許 輝, 周 奇

(中國艦船研究設計中心，湖北 武漢 430064)

多學科優(yōu)化中的近似模型及其在艇體結構優(yōu)化中的應用

許 輝, 周 奇

(中國艦船研究設計中心，湖北 武漢 430064)

近似技術是多學科設計優(yōu)化關鍵技術之一。系統(tǒng)介紹多學科設計優(yōu)化中常用的3種近似模型：響應面模型(Response Surface Methodology，RSM)、Kriging模型、徑向基函數(shù)(Radical Basis Function，RBF)模型。對比分析3類近似模型在典型數(shù)學函數(shù)不同維度下的擬合性能。結果表明，Kriging模型的綜合擬合性能最優(yōu)，RBF模型次之，RSM擬合性能不佳。在此基礎上，通過拉丁超立方試驗設計選取樣本點，基于Kriging模型構造潛艇平行舯體某艙段耐壓殼體結構響應的近似模型，應用粒子群優(yōu)化算法完成了耐壓殼體結構輕量化設計。最優(yōu)化設計方案質量較初始方案減少了11.99%。

近似模型；擬合性能；粒子群優(yōu)化；潛艇殼體；拉丁超立方試驗

0 引 言

目前，在艦船研制領域各學科相繼引進了各類先進的設計分析工具，如結構學科的Ansys，Abaqus，Nastran等；快速性學科的Fluent，Cfx、Shipflow等；耐波性學科的HYDROSTAR等；操縱性學科的Shipma，Napa等。這些設計分析工具的使用極大提高了設計效率和分析精度。然而，在進行多學科設計優(yōu)化過程中，通常需要很多次迭代才能得到最優(yōu)結果。數(shù)值仿真軟件在進行學科計算時，需要花費巨大的時間成本，這種基于數(shù)值仿真模型的多學科優(yōu)化求解，其計算耗時往往是設計者無法接受的。

自20世紀80年代Kleijnen提出近似模型概念以來，構建近似模型成為解決以上問題的有效途徑。Hefazi等[1]為快速性子學科構造響應面近似模型完成了三體船總體概念多學科優(yōu)化設計；Lam等[2]將Kriging模型應用于機翼氣動/結構多學科設計優(yōu)化問題中，有效地驗證了近似模型在實際工程中的應用價值；宋保維等[3]在魚雷外形優(yōu)化設計中采用基于試驗設計的響應面方法構造阻力系數(shù)比的二次響應面近似模型，設計出符合工程實際的魚雷外形；孫凱軍等[4]采用拉丁超立方抽樣試驗設計方法得到樣本點，并建立Kriging模型替代費時的流動模擬，進行高超聲速舵面平面形狀優(yōu)化設計；容江磊等[5]基于Kriging模型建立跑車尾翼斷面數(shù)學模型，在近似模型上進行全局尋優(yōu)，較大改善了跑車的空氣動力學性能。

耐壓殼作為潛艇核心設備的保護體，一旦耐壓殼出現(xiàn)結構破損，耐壓艙室進水，將引發(fā)各電子儀器、電池的短路失控，甚至發(fā)生電機擊穿導致整個電控系統(tǒng)毀滅以致潛艇失事的惡性事故，同時殼體重量、殼體結構尺寸對潛艇運行的平穩(wěn)性、快速性都起重要作用[8]。因此，研究合理的耐壓殼結構是潛艇總體設計中的結構學科專家所關心的重要問題。

本文介紹多學科設計優(yōu)化中常用的3種近似模型：響應面近似模型(ResponseSurface Methodology，RSM)、Kriging模型及徑向基函數(shù)(Radical Basis Function，RBF) 模型，對比分析3種近似模型對數(shù)學測試函數(shù)不同維數(shù)的擬合性能。然后，基于Kriging模型進行潛艇平行舯體某艙段耐壓殼體結構響應的近似模型：輸入變量的選??；以拉丁超立方試驗設計生成樣本點；基于ABAQUS進行的有限元建模與仿真分析；應力響應的提取及近似模型的全局與局部誤差檢驗。最后，應用粒子群優(yōu)化算法完成了耐壓殼體結構輕量化設計。

1 多學科近似模型

近似方法是通過插值或者擬合來構造近似模型，利用已知樣本數(shù)據(jù)來預測未知響應的數(shù)學方法。其構建過程主要如下：

1)篩選合適的設計變量

選定對輸出響應影響較大的輸入?yún)?shù)x=[x1,x2…xn]，并確定參數(shù)的上下限[xlow,xup]。

2)通過試驗設計方法選取樣本點

常用的試驗設計方法有全因子試驗(Full Factorial Design，F(xiàn)FD)、中心組合試驗(Central Composite Design，CCD)、正交數(shù)組試驗(Orthogonal Arrays Design，OAD)、拉丁超立方試驗設計(Latin Hypercube Design，LHD)等。

3)近似模型的構建與精度檢驗

在試驗設計選定的樣本點下，通過數(shù)學解析或仿真等獲取樣本點下的響應值，選取合適的近似模型，構建近似模型并進行精度分析。

目前，多學科設計優(yōu)化領域常用的近似模型主要包括RSM模型、Kriging模型和RBF模型。

1.1 響應面近似模型

響應面近似技術是數(shù)學方法和統(tǒng)計方法結合的產(chǎn)物，他通過多項式回歸表達式，依托最小二乘法來建立輸入變量與響應之間的函數(shù)表達式，是目前多學科設計優(yōu)化中常用的近似方法。

多項式響應面模型的基本形式如下：

(1)

式中：d為響應面的最高階數(shù)；β0，βi，βij…βii…i為逼近系數(shù)，通過最小二乘法求得。將樣本點的值代入響應面模型中，使得響應的預測值與真實值之間的誤差平方和最小。

β=[XTX]-1XTY。

(2)

式中：X=[X1…Xn]T；Xi為樣本點xi的分量與β次序對應構成的行向量；Y為由樣本點的響應值組成的列向量。

1.2 Kriging近似模型

Kriging模型是一種估計方差最小的無偏估計模型，它通過相關函數(shù)的作用，具有局部估計的特點。最早由南非地質學家Krige于1951年提出，并用于礦產(chǎn)資源的分布預測。后經(jīng)由sack等引入工程應用領域。

Kriging模型一般表示為[6]：

(3)

Cov[z(xi),z(xj)]=σ2R[R(xi,xj)]。

(4)

式中：R(xi,xj)為樣本點xi,xj之間的相關函數(shù)；R為對稱相關矩陣。相關函數(shù)有不同的形式，實際工程應用中，以Guassian函數(shù)最為常見：

(5)

(6)

式中：Y為由樣本點的響應值組成的列向量；F為n維列向量，當式中的g(x)簡化為常數(shù)時，F(xiàn)為單位列向量；rT(x)為n維列向量，代表預測點與樣本點之間的相關性，即：

rT(x)=[R(x,x1),R(x,x2),…R(x,xn)]T。

(7)

(8)

(9)

式(9)中描述的未知參數(shù)θk可通過極大似然估計方法求得，即：

(10)

通過上述無約束優(yōu)化問題的求解，可得到最優(yōu)擬合的Kriging模型。

1.3 徑向基函數(shù)近似模型

徑向基函數(shù)是一類以待測點與樣本點之間的歐氏距離為自變量的函數(shù)，其基本形式為[7]：

(11)

式中：w(x)=[w1,w2…,wn]T為權重系數(shù)；φ=[φ(r1),φ(r2),…，φ(rn)]T；ri=‖x-xi‖描述樣本點與待測點之間的歐氏距離。常用的徑向函數(shù)有多二次函數(shù)、逆多二次函數(shù)、薄板是徑向函數(shù)，樣條函數(shù)和高斯函數(shù)等。本文選用高斯函數(shù)，其數(shù)學表達式為：

(12)

式中δ為高斯函數(shù)的寬度。

待測點權系數(shù)使在滿足插值條件f(xj)=yj(j=1,2…n)下，通過轉換式求得：

w=φ-1·Y。

(13)

式中：

φ=[φij]=[φ(‖xi-xj‖)],Y=(y1,y2…yn)T。

2 三類近似模型的評價分析

2.1 評價指標

為了合理評價多學科設計優(yōu)化中的3種近似模型的全局和局部擬合性能，本文引入復相關系數(shù)和最大誤差作為評價指標。

1)復相關系數(shù)R2

(14)

2)最大誤差δME

(15)

δME反應近似模型局部擬合精度。其值越小，表明近似模型局部擬合性能越好。

2.2 典型函數(shù)不同維數(shù)下三類近似模型擬合精度

(16)

設計變量范圍為-1≤xi≤1。

當n=1時，采用拉丁超立方設計試驗方法在設計空間選取12個樣本點，分別運用RSM模型、Kriging模型、RBF模型對f(x)進行設計空間內的擬合，同時，在[-1,1]區(qū)間內隨機產(chǎn)生24個檢驗點對3種模型進行精度檢驗。圖1所示為n=1時3種近似模型擬合效果。

圖1 n=1時三類近似模型對測試函數(shù)擬合效果Fig.1 Three approximate model fitting results for n=1

由圖1可看出，與函數(shù)解析值相比較，RBF模型與Kriging模型擬合效果較好，RSM模型擬合程度稍微欠缺，但偏差度不大。

為探討三類近似模型對不同復雜度函數(shù)的擬合能力及發(fā)展趨勢，對比了維數(shù)n=1至n=5時，等樣本情況下三類近似模型擬合的擬合精度。圖2和圖3分別為三類近似模型的最大誤差δME和復相關系數(shù)R2。

圖2 三類近似模型對測試函數(shù)不同維數(shù)下擬合最大誤差Fig.2 Maximum error of three approximate models

圖3 三類近似模型對測試函數(shù)不同維數(shù)下擬合復相關系數(shù)Fig.3 Multiple correlation coefficient of three approximate models

由圖2和圖3可看出：

1)隨著維數(shù)的增加，三類近似模型的擬合精度均不同程度的降低。其中，隨非線性程度的增加，RSM模型擬合精度下降最明顯，當n=5時RSM模型擬合最大誤差達到60.518%，復相關系數(shù)降低至0.141，可認為擬合失敗。RBF模型與Kriging模型穩(wěn)定性比較接近。

2)相同維數(shù)下，Kriging模型的全局擬合能力和局部擬合能力略優(yōu)于RBF模型，RSM模型擬合性能最差。

3 近似模型在潛艇耐壓殼結構優(yōu)化中的應用

3.1 潛艇耐壓艙殼體結構優(yōu)化模型

潛艇殼體結構設計的目的是在使殼體的強度和穩(wěn)定性都滿足要求的條件下，盡量節(jié)約材料，減少整個殼體的重量。本文討論一型具有T型肋骨的水滴型核動力潛艇平行舯體某艙段殼體結構。已知殼體外徑R=5.05 m，總長L=110.3 m，潛艇極限下潛深度h=530 m，耐壓體采用HY-80高強度鋼，其屈服極限σs=548.8 MPa，楊氏模量E=2.9×105MPa，泊松比u=0.3，密度ρ=7 750 kg/m3。設計變量為殼體厚度60 mm≤t≤80 mm，肋骨間距1 m≤l≤1.2 m。優(yōu)化模型為：

(17)

式中：σ1≤0.85σs和σ2≤1.15σs分別為殼體強度約束；σ3≤0.55σs為肋骨強度約束；Pcr≥1.2Pj為總體穩(wěn)定性約束；Pj為殼體工作外載荷；σ1為肋骨跨距中點處殼板最大周向應力；σ2為肋骨處殼板橫截面上的相當應力；σ3為肋骨應力；Pcr為殼板整體失穩(wěn)時的實際臨界壓力。

3.2 潛艇耐壓殼體結構Kriging近似模型構造

若在上述優(yōu)化模型中，結構響應采用基于有限元的分析方法，在優(yōu)化迭代過程中需反復求解新的分析方程，并計算每次結構參數(shù)修改后的性態(tài)響應，計算成本過大。由上節(jié)典型數(shù)學函數(shù)不同維數(shù)下的對比分析可知，Kriging模型的擬合性能在三類近似模型中最優(yōu)，故選用Kriging模型訓練和構建耐壓殼體在均勻靜水壓力下各應力成分的近似模型。

通過LHD選取32個試驗樣本的，利用ABAQUS軟件參數(shù)化建模，獲取試驗樣本點下的響應值，建立輸入變量與性態(tài)響應之間的近似關系。

為驗證近似模型的擬合精度是否達標，在設計空間內隨機選取一組樣本點，綜合Kriging模型給出的預測值和有限元方法獲取真實響應值，求取Kriging模型的精度，整個過程如圖4所示。表1給出了LHD(32)下各響應值的擬合精度結果。

表1 精度分析結果

由表1可知，基于Kriging近似模型給出的預測

圖4 潛艇耐壓殼體結構輸出響應的近似模型構建與精度分析流程Fig.4 The flow chart of approximate models for shell hull of submarine

結果與有限元給出的預測結果一致性較好。潛艇耐壓殼體各項性態(tài)響應值的復相關系數(shù)均接近1，精度能滿足工程要求，可以用來優(yōu)化設計。圖5為肋骨跨距中點處殼板最大周向應力σ1與殼體厚度t，肋骨間距l(xiāng)形成的Kriging近似模型。

圖5 σ1與t，l間的Kriging近似模型Fig.5 The approximate models betweenσ1，t，l

3.3 優(yōu)化結果討論

為了獲取設計結果的全局最優(yōu)解，采用粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimization，PSO)作為尋優(yōu)策略。PSO通過模仿自然界中鳥類和魚類群體覓食遷徙中，個體與群體協(xié)調一致的機理，通過群體最優(yōu)方向、個體最優(yōu)方向和慣性方向的協(xié)調來求解優(yōu)化問題。優(yōu)化參數(shù)設定為：粒子數(shù)目為20，最大迭代次數(shù)100次，加速因子c1和c2均取2，慣性權值w=0.9。優(yōu)化結果與初始結果對比如表2所示。

由表2可看出，優(yōu)化設計質量比初始設計質量降低11.99%。將優(yōu)化結果帶入有限元分析程序，驗證了結構應力響應值滿足強度與穩(wěn)定性要求。表明優(yōu)化設計方案有效可靠。

表2 優(yōu)化結果

4 結 語

近似模型技術是解決復雜系統(tǒng)工程結構多學科設計優(yōu)化的必要方法。其常用于優(yōu)化迭代過程中替代高精度有限元仿真模型，獲取優(yōu)化設計的最優(yōu)解。對三類常用的多學科近似模型進行擬合性能研究，對比分析其對典型函數(shù)不同維數(shù)的擬合精度，結果表明，Kriging模型的綜合擬合性能最優(yōu)、RBF模型次之，RSM擬合性能不佳。以粒子群優(yōu)化算法完成潛艇耐壓殼體結構優(yōu)化設計，獲得了滿意的設計方案，為潛艇總體性能多學科優(yōu)化奠定了一定的基礎。

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Approximation methods of multidisciplinary design optimization and their application in shell hull of submarine

XU Hui, ZHOU Qi

(China Ship Development and Design Center,Wuhan 430064,China)

Approximation method is one of the key technologies for multidisciplinary design optimization of vessels. In this paper,three commonly approximation methods,including response surface method,Kriging,radical basis function are introduced concise. A comparison of three approximation for their fitting performance is conducted through a typical mathematical functions with different dimensions.The results shows that Kriging,with its optimum comprehensive performance,is best suitable for replacing finite element model,the radical basis function is in the middle position,while the approximation performance of response surface is poor.Then, Sample points selected by latin hypercube experimental design method,and a Kriging medols are constructed for shell struct of submarine. Error analysis showed that the models can meet the engineering application requirements.Finally, The structural lightweight design results are proposed base on the particle swarm optimization.Optimized design program quality decrease 11.99% compared to the weight of the initial design scheme.

approximation models;fitting performance;particle swarm optimization;shell structure of submarine;latin hypercube design experimental

2013-12-02;

2014-05-15

國防基礎科研重點資助項目

許輝(1980-)，女，工程師，從事艦船總體優(yōu)化研究。

U661

A

1672-7649(2014)12-0006-05

10.3404/j.issn.1672-7649.2014.12.002