甘 斌，孟妮娜，唐曉燕

(1.西安市勘察測(cè)繪院，陜西西安 710054；2.長(zhǎng)安大學(xué)地質(zhì)工程與測(cè)繪學(xué)院，陜西西安 710054）

地圖編制中的字形曲線變換

甘 斌1，孟妮娜2，唐曉燕2

(1.西安市勘察測(cè)繪院，陜西西安 710054；2.長(zhǎng)安大學(xué)地質(zhì)工程與測(cè)繪學(xué)院，陜西西安 710054）

一、引 言

Bezier曲線是位于其控制多邊形凸包之內(nèi)的曲線，是計(jì)算機(jī)圖形造型的基本工具，采用少量控制點(diǎn)就可以確定形態(tài)，是一種常用的曲線擬合工具[1]。Bezier曲線的始點(diǎn)、末點(diǎn)與其特征多邊形端點(diǎn)重合，且始點(diǎn)、末點(diǎn)的切線方向與特征多邊形的第一和最后一條邊一致。Bezier曲線具有幾何不變性、對(duì)稱性、凸包性。

地圖中的文字作為地圖語(yǔ)言的組成部分，在彌補(bǔ)地圖符號(hào)不足和傳輸?shù)貓D信息等方面起著重要的作用。地圖是現(xiàn)實(shí)的一種抽象，是與現(xiàn)實(shí)相關(guān)的空間分布的表達(dá)。對(duì)于表達(dá)地圖的圖形要有較高的精度，尤其對(duì)文字的圖形要求很高[2]。文字圖形是由字庫(kù)來(lái)描述的[3]，字庫(kù)有點(diǎn)陣字庫(kù)、向量字庫(kù)和曲線字庫(kù)，分別用點(diǎn)陣法、向量法、曲線輪廓法來(lái)描述。曲線輪廓法是當(dāng)前主流的一種字形描述方法，用直線和二次Bezier曲線的集合來(lái)描述一個(gè)字符的字形輪廓[4]。Truetype就是一種用曲線輪廓法表達(dá)的字型，是操作系統(tǒng)的中文版標(biāo)準(zhǔn)漢字字庫(kù)，根據(jù)書(shū)法風(fēng)格的不同可分為不同的Truetype字庫(kù)[5]。地圖出版時(shí)的文字大小要求很?chē)?yán)格，如何從字庫(kù)中得到文字圖形并對(duì)其進(jìn)行各種變換處理以得到滿足地圖編制要求的字形是地圖處理中不可缺少的一項(xiàng)工作[6]。

在地圖編制中，地圖文字與文字字庫(kù)圖形間有一定差別，通過(guò)對(duì)文字曲線進(jìn)行各種變換、顯示、交換等數(shù)據(jù)處理(如在地圖輸出中對(duì)取出的字形輪廓進(jìn)行加粗、變細(xì)處理，聳肩、傾斜等錯(cuò)切變換，高寬比等比例變換，旋轉(zhuǎn)變換，平移變換等），可使得字庫(kù)圖形達(dá)到地圖文字的要求[7]。三次Bezier曲線在運(yùn)算、顯示及輸出方面作為標(biāo)準(zhǔn)的圖元形態(tài)，在圖形系統(tǒng)中得到廣泛支持，而二次Bezier曲線不具有這種特征[8]。將二次Bezier曲線用三次Bezier曲線表達(dá)，更加便于對(duì)圖形數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理。本文就此對(duì)用三次Bezier曲線擬合二次Bezier曲線的擬合方法的相關(guān)問(wèn)題展開(kāi)研究，用于表達(dá)文字的輪廓，使其能高效準(zhǔn)確地適應(yīng)地圖出版中對(duì)文字的處理要求。

二、二次Bezier曲線及三次Bezier曲線

Bezier曲線是一種用控制多邊形定義曲線和曲面的方法[8]，其形狀完全由有限的少數(shù)幾個(gè)控制點(diǎn)決定，通過(guò)調(diào)整控制點(diǎn)的位置可以方便地改變曲線的形狀。其公式為

式中，Pi為構(gòu)成該曲線的特征多邊形；Bi，n(t）為Bernstein基函數(shù)，是曲線上各點(diǎn)位置矢量的調(diào)和函數(shù)[9]。根據(jù)上述通式，可分別列出二次、三次Bezier曲線的表達(dá)式。

1.二次Bezier曲線

對(duì)于二次Bezier曲線，其參數(shù)方程如下

圖1 二次貝塞爾曲線

2.三次Bezier曲線

對(duì)于三次Bezier曲線，其參數(shù)方程如下

圖2 三次貝塞爾曲線

曲線起始于P0，走向P1，并從P3的方向來(lái)到P4，一般不會(huì)經(jīng)過(guò)P3或P4，這兩個(gè)點(diǎn)只是在那里提供方向資訊。三次Bezier曲線非常適合用來(lái)繪制光滑連續(xù)曲線，因?yàn)樗恍枰浅Ｏ∈璧臄?shù)據(jù)集就能完整地繪制那些需要精確控制的曲線。

三、三次Bezier曲線擬合二次Bezier曲線基本方法

TrueType字體邊界由若干小段的折線和二次曲線構(gòu)成。用三次Bezier曲線擬合的基本條件是擬合后三次Bezier曲線和需擬合的二次Bezier曲線的始點(diǎn)、末點(diǎn)重合；三次Bezier曲線的起始點(diǎn)、結(jié)束點(diǎn)處的斜率與需擬合的二次Bezier曲線對(duì)應(yīng)的起始點(diǎn)、結(jié)束點(diǎn)處的斜率相等。假定t＝0.5時(shí)二次Bezier曲線和三次Bezier曲線中間位置點(diǎn)相等，在此情況下推證其表達(dá)式，下面是推證的過(guò)程。

1.擬合的條件及公式推導(dǎo)

設(shè)起點(diǎn)P0(x0，y0）、終點(diǎn)P1(x1，y1），三次Bezier曲線的中間位置點(diǎn)分別為P3(x3，y3）、P4(x4，y4），二次Bezier曲線位置點(diǎn)為P2(x2，y2），Tb為二次Bezier曲線起點(diǎn)P0(x0，y0）處的切線斜率，Te為二次Bezier曲線終點(diǎn)P1(x1，y1）處的切線斜率，Tbx、Tby、Tex、Tey分別為二次Bezier曲線端點(diǎn)處x方向和y方向處的斜率，(ˉx，ˉy）為二次Bezier曲線對(duì)應(yīng)t＝0.5時(shí)的函數(shù)值。

當(dāng)t＝0時(shí)，由二次Bezier公式可列出Tbx＝2(x2-x0），Tby＝2(y2-y0）；當(dāng)t＝1時(shí)，Tex＝2(x1-x2），Tey＝2(y1-y2）。將t＝0.5代入二次Bezier曲線公式解得

根據(jù)Bezier三次曲線公式列出當(dāng)t＝0時(shí)

確定了起點(diǎn)和終點(diǎn)的切線方向及其間一曲線位置后，聯(lián)立上述4式，可得如下方程

2.可解性分析

根據(jù)上述方法可推出擬合公式，但是在實(shí)際應(yīng)用中，Tbx、Tby、Tex、Tey是根據(jù)起、終點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算得出的，若取某些特定值，該矩陣方程可能會(huì)有無(wú)解的情況，此時(shí)用這一公式會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，以下是關(guān)于方程可解性的推導(dǎo)

分析約化結(jié)果可知，當(dāng)Tby＝0，即y2-y0＝0，控制點(diǎn)與起點(diǎn)縱坐標(biāo)相同時(shí)，或是當(dāng)Tex×Tby＝Tey×Tbx，即曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)切線斜率相等時(shí)，系數(shù)矩陣的秩不等于增廣矩陣的秩，該非線性方程組無(wú)解。從幾何意義上說(shuō)，當(dāng)控制點(diǎn)和起、始點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，該方程無(wú)解，可不用該擬合公式，直接寫(xiě)出三次Bezier曲線表示折線。

四、試驗(yàn)方案及效果

從字庫(kù)中取出不同字體的字的輪廓，對(duì)曲線邊進(jìn)行3次擬合，把與二次Bezier曲線在t等于0.25、0.75處的描述同一字體字的輪廓的同一曲線段的距離差與整個(gè)文字高度的比值作為評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

表1

由表1可知，對(duì)于不同字體，最大差為3.59× 10-15，最小差為1.27×10-15，差別很微小，可以忽略不計(jì)，不影響字的形狀。結(jié)果表明，此方法較好地實(shí)現(xiàn)了文字曲線圖形的數(shù)據(jù)處理，能滿足文字曲線字形的正確顯示和輸出，方案有效、可行。

五、結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種用三次Bezier曲線擬合二次Bezier曲線的方法，推證了其計(jì)算公式，探討了采用這種擬合方法的可解性。通過(guò)采用不同字體進(jìn)行試驗(yàn)對(duì)比分析，說(shuō)明該方法有效、可行。論文成果對(duì)字庫(kù)文字到地圖文字的變換提供了有效的途徑。

[1]謝偉松，錢(qián)坤晶.Bezier曲線在生產(chǎn)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J].航空精密制造技術(shù)，2006，42(1）：51-53.

[2]陳四清.數(shù)字地圖出版技術(shù)分析[J].測(cè)繪學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，22(1）：46-50.

[3]SARFRAZ M，KHAN M A.Automatic Outline Capture of Arabic Fonts[J].Information Sciences，2002(1）：269-281.

[4]陳登梅，李學(xué)慶，李德生.一種新的曲線字庫(kù)自動(dòng)生產(chǎn)方法[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2006，18(10）：2995-2997，3002.

[5]唐英敏，張艷霞，呂肖慶.基于漢字構(gòu)形的TrueType字庫(kù)壓縮方法[J].微電子學(xué)與計(jì)算機(jī)，2007，24(6）：52-55.

[6]吳明光，劉真.地圖制圖出版系統(tǒng)的體系結(jié)構(gòu)[J].測(cè)繪通報(bào)，2004(7）：42-44，50.

[7]ITOH K，OHNO Y.A Curve Fitting Algorithm for Character Fonts[J].Electronic Publishing，1993(6）：195-198.

Transformation of the Glyph Curve in Cartography

GAN Bin，MENG Nina，TANG Xiaoyan

在信息完整的情況下，用在圖形系統(tǒng)中作為標(biāo)準(zhǔn)圖元形態(tài)的三次Bezier曲線來(lái)表達(dá)空間數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)據(jù)加工、處理及傳輸具有重要意義。在地圖文字的字庫(kù)中，普遍的做法是用直線和二次Bezier曲線的集合來(lái)描述字符的字形輪廓，但二次Bezier曲線是非標(biāo)準(zhǔn)的曲線，在處理過(guò)程中帶來(lái)很多不便。針對(duì)這一問(wèn)題，本文研究用三次Bezier曲線擬合二次Bezier曲線的工作，提出用三次Bezier曲線擬合二次Bezier曲線的方法，并推證其計(jì)算公式。通過(guò)對(duì)從字庫(kù)中取出不同字體的字的輪廓曲線段進(jìn)行試驗(yàn)，證明該方法實(shí)現(xiàn)了文字曲線圖形的數(shù)據(jù)處理，對(duì)字庫(kù)文字到地圖文字的變換提供了有效的途徑。

文字輪廓；Bezier曲線；擬合

P283

B

0494-0911(2014）10-0114-03

2014-04-08

地理信息工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金(SKLGIE2013-M-4-3）

甘 斌(1966―），男，陜西楊陵人，高級(jí)工程師，從事城市規(guī)劃信息化研究。

甘斌，孟妮娜，唐曉燕.地圖編制中的字形曲線變換[J].測(cè)繪通報(bào)，2014(10）：114-116.

10.13474/j.cnki.11-2246.2014.0345