羅日成，黃彪，楊映滋

（長(zhǎng)沙理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，長(zhǎng)沙410014）

當(dāng)N+1≤n≤2N時(shí)：

式中：B=[b1，b2，…，bq]T稱(chēng)為導(dǎo)向矢量矩陣，bq=

由式（6）可得下一線陣接收的數(shù)據(jù)向量為

取向量X′為PSO算法中粒子的位置向量以及自適應(yīng)算法中的權(quán)值向量。顯然信號(hào)的幅值與相角信息都包含在粒子的位置向量X′中，由PSO算法結(jié)合自適應(yīng)算法利用協(xié)同進(jìn)化的方式對(duì)向量X′進(jìn)行優(yōu)化，借以提高算法的收斂速度與粒子的位置向量的準(zhǔn)確度，減小陷入局部極值的概率。

雙種群PSO結(jié)合MSWF-ESPRIT的間諧波參數(shù)分析

羅日成，黃彪，楊映滋

（長(zhǎng)沙理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，長(zhǎng)沙410014）

針對(duì)間諧波不易檢測(cè)的特點(diǎn)，該文提出了一種新的間諧波參數(shù)分析方法。首先利用多維納濾波器的旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)估計(jì)信號(hào)參數(shù)方法MSWF-ESPRIT（estimation of signal parameters via rotational invariance techniques based of multiple stage wiener filter）對(duì)間諧波信號(hào)進(jìn)行頻率估計(jì)，然后再利用粒子群算法PSO（particle swarm optimization）結(jié)合自適應(yīng)最小均方LMS（least mean square）算法以?xún)煞N群協(xié)同進(jìn)化的方式對(duì)間諧波信號(hào)的幅值與相角進(jìn)行估計(jì)。雙種群自適應(yīng)PSO算法的提出提高了算法的收斂速度與粒子位置向量的準(zhǔn)確度，減小了陷入局部極值的概率。仿真結(jié)果表明，MSWF-ESPRIT算法在較高信噪比下譜估計(jì)結(jié)果優(yōu)于總體最小二乘旋轉(zhuǎn)不變子空間。

間諧波；雙種群粒子群算法；協(xié)同進(jìn)化；多維納濾波器；旋轉(zhuǎn)不變子空間

近年來(lái)隨著非線性負(fù)荷的大量使用，導(dǎo)致電力系統(tǒng)中涌入了大量的諧波與間諧波電流，引起電力系統(tǒng)的電壓電流波形發(fā)生嚴(yán)重的畸變?？焖贉?zhǔn)確地檢測(cè)諧波與間諧波變得尤為重要[1]。

為了精準(zhǔn)地檢測(cè)諧波與間諧波，人們提出了很多方法，但各方法都存在一些缺陷，如文獻(xiàn)[2]傅里葉變換對(duì)諧波與間諧波參數(shù)估計(jì)時(shí)，實(shí)時(shí)性差以及計(jì)算量大、時(shí)間長(zhǎng)，當(dāng)不能實(shí)現(xiàn)同步采樣時(shí)極易出現(xiàn)頻譜泄露和柵欄效應(yīng)。文獻(xiàn)[3]小波變換雖然能夠克服傅里葉變換在時(shí)域完全沒(méi)有局部性，而在頻域完全局部性的缺點(diǎn)，但算法復(fù)雜，運(yùn)算速度較慢，也易出現(xiàn)頻譜混疊。文獻(xiàn)[4-5]神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)檢測(cè)方法，在隱含層節(jié)點(diǎn)選取上具有一定的盲目性，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)優(yōu)化較困難。

文獻(xiàn)[6]粒子群算法是一種通過(guò)初始化的群體以并行方式在搜索空間內(nèi)搜索，以個(gè)體的協(xié)作與競(jìng)爭(zhēng)進(jìn)行種群進(jìn)化。所以PSO具有良好的并行性與魯棒性。PSO結(jié)合自適應(yīng)算法以?xún)煞N群協(xié)同進(jìn)化的方式進(jìn)行搜索能夠有效減少迭代次數(shù)，提高了粒子的位置向量的準(zhǔn)確度[9-15]。文獻(xiàn)[7-8，16] ESPRIT算法是一種典型的現(xiàn)代譜估計(jì)算法，能有效避免譜峰搜索，同時(shí)與多維納濾波器的結(jié)合能有效地減小總體最小二乘旋轉(zhuǎn)不變子空間算法估計(jì)陳列數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣和對(duì)高階矩陣做特征值分解等步驟。本文利用基于多維納濾波器的旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)估計(jì)信號(hào)參數(shù)方法對(duì)間諧波信號(hào)的頻率進(jìn)行估計(jì)，進(jìn)而利用粒子群算法結(jié)合自適應(yīng)算法以?xún)煞N群協(xié)同進(jìn)化的方式對(duì)間諧波信號(hào)的幅值與相角進(jìn)行估計(jì)。通過(guò)上述算法的結(jié)合有效地對(duì)間諧波各參數(shù)進(jìn)行分析。

1 基于MSWF-ESPRIT的頻率估計(jì)原理

設(shè)采樣信號(hào)是由N個(gè)復(fù)正弦信號(hào)s（k）與噪聲信號(hào)u（k）組成，故表達(dá)式為

式中：k=0，1，…，M-1，M為采樣點(diǎn)數(shù)；Cn、wn、φn分別表示為第n個(gè)復(fù)正弦信號(hào)的幅值、頻率、初相角；u（k）表示為第k個(gè)信息采樣點(diǎn)中的噪聲。對(duì)式（1）進(jìn)行歐拉變換得

當(dāng)1≤n≤N時(shí)：

當(dāng)N+1≤n≤2N時(shí)：

取第k+1次接收的數(shù)據(jù)向量為Y1，則有

式中：0≤L≤q-1，q為采樣快拍數(shù)；P為陣元數(shù)。

根據(jù)式（2）可將式（5）變換為

式中：B=[b1，b2，…，bq]T稱(chēng)為導(dǎo)向矢量矩陣，bq=

由式（6）可得下一線陣接收的數(shù)據(jù)向量為

合并式（6）和式（7）可得

對(duì)式（8）的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解，并根據(jù)大特征值矢量與導(dǎo)向矢量矩陣的張成的信號(hào)子空間相等的性質(zhì)，存在一非奇異矩陣T[1]可求得

式中：VS1、VS2分別為數(shù)據(jù)向量Y1、Y2所在線性陣列的張成的信號(hào)子空間。顯然ψ與Φ具有相同的特征值，故求解頻率參數(shù)只需求解VS1、VS2兩矩陣便可。本文采用石宇提出基于多級(jí)維納濾波器的信號(hào)子空間擬合算法結(jié)合ESPRIT算法，從而減小了總體最小二乘旋轉(zhuǎn)不變子空間算法在求解VS1、VS2時(shí)對(duì)估計(jì)陣列數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣和對(duì)高階矩陣做特征值分解等步驟[7]。

基于MSWF-ESPIT的簡(jiǎn)諧波頻率參數(shù)估計(jì)主要步驟如下。

步驟1初始化多級(jí)維納濾波器的觀察數(shù)據(jù)與期望信號(hào)，即

步驟2求解由各級(jí)匹配濾波器hi組成的預(yù)濾波矩陣

與各級(jí)期望信號(hào)di。采用多級(jí)維納濾波器的前向分解特性求解，具體計(jì)算程序如下：

步驟3求解信號(hào)源估計(jì)值I^。

根據(jù)步驟2求解的各級(jí)期望信號(hào)di，可得似然函數(shù)[7]為

將上述似然函數(shù)代入基于MSWF的最小描述長(zhǎng)度MDL（minimum description length）準(zhǔn)則，即

當(dāng)MDL取得最小值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的I^便為信號(hào)源數(shù)，用字母r表示。

步驟4根據(jù)求解的預(yù)濾波矩陣TP與信號(hào)源數(shù)r求解矩陣VS1、VS2。

取預(yù)濾波矩陣中前r個(gè)匹配濾波器便可獲得信號(hào)子空間的估計(jì)VS。對(duì)所得矩陣VS分別刪除第一行與最后一行便可得所求矩陣。

步驟5頻率值估計(jì)。

由步驟4根據(jù)式（9）[16]求得ψ，得特征值λn，則可估計(jì)出信號(hào)的數(shù)字角頻率參數(shù)為

2 基于雙種群自適應(yīng)PSO的幅值與相角估計(jì)原理

2.1PSO算法的原理

在PSO算法中每個(gè)個(gè)體稱(chēng)為一個(gè)粒子，每個(gè)粒子包含了需要求解的全部信息量，m個(gè)粒子組成一個(gè)種群。每個(gè)粒子的特征由其位置向量Si與速度向量vi確定。通過(guò)PSO的適應(yīng)度函數(shù)值衡量粒子位置的好壞，并選取最好的粒子更新種群，最終求得滿(mǎn)足條件的粒子位置向量[6]。

在PSO算法的迭代過(guò)程中，更新粒子i速度與位置的公式[14]分別為

2.2 自適應(yīng)算法優(yōu)化PSO的幅值與相角估計(jì)

設(shè)采樣信號(hào)中f（k）為基波與諧波分量，g（k）為簡(jiǎn)諧波分量，則采樣信號(hào)可表達(dá)為

式中，I=N-G，N為復(fù)正弦信號(hào)的個(gè)數(shù)。

式（15）通過(guò)兩角和公式可得

根據(jù)式（19）取向量X′，即

式（19）可改寫(xiě)為

式中：

取PSO算法的適應(yīng)度函數(shù)為

式中，ε（k）為誤差函數(shù)，即

取向量X′為PSO算法中粒子的位置向量以及自適應(yīng)算法中的權(quán)值向量。顯然信號(hào)的幅值與相角信息都包含在粒子的位置向量X′中，由PSO算法結(jié)合自適應(yīng)算法利用協(xié)同進(jìn)化的方式對(duì)向量X′進(jìn)行優(yōu)化，借以提高算法的收斂速度與粒子的位置向量的準(zhǔn)確度，減小陷入局部極值的概率。

主要步驟如下。

步驟1初始化。

設(shè)置種群1的粒子個(gè)數(shù)為1，速度為0，初始化位置向量，即自適應(yīng)算法的權(quán)值向量X′。設(shè)置種群2的粒子個(gè)數(shù)為60，初始化各粒子的位置Si與速度vi，速度更新范圍的限定值，以及常數(shù)a1、a2，最大迭代次數(shù)jmax，自適應(yīng)算法中的學(xué)習(xí)率μ，閾值Tol。

步驟2計(jì)算誤差函數(shù)與每個(gè)粒子的適應(yīng)度函數(shù)值，獲得粒子的個(gè)體極值與種群的全局極值。

步驟3種群2根據(jù)式（15）、（16）更新各粒子的位置和速度，并對(duì)速度進(jìn)行限制。種群1通過(guò)表達(dá)式X′j+1=X′j+με（k）Rk[10]，更新向量X′，式中j為迭代次數(shù)。

步驟4計(jì)算更新后的種群2中每個(gè)粒子的適應(yīng)度函數(shù)值，選取最優(yōu)的個(gè)體極值與全局極值。

步驟5比較兩種群最優(yōu)的適應(yīng)度函數(shù)值，最佳者所對(duì)應(yīng)的粒子的位置向量賦值給兩種群中所有粒子的位置向量。判斷最佳的f是否小于閾值Tol，若沒(méi)有，迭代次數(shù)加1，返回步驟2，否則結(jié)束程序。通過(guò)上述步驟可獲取最佳位置向量

則基波的幅值和相角為

諧波與簡(jiǎn)諧波的幅值與相角分別為

3 仿真與實(shí)例分析

模擬電網(wǎng)信號(hào)，選取仿真信號(hào)如下：

該信號(hào)共由4個(gè)頻率成分組成，各頻率分別為50.2 Hz（基波）、150 Hz（3次諧波）、250 Hz（5次諧波）、81 Hz和211 Hz（間諧波）。文獻(xiàn)[3]因?qū)嶋H電網(wǎng)信號(hào)中諧波與間諧波的幅值相對(duì)基波較小，故各次諧波和間諧波的幅值都控制在基波的2%以?xún)?nèi)?？臻g譜分析時(shí)取陣元數(shù)40，采樣點(diǎn)數(shù)為300，采樣頻率為3 000 Hz。向仿真信號(hào)中分別加入信噪比SNR= 50 dB與SNR=15 dB的高斯白噪聲，間諧波頻率估計(jì)結(jié)果如表1所示。表1中分別列舉了基于MSWFESPRIT算法、總體最小二乘旋轉(zhuǎn)不變子空間算法以及多重信號(hào)分類(lèi)算法MUSIC（multiple sginal classification）在間諧波頻率參數(shù)估計(jì)仿真結(jié)果。

表1 頻率參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.1Results of frequency estimation

由表1中“-”表示此頻率成分未被識(shí)別，根據(jù)表1的估計(jì)結(jié)果可知本文提出的基于MSWFESPRIT算法對(duì)頻率參數(shù)的估計(jì)準(zhǔn)確度在較高信噪比下高于總體最小二乘旋轉(zhuǎn)不變子空間算法與MUSIC算法，同時(shí)在低信噪比下MSWF-ESPRIT算法的估計(jì)準(zhǔn)確度與總體最小二乘旋轉(zhuǎn)不變子空間算法相近，但仍?xún)?yōu)于MUSIC算法。

選取自適應(yīng)LMS算法，粒子群算法，基于遞歸最小二乘RLS（recursive least squares）算法的Adaline神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[16]以及本文提出的雙種群自適應(yīng)PSO算法分別對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行幅值與相角估計(jì)，得到三者的收斂曲線，如圖1所示。

圖1 基于LMS、PSO、Adaline與LMS-PSO算法的收斂曲線Fig.1Convergence curve base on LMS、PSO、Adaline and LMS-PSO

圖1與表2中LMS-PSO表示雙種群自適應(yīng)PSO算法，Adaline表示基于RLS算法的Adaline神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。由圖1可得，雙種群自適應(yīng)PSO算法相對(duì)PSO算法迭代次數(shù)減少，同時(shí)精確度是所有算法中最高。

利用4種算法分別獲取的幅值與相角參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表2所示。根據(jù)圖1與表2可知，雙種群自適應(yīng)PSO能精確得到參數(shù)估計(jì)值，明顯優(yōu)于PSO與LMS算法以及Adaline神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，證明了該算法的優(yōu)越性。

表2 幅值與相角參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.2Results of amplitude and phase estimation

4 結(jié)語(yǔ)

MSWF-ESPRIT算法在間諧波參數(shù)估計(jì)上的應(yīng)用減小了總體最小二乘旋轉(zhuǎn)不變子空間算法估計(jì)陳列數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣和對(duì)高階矩陣做特征值分解等步驟，同時(shí)在較高的信噪比下其譜估計(jì)結(jié)果亦優(yōu)于總體最小二乘旋轉(zhuǎn)不變子空間。雙種群自適應(yīng)PSO算法的提出提高了算法的收斂速度與粒子的位置向量的準(zhǔn)確度，減小了陷入局部極值的概率。

[1]高培生（Gao Peisheng）.電力系統(tǒng)中的間諧波頻譜分析（Spectrum Analysis of Interharmonics in Electric Power System）[D].浙江：浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院（Zhejiang：College of Electrical Engineering，Zhejiang University），2008.

[2]楊洪耕，惠錦，侯鵬（Yang Honggeng，Hui Jin，Hou Peng）.電力系統(tǒng)諧波和間諧波檢測(cè)方法綜述（Detection methods of harmonics and inter-harmonics in power system）[J].電力系統(tǒng)及其自動(dòng)化學(xué)報(bào)（Proceedings of the CSU-EPSA），2010，22（2）：65-69.

[3]李新，陳文禮，侯興哲，等（Li Xin，Chen Wenli，Hou Xingzhe，et al）.支持向量機(jī)結(jié)合TLS-ESPRIT的間諧波參數(shù)估計(jì)（Interharmonics estimation using SVM and TLS-ESPRIT）[J].電力系統(tǒng)及其自動(dòng)化學(xué)報(bào)（Proceedings of the CSU-EPSA），2012，24（2）：67-71.

[4]林達(dá)斌，江亞群，黃純，等（Lin Dabin，Jiang Yaqun，Huang Chun，et al）.一種新的諧波、間諧波參數(shù)估計(jì)算法（A new algorithm to estimate parameters of harmonics and interharmonics）[J].電網(wǎng)技術(shù)（Power System Technology），2012，36（6）：170-174.

[5]駱鶴松，駱?biāo)彛↙uo Hesong，Luo Shuilian）.電力系統(tǒng)諧波研究綜述（The over view of study on harmonics in electric power system）[J].工業(yè)儀表與自動(dòng)化裝置（Industrial instrumentation&Automation），2011，5（5）：64-67.

[6]秦全德（Qin Quande）.粒子群算法研究及應(yīng)用（Research on Particle swarm Optimization Algorithm and Applications）[D].廣州：華南理工大學(xué)工商管理學(xué)院（Guangzhou：School of Business Administration，South China University of Technology），2011.

[7]石宇（Shi Yu）.陣列信號(hào)處理中信號(hào)參數(shù)估計(jì)的研究（Sources Parameters Estimation Based on Array Signal Processing）[D].吉林：吉林大學(xué)通信工程學(xué)院（Jilin：College of Communication Engineering，Jilin University），2008.

[8]張君俊，楊洪耕（Zhang Junjun，Yang Honggeng）.間諧波參數(shù)估計(jì)的TLS-ESPRIT算法（TLS-ESPRIT for interharmonic estimation）[J].電力系統(tǒng)及其自動(dòng)化學(xué)報(bào)（Proceedings of the CSU-EPSA），2010，22（2）：70-75.

[9]呂振林，田嵐（Lü Zhenlin，Tian Lan）.基于一種新型自適應(yīng)濾波的諧波檢測(cè)算法（Harmonic detecting algorithm based on a novel adaptive filter）[J].電力系統(tǒng)及其自動(dòng)化學(xué)報(bào)（Proceedings of the CSU-EPSA），2007，19（5）：75-78.

[10]李萍萍，裴炳南，胡立軍（Li Pingping，Pei Bingnan，Hu Lijun）.改進(jìn)的自適應(yīng)LMS算法（Improved adaptive LMS algorithm）[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用（Computer Engineering and Applications），2011，47（13）：134-135.

[11]Wang Li，Wang Xiaohua.Application of neural network in power system inter-harmonic detection[C]//Third International Symposium on Information Science and Engineering.Changsha，China：2010.

[12]楊浩，李星辰，羅建（Yang Hao，Li Xingchen，Luo Jian）.自適應(yīng)技術(shù)在電力系統(tǒng)諧波提取中的應(yīng)用（Applicationof digital adaptive sinusoidal filter in the extraction of harmonic in power system）[J].電力系統(tǒng)及其自動(dòng)化學(xué)報(bào)（Proceedings of the CSU-EPSA），2010，22（2）：99-102.

[13]Cirrincione M，Pucci M，Vitale G，et al.Current harmonic compensation by a single-phase shunt active power filter controlled by adaptive neural filtering[J].IEEE Trans on Industrial Electronics，2009，56（8）：3128-3143.

[14]李亞非，曹長(zhǎng)虎（Li Yafei，Cao Changhu）.基于粒子群優(yōu)化和遺傳算法的協(xié)同聚類(lèi)算法（Collaborative clustering algorithm based on particle swarm optimization and genetic algorithm）[J].計(jì)算機(jī)工程（Computer Engineering），2011，37（16）：167-169.

[15]Dimitris G M，Vinay K I，Stephen M K.統(tǒng)計(jì)與自適應(yīng)信號(hào)處理[M].周正，顧仲梅譯.北京：電子工業(yè)出版社，2003.

[16]陳國(guó)志（Chen Guozhi）.電力諧波和間諧波參數(shù)估計(jì)算法研究（Parameters Estimation Algorithm for Electrical Harmonics and Interharmonics）[D].杭州：浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院（Hangzhou：College of Electrical Engineering，Zhejiang University），2010.

Inter-harmonics Parameter Analysis via Double Population PSO and MSWF-ESPRIT

LUO Ri-cheng，HUANG Biao，YANG Ying-zi
（School of Electrical&Information Engineering，Changsha University of Science and Technology，Changsha 410014，China）

Since inter-harmonics can hardly be detected，a new method for inter-harmonics parameter analysis is proposed.Initially，the rate of inter-harmonics signal can be estimated by MSWF-ESPRIT.Then the PSO algorithm combined with adaptive LMS via the approach of double the population co-evolutionary is applied to estimate the amplitude and phase of the inter-harmonics.The proposed double population adaptive PSO enhances the speed of the convergence and the accuracy of the particle's position，and decreases the probability of being trapped in the local extremum. The simulation result illustrated that MSWF-ESPRIT algorithm is better than the total least square-estimation of signal parameters via rotational invariance techniques under the relatively higher SNR spectrum circumstance.

inter-harmonics；double population particle swarm optimization；co-evolutionary；multiple stage wiener filter；subspace via rotational invariance

TM712

A

1003-8930（2014）08-0012-05

羅日成（1969—），男，博士，副教授，研究方向?yàn)殡娏υO(shè)備故障監(jiān)測(cè)與診斷新技術(shù)、電能質(zhì)量等。Email：luorich@126.com

2012-11-21；

2013-04-02

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（50977003）

黃彪（1986—），男，碩士研究生，研究方向?yàn)殡娔苜|(zhì)量及數(shù)字信號(hào)處理。Email：hb798246523@126.com

楊映滋（1986—），男，碩士研究生，研究方向?yàn)殡娏υO(shè)備故障監(jiān)測(cè)與診斷新技術(shù)。Email：371749537@qq.com