梁璐莎， 陳斯養(yǎng)

(陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院，陜西 西安 710062)

0 引 言

模型解的漸進性態(tài).Gopalsamy[7]提出了如下中立型Logistic模型

文獻[8-12]對其解的漸進性態(tài)做了進一步的討論.在生態(tài)數(shù)學中，對于生命長、世代重疊并且數(shù)量很大的種群常近似采用微分方程模型，文獻[13-20]討論了多個具有時滯的連續(xù)性泛函微分方程解的漸近性態(tài)；對于生命短、世代不重疊或是生命長、世代重疊但其數(shù)量較少的種群經常采用差分方程模型.本文主要研究了具有時滯的連續(xù)中立型微分方程

對應的中立型Logistic差分方程

x(n+1)-x(n)=rx(n)(1-a1x(n)-a2(x(n+1-τ)-x(n-τ)))

(1)

當τ=1,2時正平衡態(tài)的存在唯一性和局部漸進穩(wěn)定性，分支的存在性及其方向和穩(wěn)定性等問題，其中r表示種群的內稟增長率，a1、a2表示種群在第n代、第n-τ代種群的密度制約系數(shù),r、a1、a2∈R+.特別地，當a2=0時，(1)式即為經典的Logistic模型.

1 正平衡態(tài)穩(wěn)定性與分支存在的條件

本節(jié)討論模型(1)在τ=1,2兩種情況下正平衡態(tài)的穩(wěn)定性以及分支存在的條件.

1.1 τ=1時正平衡態(tài)穩(wěn)定性與分支存在條件

將(1)寫作

(2)

y(n+1)=by(n)(1-y(n)+ay(n-1))

(3)

(4)

所以(4)對應的特征方程為

(5)

下面應用Jury判據[21]給出模型(3)正平衡態(tài)局部漸近穩(wěn)定的條件.

1.2 τ=2時正平衡態(tài)穩(wěn)定性與分支存在條件

當τ=2時，(1)式為

(6)

y(n+1)=by(n)[1-y(n)-ay(n-1)+ay(n-2)]

(7)

(8)

則(8)的特征方程為

p(λ)=λ3-(2-b)λ2-(a-ab)λ-(ab-a)=0

(9)

根據文獻[21]，得到模型(7)正平衡態(tài)局部漸近穩(wěn)定的條件.

證明：根據文獻[21]，若模型(7)滿足如下三個條件：

(Η1)|-2+b-ab+a|<1-a+ab;(Η2)|a-ab|<1;(Η3)|1-(ab-a)2|>a(b-1)2

以下對定理3中(1)的情況給出產生分支的條件，情況(2)，(3)的分支條件可同理給出.

2 分支的方向以及穩(wěn)定性和規(guī)范形

本節(jié)選取種群的內稟增長率r做無量綱變化后對應的參數(shù)b作為分支參數(shù)，利用分支理論和中心流形定理討論模型(3)和(7)Flip分支的方向和穩(wěn)定性，應用文獻[22]中的投影方法計算其中心流形.

2.1 τ=1時分支的方向以及穩(wěn)定性和規(guī)范形

τ=1時，將(3)式做如下變化：

(10)

(10)式在平衡態(tài)E(y*,y*)的臨界Jacobi矩陣

為了應用文獻[22]中的投影法計算中心流形，現(xiàn)將系統(tǒng)(3)化為如下形式

(11)

B(x,y)和C(x,y,z)在坐標下的分量分別為：

η→-η+cη3+O(η4)，

其中臨界規(guī)范性系數(shù)c決定反轉分支的非退化性，且可以預測周期2環(huán)的分支方向，系數(shù)c由下面公式給出：

(12)

根據以上理論，經計算得

B(x,y)=(-2bx1y1+ab(x1y2+x2y1),0)T，C(x,y,z)=0

將p,q代入上式可得

(13)

根據文獻[22]，可得如下定理：

2.2 τ=2時正平衡態(tài)穩(wěn)定性與分支存在條件

將(7)式做如下變化：

(14)

如下應用文獻[22]中的投影法計算中心流形，將系統(tǒng)(7)寫為如下形式

其中g1=bx1(1-x1-ax2+ax3)-(2-b)x1-(a-ab)x2-(ab-1)x3.類似2.1中計算可得

B(x,y)=(-2bx1y1-ab(x1y2+x2y1)+ab(x1y3+x3y1),0,0)T，C(x,y,z)=0

將p,q代入上式可得

(14)

根據文獻[22]，可給出如下定理6.

3 數(shù)值模擬

下面通過兩個舉例，運用Matlab軟件繪出模型解的圖形，驗證以上結論與條件的可實現(xiàn)性，并說明該模型動力學行為的復雜性.

例1τ=1時，最大Lyapunov指數(shù)圖以及取a=0.124 5,b0=2.557 1時，模型(3)隨b變化的分支圖(圖1)，取b=2.507 1b0的周期解圖(圖3)如下所示：

圖1隨b變化的最大Lyapunov指數(shù)圖和分支圖(τ=1)圖2b=2.507 1

Fig.1 The maximum Lyapunov exponent and bifurcation Fig.2 Stability solution map (b=2.507 1 map vs.the parameterb

圖3 b=2.567 1>b0周期解圖(τ=1) 圖4 隨b變化的Lyapunov指數(shù)圖和分支圖(τ=2)

例2τ=2時，最大Lyapunov指數(shù)圖以及取a=0.124 5,b1=3.663 1時，模型(7)對應隨b變化的分支圖(圖4)，b=3.662 6b1的周期解圖(圖6).

圖5 穩(wěn)定圖(b=3.662 6b1)(τ=2)

4 結 論

本文應用Jury判據、分支理論及中心流形投影等理論給出了Logistic中立型差分方程解的穩(wěn)定性及Flip分支的存在性以及穩(wěn)定性條件.通過數(shù)值模擬驗證了所得結論的正確性，并且包含了經典Logistic差分模型的結論(當a2=0時).在對方程參數(shù)做了細微的改動后，模型的性狀發(fā)生了巨大的變化進而出現(xiàn)混沌，可知模型的動力學行為的復雜性.

參 考 文 獻:

[1] 陳蘭蓀，宋新宇，路征一.數(shù)學生態(tài)學模型與研究方法[M].成都:四川科學技術出版社,2008.

[2] CUSHING J M.Integrodifferential equations and delay models in population dynamics[M].New York:Springer-Verlag,1977.

[3] MURRAY J D.Mathematical Biology[M].New York:Springer-Verlag,1989.

[4] OKUBO A.Diffusion and ecological problems:mathematical models[M].New York:Springer-Verlag,1980.

[5] WRIGHT E M.A nonlinear difference-differential equation[J].J.Reine Angew.Math,1955 (194):66-87.

[6] SMITH F E.Population dynamics in Daphnia magna and a new model for population growth[J].Ecology,1963 (44):651-663.

[7] GOPALSAMY K,ZHANG B G.On a neutral logistic equation [J].Dynamics and Stability of Systems，1988 (2):183-195.

[8] FREEDMAN H I,Kuang Y.Stability switches in linear scalar neutral delay equations[J].Funkcialaj Ekvacioj，1991 (34):187-209.

[9] GOPALSAMY K.Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics[M].Dordrecht:Kluwer Academic Publishers,1992.

[10]KUANG Y,On neutral delay two-species Lotka-Volterra competitive systems[J].J.Austral.Math.:Soc.Series B,1991 (32):311-326.

[11]KUANG Y.Delay differential equations with applications in population dynamics[M].New York:Academic Press,1993.

[12]KUANG Y,FELDSTEIN A.Boundedness of solutions of a nonlinear nonautonomous neutral delay equation[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1991 (156):293-304.

[13]劉敏，陳斯養(yǎng).具有收獲和分段常數(shù)變量的捕食-被捕食模型的分支分析[J].云南師范大學學報：自然科學版，2013,33(5):41-47.

[14]陳斯養(yǎng)，朱曉琳.具有時滯和分段常數(shù)變量的單種群收獲模型的分支分析[J].陜西師范大學學報：自然科學版，2013,41(2):1-4.

[15]陳斯養(yǎng)，劉曉娜.具有干擾和分段常數(shù)變量模型的穩(wěn)定性及分支[J].山東大學學報：理學版，2012,47(11):109-119.

[16]陳斯養(yǎng)，張艷.具有分段常數(shù)變量的捕食-被捕食模型的分支分析[J].蘭州大學學報：自然科學版，2012,48(3):103-117.

[17]張新峰，陳斯養(yǎng).一類具有時滯的捕食與被捕食模型的穩(wěn)定性和Hopf分支[J].云南師范大學學報：自然科學版，2012,32(1)：36-41.

[18]張俊麗，陳斯養(yǎng).一類具有時滯的廣義造血模型的Hopf分支[J].云南師范大學學報：自然科學版，2010,30(1):34-57.

[19]李玉紅，李海銀.一類具有比率依賴密度制約的離散非自治捕食-被捕食系統(tǒng)周期解的存在性[J].云南大學學報：自然科學版，2012，34(5)：497-502.

[20]王新慧，劉海鴻.具有抑制作用和離散時滯的捕食系統(tǒng)的Hopf分岔分析[J].云南民族大學學報：自然科學版，2012，21(4)：286-291

[21]JURY E I.Inners and stability of dynamic systems[M].New York:Wiley,1974.

[22]YURI A.Kuznetsov.Elements of applied bifurcation theory[M].New York:Springer-Verlag,1998.