李祥， 王旭煥,2*

(1.保山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 保山 678000；2.萍鄉(xiāng)學(xué)院 教育科學(xué)系，江西 萍鄉(xiāng) 337055)

分?jǐn)?shù)階微積分是一個古老而又新鮮的概念,早在整數(shù)階微積分創(chuàng)立的初期，就有一些數(shù)學(xué)家開始考慮它的含義，如L'Hospital，Leibniz等，然而由于缺乏應(yīng)用背景支撐等多方面的原因，它長期以來并沒有得到較多的關(guān)注和研究.最近，關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程的研究引起了廣泛的重視，有關(guān)的研究和文獻(xiàn)增加很快[1-7].微分方程反周期脈沖邊值問題是微分方程的一個重要分支[8]，同時也是研究解決生物學(xué)、生物學(xué)、物理學(xué)和工程技術(shù)中實(shí)際問題的重要工具.因此，分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程也越來越被人們關(guān)注[9-17].

對于脈沖分?jǐn)?shù)階半線性問題的研究目前結(jié)果很少,本文將研究下列半線性分?jǐn)?shù)階微分方程脈沖邊值問題解的存在性和唯一性.

(1)

1 預(yù)備知識

定義1.1 如果滿足方程(1)的條件，那么在區(qū)間J上存在函數(shù)u∈PC(J,R)是方程 (1) 的一個解.

定理1.2 (Krasnoselskii不動點(diǎn))設(shè)M是Banach空間X中的一個非空凸閉子集.假設(shè)A、B是兩個映射使得(i)對任意的x、y∈M有Ax+By∈M，(ii)A是全連續(xù)映射，(iii)B是一個壓縮映射，則存在至少一個z∈M，使得z=Az+Bz.

u(t)=C0+C1t+C2t2+…+Cn-1tn-1(Ci∈R,i=1,2,…n-1，n=[q]+1).

根據(jù)引理1.1，由此得出

(2)

引理1.2 若y∈[0,1]，函數(shù)u是下列半線性脈沖分?jǐn)?shù)階微分方程的解

(3)

當(dāng)且僅當(dāng)u可以表示為下列分?jǐn)?shù)階積分方程

(4)

證明設(shè)u是方程(3)的解，則根據(jù)(2)，有

(5)

其中c1∈R.若t∈J1，則

歸納得

因此，

因此，滿足方程(3)的解由(4)式給出,證畢.

2 主要結(jié)果

定義算子A:PC(J,R)→PC(J,R)如下：

(6)

應(yīng)用引理1.2，設(shè)y(t)=f(t,u(t))+λu(t)，則方程(1)轉(zhuǎn)化為不動點(diǎn)問題u=Au，其中A由方程(6)給出.因此，方程(1)有解就轉(zhuǎn)化為求算子A有不動點(diǎn).

證明首先，證明算子A:PC(J,R)→PC(J,R)是一個全連續(xù)算子.注意到T是連續(xù)的，因?yàn)閒和Ik連續(xù).再設(shè)Ω?PC(J,R)有界.則存在正常數(shù)Li(i=1,2,3)使得|f(t,u)≤L1|，|u(t)|≤L2，|Ik(u)|≤L3.從而?u∈Ω，有

(7)

這就隱含

另一方面，對任意t∈Jk，0≤k≤p，有

因此，對t1,t2∈Jk，t1

定義Ω={u∈PC(J,R)|‖u‖

定理2.2 假設(shè)f:[0,T]×X→X是一聯(lián)合聯(lián)系函數(shù)，若滿足下列條件

則方程(1)在J內(nèi)至少有一個解.

容易看出，如果x、y∈Br，則Ax+By∈Br.事實(shí)上，很容易驗(yàn)證下列不等式

根據(jù)條件(H1)、(H2)，有

根據(jù)Arzela-Ascoli 定理，A是相對緊的.再根據(jù)Krasnoselkii定理推出方程(1)在J內(nèi)至少存在一個解，證畢.

定理2.3 假設(shè)條件(H1)成立，且

(8)

則方程(1)存在唯一解.

證明對任意的u,v∈C(J)，有

其中Λ表示為(8).有‖Au-Av‖≤Λ‖u-v‖.由于Λ<1，因此，A是壓縮映射.因此，根據(jù)壓縮映射原理可以得證，方程(1)存在唯一解，證畢.

參 考 文 獻(xiàn):

[1] KILLBAS A A,SRIVASTAVA H M,TRUJILLO J J.Theory and applications of fractional differential equations[M].Amsterdam:Elsevier,2006.

[2] PODLUBNY I.Fractional differential equations[M].San Diego：Academic Press,1999.

[3] BAI Z B,H S LU.Positive solutions of boundary value problems of nonlinear fractional differential equation[J].J Math Anal Appl,2005,311(2):495-505.

[4] ZHOU Y,JIAO F.Nonlocal Cauchy problem for fractional evolution equations[J].Nonlinear Anal,2010,11(5):4465-4475.

[5] Li K X,Peng J G Jia J X.Cauchy problems for fractional differential equations with Riemann-Liouville fractional derivatives[J].J Funct Anal,2012,263(2):476-510.

[6] WANG R N,CHEN D H,XIAO T J.Abstract fractional Cauchy problems with almost sectorial operators[J].J Differential Equations,2012,252(1):202-235.

[7] WANG R N,XIAO T J,LIANG J.A note on the fractional Cauchy problems with nonlocal initial conditions[J].Appl Math Lett,2011,24(8):1435-1442.

[8] LAKSHMIKANTHAM V,BAINOV D D，SIMEOMOV P S.Theory of impulsive differential equatial equation[M].Singapore：World Scientific,1989.

[9] AHMAD B,ALSAEDI A.Existence of solutions for anti-periodic boundary value problems of nonlinear impulsive functional integro-differential equations of mixed type[J].Nonlinear Anal,2009,3(4):501-509.

[10]WANG G T,AHMAD B,ZHANG L H.Impulsive anti-periodic boundary value problem for nonlinear differential equations of fractional order[J].Nonlinear Anal,2011,74(3):792-804.

[11]WANG X H.Existence of solutions for nonlinear impulsive higher order fractional differential equations [J].E J Qualitative Theory of Diff Equ,2011 (80):1-12.

[12]WANG X H.Impulsive boundary value problem for nonlinear differential equations of fractional order[J].Comput Math Appl,2011,62(5):2383-2391.

[13]WANG J,LI X,WEI W.On the natural solution of an impulsive fractional differential equation of orderq∈[1,2][J].Commun Nonlinear Sci Numer Simula,2012,17(11):4384-4394.

[14]WANG X H,ZENG Q H.Impulsive anti-periodic boundary value problem of nonlinear fractional differential equations[J].Mathematica Applicata,2013,26(2):404-409.

[15]孫經(jīng)先.非線性泛函分析及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2008.

[16]周慧燕，陳廣貴，古傳運(yùn)，等.一類非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題多個正解的存在性[J].新疆師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，31(2)：77-84.

[17]鄭承民，徐偉.函數(shù)組線性相關(guān)性與齊次微分方程解空間的關(guān)系[J].新疆師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，32(1)：33-36.