白 宇，郭顯娥

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西 大同037009）

1 引言

單向鏈表是一種典型的鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)［1］，目前多使用 Two－way MergeSort算法［2］對單向鏈表進(jìn)行排序，雖然Two－way MergeSort算法時間復(fù)雜度為 O （n log2n）［1～4］，但 其 空 間 復(fù) 雜 度 高 達(dá)O（n）［1～4］，在一些嵌入式系統(tǒng)研發(fā)中，由于對存儲空間的使用數(shù)量有較嚴(yán)格的限制，故并不普遍適用。

排序算法中適應(yīng)性最強(qiáng)且應(yīng)用最廣的是基于關(guān)鍵字比較的排序算法［1～4］，因?yàn)榕判虻谋举|(zhì)就是按照一定規(guī)則相互比較關(guān)鍵字以確定其順序，即關(guān)鍵字可比較是排序算法的充要條件［3］。而其它諸如基于哈希表的排序算法或基于對關(guān)鍵字運(yùn)算的排序算法，由于對關(guān)鍵字有一些特殊要求，其應(yīng)用相對較窄［4～6］。

在基于關(guān)鍵字比較的排序算法中，已證明時間復(fù)雜度最小可達(dá)O（nlog2n）［4～6］，其中應(yīng)用最廣泛的有QuickSort和HeapSort，HeapSort算法的常量因子較高［5，6］，QuickSort算法的實(shí)測平均性能最優(yōu)［5，6］。但是，QuickSort算法最大不足之處在于，由于其基于可索引存儲結(jié)構(gòu)設(shè)計（一般為數(shù)組或索引表），因而無法用于鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)［4］，而鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)的實(shí)際應(yīng)用非常廣泛，例如動態(tài)存儲管理、動態(tài)優(yōu)先級調(diào)度等等。本文針對上述問題，以QuickSort的分治策略［1～6］為基礎(chǔ)，提出一種可用于單向鏈表的QuickSort算法，其平均時間復(fù)雜度（包含最優(yōu)及最差情況）為O（nlog2n），輔助空間復(fù)雜度為O（0），平均遞歸?？臻g復(fù)雜度為O（log2n），從而實(shí)現(xiàn)了對鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)高效排序的同時不增大空間復(fù)雜度。

2 算法分析

2.1 分治策略

QuickSort算法需要從線性表兩端逐一選取元素與樞軸元素進(jìn)行比較［1～6］，而單向鏈表只能從一個方向順序訪問，故無法做到；即使是雙向鏈表，QuickSort算法也要求可以任意交換兩個元素，單向或雙向鏈表也因不能隨機(jī)訪問而無法做到。因此，若要對單向鏈表實(shí)施分治策略，只能將單向鏈表的首節(jié)點(diǎn)作為樞軸節(jié)點(diǎn)，然后從單向鏈表首部的第二個節(jié)點(diǎn)開始，逐一遍歷所有后續(xù)節(jié)點(diǎn)，并將這些已遍歷節(jié)點(diǎn)的key與樞軸節(jié)點(diǎn)的key進(jìn)行比較，根據(jù)比較結(jié)果，重新將這些節(jié)點(diǎn)鏈接為兩個單向鏈表，其中之一所包含節(jié)點(diǎn)的key均小于樞軸節(jié)點(diǎn)的key；另一個所包含節(jié)點(diǎn)的key均大于或等于樞軸節(jié)點(diǎn)的key。這樣，便得到兩個規(guī)模更小的單向鏈表，然后對其遞歸執(zhí)行同樣的操作，并將其分別鏈接到樞軸節(jié)點(diǎn)的前部和后部。當(dāng)在某一層遞歸中，單向鏈表的節(jié)點(diǎn)數(shù)量小于或等于1時，則為遞歸出口。

為了能在每次劃分后將規(guī)模更小的兩個單向鏈表鏈接到樞軸節(jié)點(diǎn)上，必須記錄各自的尾節(jié)點(diǎn)位置，即需要設(shè)置兩個指向尾節(jié)點(diǎn)的指針。本文所述算法中將由key小于樞軸節(jié)點(diǎn)key構(gòu)成的單向鏈表定義為less；由key大于或等于樞軸節(jié)點(diǎn)key構(gòu)成的單向鏈表定義為more。這樣，less單向鏈表的首節(jié)點(diǎn)指針設(shè)定為lessHead，尾節(jié)點(diǎn)指針設(shè)定為lessTail；more單向鏈表的首節(jié)點(diǎn)指針設(shè)定為moreHead，尾節(jié)點(diǎn)指針設(shè)定為moreTail；當(dāng)前正在遍歷的節(jié)點(diǎn)指針設(shè)定為current；由于樞軸節(jié)點(diǎn)就是未排序的單向鏈表的首節(jié)點(diǎn)，故樞軸節(jié)點(diǎn)指針設(shè)定為listHead。

設(shè)節(jié)點(diǎn)包含兩個域：key表示用于比較的關(guān)鍵字（圖中的k1，k2，…，kn等），next表示指向下一節(jié)點(diǎn)的指針（圖中節(jié)點(diǎn)的空白區(qū)域）。初始化狀態(tài)如圖1所示，此時current為listHead的next域。

Figure 1 Initializaton state圖1 初始化狀態(tài)

當(dāng)遍歷單向鏈表的兩個節(jié)點(diǎn)后，狀態(tài)如圖2所示，設(shè)k2＜k1，k3≥k1。

Figure 2 State of traversing two nodes圖2 遍歷兩個節(jié)點(diǎn)后的狀態(tài)

當(dāng)繼續(xù)遍歷單向鏈表的k4和k5節(jié)點(diǎn)后，狀態(tài)如圖3所示，設(shè)k4＜k1，k5≥k1。

Figure 3 State of traversing four nodes圖3 遍歷四個節(jié)點(diǎn)后的狀態(tài)

當(dāng)單向鏈表遍歷結(jié)束后，與可索引表的QuickSort算法相類似［1～6］，亦即完成了一趟劃分，如此遞歸進(jìn)行，便可完成整個單向鏈表的排序。之所以需要設(shè)定兩個指向單向鏈表尾節(jié)點(diǎn)的指針lessTail和moreTail，一是如前文所述，簡化將less和more單向鏈表鏈接到樞軸節(jié)點(diǎn)前、后部的過程；二是簡化向less和more單向鏈表中添加節(jié)點(diǎn)的過程，否則需逐一遍歷節(jié)點(diǎn)，以尋找該單向鏈表的尾節(jié)點(diǎn)，將耗費(fèi)時間復(fù)雜度為O（n）的操作。

2.2 算法正確性分析

算法正確性需要從兩個方面進(jìn)行分析，其一，當(dāng)以樞軸節(jié)點(diǎn)為中心進(jìn)行一趟劃分后，樞軸節(jié)點(diǎn)前后兩個單向鏈表中節(jié)點(diǎn)的key是否相對于樞軸節(jié)點(diǎn)有序；其二，遞歸過程是否一定有出口，即遞歸過程是否一定可以在有限步驟后結(jié)束。

針對第一個問題，通過遍歷并重新鏈接原單向鏈表為兩個新的子單向鏈表進(jìn)行解決。在一趟劃分過程中，從樞軸節(jié)點(diǎn)listHead的下一個節(jié)點(diǎn)開始依次遍歷單向鏈表中的每個節(jié)點(diǎn)，如果該節(jié)點(diǎn)的key小于樞軸節(jié)點(diǎn)listHead的key，則將該節(jié)點(diǎn)鏈接到新的子單向鏈表lessHead中；否則將該節(jié)點(diǎn)鏈接到新的子單向鏈表moreHead中。當(dāng)遍歷結(jié)束時，所得的子單向鏈表lessHead中的所有節(jié)點(diǎn)的key一定小于樞軸節(jié)點(diǎn)listHead的key。不失一般性，如圖3，設(shè)節(jié)點(diǎn)k2＜k1，k4＜k1，則由k2，k4…構(gòu)成的子單向鏈表lessHead中的所有節(jié)點(diǎn)的key均小于樞軸節(jié)點(diǎn)listHead的key；同理，由k3，k5…構(gòu)成的子單向鏈表moreHead中的所有節(jié)點(diǎn)的key均大于或等于樞軸節(jié)點(diǎn)listHead的key。根據(jù)2.1節(jié)的描述，此時將樞軸節(jié)點(diǎn)listHead鏈接到lessTail后，再將moreHead鏈接到listHead后，不失一般性，如圖3，樞軸節(jié)點(diǎn)k1成為兩個子單向鏈表的分割點(diǎn)。因此，以樞軸節(jié)點(diǎn)為中心進(jìn)行一趟劃分后，樞軸節(jié)點(diǎn)前后兩個單向鏈表中節(jié)點(diǎn)的key相對于樞軸節(jié)點(diǎn)是有序的。

針對第二個問題，通過劃分后所形成的兩個子單向鏈表的規(guī)模不斷減小，并且當(dāng)子單向鏈表節(jié)點(diǎn)數(shù)量小于或等于1時通過終止遞歸調(diào)用來解決。一趟劃分后無論劃分結(jié)果如何，樞軸節(jié)點(diǎn)的位置已經(jīng)固定，即到達(dá)了樞軸節(jié)點(diǎn)在排序后所應(yīng)處于的最終位置上，因此，樞軸節(jié)點(diǎn)將不再參與下一輪遞歸調(diào)用的劃分過程。因此，在一趟劃分后對兩個子單向鏈表遞歸調(diào)用劃分算法時，其規(guī)模（節(jié)點(diǎn)數(shù)量）總是在不斷減小的。當(dāng)在某一層遞歸調(diào)用劃分算法時，如果lessHead等于null，或lessHead等于lessTail，則說明該子單向鏈表中的節(jié)點(diǎn)數(shù)量小于或等于1，顯然，可以認(rèn)為該子單向鏈表已經(jīng)有序，故而可以終止遞歸調(diào)用；同理，如果moreHead等于null，或moreHead等于moreTail，同樣可以終止遞歸調(diào)用，即此時便是遞歸出口。

通過上述兩個方法，可以保證本文所述算法的正確性。

2.3 算法復(fù)雜度

2.3.1 時間復(fù)雜度

通過2.1節(jié)的分析容易得出，一趟劃分后，樞軸節(jié)點(diǎn)對less和more單向鏈表的最優(yōu)情況是均分（即節(jié)點(diǎn)數(shù)量之差不大于1）；最差情況是其中之一為空；平均而言，樞軸節(jié)點(diǎn)可能出現(xiàn)在1到n的某個位置，顯然包括最優(yōu)及最差情況。現(xiàn)就三種情況分別分析如下：

第一種情況，每次劃分都將less和more單向鏈表均分，則遞歸棧深度為 log2n＋1，即需遞歸log2n次［7，8］，設(shè)需要時間T（n）。第一次劃分需對key做n次比較；第二次劃分，兩個單向鏈表各自需要時間T（n/2）；然后不斷劃分，可得不等式推斷如式（1）：

由式（1）可知，本文所述算法在最優(yōu)情況下的時間復(fù)雜度為O（nlog2n）。

第二種情況，每次劃分后，less或more單向鏈表中有且僅有一個為空，則共需進(jìn)行n－1次劃分，可得：

由式（2）可知，本文所述算法在最差情況下的時間復(fù)雜度為O（n2）。

第三種情況，平均而言，設(shè)樞軸節(jié)點(diǎn)在劃分后處于第k個位置（1≤k≤n），可得：

式（3）等價：

式（4）兩邊同乘n，得：

式（5）整理得：

式（6）兩邊同時除以n（n＋1），得：

將式（7）中的等式相加，并使用公式：

式（8）中γ≈0.5772，即歐拉常數(shù)，可得：

由式（9）可知，本文所述算法在平均情況下（包含最優(yōu)及最差情況），時間復(fù)雜度為O（nlog2n），且遞歸棧平均深度為Θlog2n（Θ為常數(shù)）。

2.3.2 空間復(fù)雜度

由于本文所述算法采用遞歸結(jié)構(gòu)，因此空間復(fù)雜度需從兩個方面進(jìn)行分析：

（1）用于排序的輔助空間。從2.1節(jié)的分析可知，由于算法在排序過程中僅僅重新鏈接原單向鏈表的節(jié)點(diǎn)，并不需要任何輔助空間存儲節(jié)點(diǎn)。完全不同于針對可索引存儲結(jié)構(gòu)的排序算法，需要輔助空間進(jìn)行元素交換［1～5］。因此，輔助空間復(fù)雜度為O（0）。

（2）遞歸棧空間。從2.3.1節(jié)的分析可知，算法的遞歸棧平均深度為Θlog2n（Θ為常數(shù)），因此平均遞歸?？臻g復(fù)雜度為O（log2n）。

3 算法描述

單向鏈表快速排序算法描述如下，具體實(shí)現(xiàn)代碼不再贅述：

步驟1 算法接收兩個指針，其中l(wèi)istHead指向單向鏈表首節(jié)點(diǎn)，listTail為空指針，劃分過程中，listTail將指向單向鏈表的尾節(jié)點(diǎn)，劃分后用于鏈接less單向鏈表到樞軸節(jié)點(diǎn)前。

步驟2 如果單向鏈表listHead僅有一個節(jié)點(diǎn)，則說明已有序，本層遞歸結(jié)束，返回listHead。

步驟3 令lessHead、lessTail、moreHead和moreTail為空，令current為listHead的next域，即單向鏈表的第二個節(jié)點(diǎn)。

步驟4 如果current節(jié)點(diǎn)為空，則轉(zhuǎn)入步驟13。

步驟5 如果current節(jié)點(diǎn)的key小于樞軸節(jié)點(diǎn)（即listHead）的key，則current節(jié)點(diǎn)應(yīng)鏈接到less單向鏈表，轉(zhuǎn)入步驟6；否則，current節(jié)點(diǎn)應(yīng)鏈接到more單向鏈表，轉(zhuǎn)入步驟9。

步驟6 修改lessTail指針使其指向current節(jié)點(diǎn)。如果lessHead為空，則轉(zhuǎn)入步驟7；否則轉(zhuǎn)入步驟8。

步驟7 將current節(jié)點(diǎn)鏈接為less單向鏈表的首節(jié)點(diǎn)。

步驟8 將current節(jié)點(diǎn)鏈接為less單向鏈表的尾節(jié)點(diǎn)。

步驟9 修改moreTail指針使其指向current節(jié)點(diǎn)。如果moreHead為空，則轉(zhuǎn)入步驟10；否則轉(zhuǎn)入步驟11。

步驟10 將currnet節(jié)點(diǎn)鏈接為more單向鏈表的首節(jié)點(diǎn)。

步驟11 將currnet節(jié)點(diǎn)鏈接為more單向鏈表的尾節(jié)點(diǎn)。

步驟12 將current節(jié)點(diǎn)移動到單向鏈表的下一個節(jié)點(diǎn)。

步驟13 如果more單向鏈表不為空，則轉(zhuǎn)入步驟14；否則轉(zhuǎn)入步驟18。

步驟14 標(biāo)記more單向鏈表的結(jié)束位置，即置moreTail的next域?yàn)榭铡?/p>

步驟15 遞歸調(diào)用本算法，繼續(xù)劃分more單向鏈表，傳入moreHead和moreTail。

步驟16 將經(jīng)過遞歸排序的more單向鏈表鏈接到樞軸節(jié)點(diǎn)后。

步驟17 修改listTail指針使其指向more－Tail，以便本層遞歸結(jié)束后供上層遞歸過程使用。

步驟18 由于more單向鏈表為空，則樞軸節(jié)點(diǎn)便是尾節(jié)點(diǎn)，即置listHead的next域?yàn)榭铡?/p>

步驟19 修改listTail指針使其指向listHead。

步驟20 如果less單向鏈表不為空，則轉(zhuǎn)入步驟21；否則轉(zhuǎn)入步驟24。

步驟21 標(biāo)記less單向鏈表的結(jié)束位置，即置lessTail的next域?yàn)榭铡?/p>

步驟22 遞歸調(diào)用本算法，繼續(xù)劃分less單向鏈表，傳入lessHead和lessTail。

步驟23 將經(jīng)過遞歸排序的less單向鏈表鏈接到樞軸節(jié)點(diǎn)前。

步驟24 由于less單向鏈表為空，則樞軸節(jié)點(diǎn)便是首節(jié)點(diǎn)，即置lessHead為listHead。

步驟25 本層遞歸結(jié)束，返回lessHead。

4 實(shí)驗(yàn)測試

4.1 與單向鏈表排序算法實(shí)測比較

當(dāng)前廣泛用于單向鏈表且時間復(fù)雜度為O（nlog2n）的排序算法僅有 Two－way MergeSort一種［5］，因此在實(shí)驗(yàn)測試中，選擇該算法作橫向比較，無序數(shù)據(jù)量分別取25 k、50 k、75 k、100 k和500 k，數(shù)據(jù)呈均勻隨機(jī)分布，范圍為［0，數(shù)據(jù)量＊2）的正整數(shù)［9～12］。使用 C＃2010編譯，在Intel i5 750（2.66 GHz）上運(yùn)行。取5個不同的隨機(jī)數(shù)據(jù)集，每個數(shù)據(jù)集測試10次，計算算術(shù)平均值，結(jié)果如表1所示。

Table 1 Test data 1表1 實(shí)測數(shù)據(jù)一

由表1可知，針對單向鏈表排序，本文所述算法比Two－way MergeSort算法效率平均提升約26.85%。

4.2 與線性表QuickSort算法實(shí)測比較

由于線性表QuickSort算法樞軸節(jié)點(diǎn)的選取有多種方式［4～6］，為了避免由于樞軸節(jié)點(diǎn)選取的不同而導(dǎo)致排序效率的差異［4～6］，需要一致的比較基礎(chǔ)，故本文選擇了使用首節(jié)點(diǎn)作為樞軸節(jié)點(diǎn)的線性表QuickSort算法作為對比算法，測試數(shù)據(jù)量、分布、范圍以及測試方法均與4.1節(jié)相同，結(jié)果如表2所示。

Table 2 Test data 2表2 實(shí)測數(shù)據(jù)二

由表2可知，針對相同數(shù)據(jù)，本文所述算法比基于線性表的QuickSort算法效率平均提升約11.38%。

5 結(jié)束語

綜上所述，本文所述算法的平均時間復(fù)雜度（包含最優(yōu)及最差情況）為O（nlog2n），已達(dá)到基于比較的排序算法的時間復(fù)雜度的理論極限；其輔助空間復(fù)雜度為O（0），即無任何輔助空間開銷；平均遞歸?？臻g復(fù)雜度為O（log2n），達(dá)到了除尾遞歸［7～8，13，14］以外的最小遞歸?？臻g復(fù)雜 度。因此，本文所述算法的優(yōu)勢是高效率、低開銷，各項指標(biāo)較為均衡，是當(dāng)前時間復(fù)雜度等于或接近O（nlog2n）排序算法中為數(shù)不多的可應(yīng)用于單向鏈表的排序算法之一。不足之處是由于單向鏈表不可索引，故劃分算法中不能像基于線性表的QuickSort算法那樣選取中值節(jié)點(diǎn)［4～6］作為樞軸節(jié)點(diǎn)。根據(jù)文獻(xiàn)［5］的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，基于線性表的QuickSort算法使用中值節(jié)點(diǎn)作為樞軸節(jié)點(diǎn)后，在均勻和高斯隨機(jī)數(shù)據(jù)分布狀態(tài)下，實(shí)測有2%～4%的效率提升。

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