡管教育資源在現(xiàn)有條件下不是無(wú)限充分，此假設(shè)仍然可以揭示教育系統(tǒng)的一些內(nèi)在變化規(guī)律)；

(2) 招生規(guī)模也與畢業(yè)生有關(guān)，如果畢業(yè)生的就業(yè)壓力過(guò)大，學(xué)校則應(yīng)該降低招生規(guī)模，招生規(guī)模的變化與學(xué)生畢業(yè)時(shí)的就業(yè)成本成二次負(fù)相關(guān)[12]. 因此：

N(t+1)-N(t)=αQ(t)-λN2(t),

(1)

其中α>0為單位教育質(zhì)量下應(yīng)增加的招生規(guī)模，λ>0為畢業(yè)生的就業(yè)成本.

再考慮從t時(shí)刻到t+1時(shí)刻，教育質(zhì)量的變化率：

(2)

其中β>0為單位招生規(guī)模下教育質(zhì)量的相對(duì)改變量，反映教育質(zhì)量對(duì)招生規(guī)模變化的敏感度.

根據(jù)上述說(shuō)明，建立教育質(zhì)量與招生規(guī)模的二維離散動(dòng)力學(xué)模型如下：

(3)

2 非負(fù)平衡點(diǎn)的存在性

將模型(3)寫(xiě)成映射動(dòng)力系統(tǒng)的形式則有：

(4)

這里“′”表示時(shí)間增加一個(gè)單位算子，在實(shí)際中一般表示3～5年. 下面求系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)，根據(jù)平衡點(diǎn)的定義，系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)應(yīng)滿足N′=N,Q′=Q，即為如下非線性方程組的解：

(5)

3 非負(fù)平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

系統(tǒng)(4)的Jacobian矩陣為：

3.1 邊界平衡點(diǎn)E0的穩(wěn)定性

邊界平衡點(diǎn)E0=(0,0)處的Jacobian矩陣為：

(6)

3.2 正平衡點(diǎn)E1的穩(wěn)定性與分叉

正平衡點(diǎn)E1=(N*,Q*)處的Jacobian矩陣為：

(7)

由上述分析，我們有關(guān)于邊界平衡點(diǎn)E0=(0,0)和正平衡點(diǎn)E1=(N*,Q*)的穩(wěn)定性和分叉的定理.

定理1

(1)無(wú)論參數(shù)α,β,k,λ如何變化，邊界平衡點(diǎn)E0=(0,0)恒不穩(wěn)定；

(3)f(1)>0恒成立，因此系統(tǒng)(4)不會(huì)在E1處產(chǎn)生Fold分叉；

當(dāng)k=2λ<2β時(shí)，1-f(0)=0且系統(tǒng)(4)有一對(duì)單位圓上的共軛復(fù)根，系統(tǒng)(4)將在E1處產(chǎn)生Neimark-Sacker分叉.

該定理說(shuō)明政府為了引導(dǎo)良好的教育系統(tǒng)，應(yīng)該一方面對(duì)教學(xué)質(zhì)量進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐度?，另一方面還應(yīng)降低畢業(yè)生的就業(yè)成本，可通過(guò)鼓勵(lì)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，提供就業(yè)信息，引進(jìn)需求企業(yè)等措施來(lái)實(shí)現(xiàn).

4 數(shù)值模擬

首先驗(yàn)證正平衡點(diǎn)E1的穩(wěn)定性及Flip分叉. 固定參數(shù)α=1，β=0.75，λ=1>β，根據(jù)定理1的結(jié)論，當(dāng)k<1時(shí)，正平衡點(diǎn)E1漸近穩(wěn)定；當(dāng)k=1時(shí)，系統(tǒng)在E1處發(fā)生Flip分叉.

圖1 系統(tǒng)(4)關(guān)于政府投入k的分叉圖，深色線表示教育質(zhì)量，淺色線表示招生規(guī)模Fig.1 The bifurcation diagrams of the system (4) with respect to the investment of government k，the quality of education is represented in dark line, and the enrollment scale is represented in light line

如圖1(a)所示，當(dāng)01時(shí)，正平衡點(diǎn)通過(guò)Flip分叉失去穩(wěn)定性，招生規(guī)模與教學(xué)質(zhì)量將出現(xiàn)周期或混沌波動(dòng)，與定理1的結(jié)論剛好吻合.

接下來(lái)驗(yàn)證正平衡點(diǎn)E1的穩(wěn)定性及Neimark-Sacker分叉. 固定參數(shù)α=1，β=1.2，λ=1<β，根據(jù)定理1的結(jié)論，當(dāng)k<2時(shí)，正平衡點(diǎn)E1漸近穩(wěn)定；當(dāng)k=2時(shí)，系統(tǒng)在E1處發(fā)生Neimark-Sacker分叉.

如圖1(b)所示，當(dāng)02時(shí)，正平衡點(diǎn)通過(guò)Neimark-Sacker分叉失去穩(wěn)定性，與定理1的結(jié)論剛好吻合.

為了確定在臨界狀態(tài)k=1時(shí)系統(tǒng)(4)的穩(wěn)定性，需要使用中心流形定理[13]. 固定參數(shù)α=1，β=0.75，λ=1，當(dāng)k=1時(shí)，正平衡點(diǎn)E1=(1.33,1.78). 對(duì)系統(tǒng)(4)作坐標(biāo)平移變換，寫(xiě)成矩陣形式為：

(8)

記f(u,v)=-0.69u2-0.75uv-0.20v2，g(u,v)=-0.34u2-0.74uv-0.30v2，設(shè)中心流形

Mc={(u,v)∈R2|v=h(u),h(0)=0,h′(0)=0,|u|<δ}，h(u)=b1u2+b2u3+o(u4)，有：

h(-u+f(u,h(u)))-0.33h(u)-g(u,h(u))=0.

f1:u|→-u+f(u,h(u))=-u-0.69u2+0.132u3+o(u4),

限制，而f1的Schwarzian導(dǎo)數(shù)：

因此h(u)為穩(wěn)定流形，則正平衡點(diǎn)E1在k=1時(shí)局部穩(wěn)定.

5 結(jié)語(yǔ)和展望

本文研究了招生規(guī)模與教育質(zhì)量可持續(xù)穩(wěn)定發(fā)展的問(wèn)題，建立了招生規(guī)模與教育質(zhì)量的離散動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)模型進(jìn)行了非線性動(dòng)力學(xué)分析，討論了正平衡點(diǎn)的存在性、穩(wěn)定性及分叉. 結(jié)果表明：政府對(duì)教育資源的投入應(yīng)綜合考慮教育質(zhì)量對(duì)招生規(guī)模變化的敏感度以及畢業(yè)生的就業(yè)成本，教育質(zhì)量穩(wěn)定發(fā)展的一個(gè)充分條件是政府的投入k低于畢業(yè)生就業(yè)成本λ的2倍，在對(duì)教育質(zhì)量進(jìn)行投入的同時(shí)還應(yīng)降低畢業(yè)生的就業(yè)成本.

本文僅考慮了單個(gè)學(xué)校的動(dòng)力學(xué)模型，未考慮由于校際合作、競(jìng)爭(zhēng)等情況給模型帶來(lái)的干擾. 將整個(gè)教育體系看成一個(gè)大系統(tǒng)，對(duì)有限的教育資源進(jìn)行分配，并對(duì)招生規(guī)模進(jìn)行估計(jì)將在后文中做進(jìn)一步研究.

參 考 文 獻(xiàn)

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[2] 佚名. 明年秋季起研究生全部自費(fèi)打破30多年計(jì)劃體制[EB/OL]. [2013-11-31].http://yz.chsi.com.cn/kyzx/kydt/201302/20130222/390606520.html.

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