董冠文, 李宗義, 趙彥軍, 黃建明, 王澤蔭,楊 龍, 張慶華, 杜建霞, 趙典凱

(甘肅機電職業(yè)技術學院，甘肅 天水 741001)

細長壓桿失穩(wěn)時最大撓度的確定*

董冠文, 李宗義, 趙彥軍, 黃建明, 王澤蔭,楊 龍, 張慶華, 杜建霞, 趙典凱

(甘肅機電職業(yè)技術學院，甘肅 天水 741001)

針對國內(nèi)工程力學教材普遍認為細長壓桿失穩(wěn)變形撓曲線線性化方程中的撓度值不確定的錯誤觀點，指出其對細長壓桿失穩(wěn)變形撓曲線線性化方程推導存在誤區(qū)，以兩端鉸支細長壓桿為例，建立了其失穩(wěn)變形撓曲線線性化方程后，又考慮了壓桿失穩(wěn)后兩端截面形心產(chǎn)生軸向位移參數(shù)，通過消參，確定了細長壓桿失穩(wěn)時最大撓度值。結(jié)果表明：壓桿失穩(wěn)后兩端截面形心產(chǎn)生軸向位移以及臨界壓力的確定這兩個條件缺一不可才能在線性化下確定細長壓桿失穩(wěn)時最大撓度值，撓度值的大小與軸向壓力直接有關。

失穩(wěn)變形；線性化；撓曲線

1 引 言

1744年，Euler首次提出了細長壓桿失穩(wěn)變形的彈性曲線問題，并用橢圓積分表示了細長壓桿失穩(wěn)變形撓曲線方程的精確解[1]。由于壓桿失穩(wěn)會導致整個結(jié)構(gòu)的毀壞，因此保證結(jié)構(gòu)及其桿件的穩(wěn)定在工程技術中有重大意義。這就是壓桿失穩(wěn)變形理論目前應用在許多領域的原因。例如，宇宙飛船的推進器各級之間的連接桿及機器人手臂[2]，沖裁凸模長度校核[17-18]等都是應用實例。由此可見，Euler的杰出貢獻推動了力學的發(fā)展，并使力學在許多工程領域得到了廣泛的應用。當其他人還在研究梁彎曲問題時，Euler提出了失穩(wěn)(側(cè)向彎曲)這個概念，不能不說是一個十分超前的貢獻。

目前國內(nèi)工程力學(含機械專業(yè)使用)教材在介紹壓桿穩(wěn)定這部分內(nèi)容時，對Euler在1744年首次提出的細長壓桿失穩(wěn)變形撓曲線方程的精確解很少提及，主要原因是用這種精確解來計算要隨時查閱橢圓積分表，給教學帶來不便[13]。工程力學教材[3-7]采用了建立線性化的細長壓桿失穩(wěn)變形撓曲線方程的方法闡述細長壓桿失穩(wěn)問題。但這樣做新的問題出現(xiàn)了，教材[3-7]認為細長壓桿失穩(wěn)變形撓曲線方程中的撓度值成了不確定的常數(shù)，可以成為任意值。一些學者撰文也認為細長壓桿失穩(wěn)本來就是其非線性力學行為造成的，用線性化理論近似處理一個原本為非線性問題是有局限的，因此線性化條件下不能確定撓曲線的撓度值[8-14]。

筆者以兩端鉸支細長壓桿為例，建立了其失穩(wěn)變形撓曲線線性化方程后，并考慮壓桿失穩(wěn)后兩端截面形心產(chǎn)生軸向位移參數(shù)，通過消參最終首次確定了細長壓桿失穩(wěn)時最大撓度值。糾正了上述線性化的細長壓桿失穩(wěn)變形撓曲線方程不能確定撓度值的錯誤觀點。

2 教材中壓桿失穩(wěn)變形撓曲線線性化方程推導的誤區(qū)

一般教材都以圖1兩端鉸支細長壓桿失穩(wěn)形態(tài)不考慮軸向位移，桿長是l，建立細長壓桿失穩(wěn)變形撓曲線線性化方程，得到撓曲線方程的通解為:

(1)

圖1 兩端鉸支細長壓桿失穩(wěn)形態(tài)(不考慮軸向位移)

將左端邊界條件x=0，w=0代入式(1)得：

B=0于是式(1)變?yōu)?

(2)

再將右端的邊界條件x=l，w=0代入式(2)得:

(3)

A為不為0的常數(shù)(若A=0，w=0，不產(chǎn)生彎曲)

由式(3)得：

n=0時，w=0，不發(fā)生彎曲。n=1時，壓力F為使兩端鉸支壓桿發(fā)生未彎變形的最小力，即最小臨界壓力為:

臨界壓力對應彎曲變形為半個正弦波曲線

(4)

式(1)～(4)是文獻[3]～[7]對細長壓桿失穩(wěn)變形撓曲線推導的過程，式(4)就是按照文獻[3]～[7]觀點推導得到的撓曲線方程。

(1) 誤區(qū)之一：在式(1)～(4)文獻[3]～[7]微彎條件下對細長壓桿失穩(wěn)變形撓曲線推導的過程中，可發(fā)現(xiàn)圖1的撓曲線(撓曲線就是細長壓桿側(cè)向彎曲的形態(tài)，所以撓曲線長為l)在x軸投影長為l，違反投影規(guī)律。

3 線性化細長壓桿失穩(wěn)變形撓曲線方程建立

為避免上述誤區(qū)，如圖2所示設兩端鉸支細長壓桿長為l，等截面，材料均勻，承受軸向壓力F的作用，軸向壓力F嚴格作用在壓桿截面的形心上。隨著軸向壓力F的增大，桿出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象，失穩(wěn)后(側(cè)向彎曲)的桿在x軸的投影長度恰好比桿本身長度l要短，此時壓桿兩端截面形心間產(chǎn)生了軸向位移，設其長度為λ，桿在x軸的投影長度為1-λ。代入將左端邊界條件x=0，w=0，得到的方程仍然為式(2)。

圖2 兩端鉸支細長壓桿失穩(wěn)形態(tài)(考慮軸向位移)

3.1 直線平衡狀態(tài)

要使Fcr最小，只能取n=1，于是最終得出：

(5)

3.2 微彎平衡狀態(tài)

因為剛度EI是常數(shù)，由最小臨界值變形得：

(6)

代入撓曲線方程式(2)得：

(7)

取一階導數(shù)得：

(8)

下面再求圖2中的λ值，如圖3所示。

圖3 從圖2中的撓曲線取出長為ds的微段

設沿撓曲線取一長為ds的微段如圖3所示，該段在x軸的投影為dx，于是有：

(9)

(10)

將式(8)代入式(10)，同時將式(10)代入式(9)

(11)

代入撓曲線式(7)得:

(12)

代將式(11)代入式(12)后，再將式(5)代入得最大撓度為:

于是撓曲線方程為:

(13)

4 擾動對穩(wěn)定性的影響

將其他狀態(tài)下的臨界壓力：

(14)

在與前面同樣的假設條件下，對壓桿施加擾動,要考慮縱-橫彎曲方程即：

(15)

現(xiàn)在對方程式(14)改寫為：

將上式代入式(15)得：

這里Fn是編號為n的臨界力，得到撓曲線的表達式：

(16)

(17)

式(17)說明不論擾動mn多么小，當F=Fn時撓度趨于無限大。事實上，將EI=Fnl2/n2π2代入式(16)，撓度恒為無限大，即平衡路徑不存在，所以只有最小臨界力才具有實際意義。

也就是說當FN

5 結(jié) 語

壓桿失穩(wěn)后兩端截面形心產(chǎn)生軸向位移以及臨界壓力的確定這兩個條件缺一不可才能在線性化下確定細長壓桿失穩(wěn)時最大撓度值，撓度值的大小與軸向壓力直接有關。在機械工程中，一些設備的桿件結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定導致產(chǎn)生撓曲線，不單純是由于軸向壓力大于最小臨界力造成的，同時也與軸向壓力大小是否保持在桿直線形態(tài)的范圍有關。

[1] 納什W A.[美]. 趙志剛譯.材料力學[M].北京：科學出版社，2002.

[2] 李世榮，孫 云，劉 平. 關于Euler-Bernoulli梁幾何非線方程的討論 [J]. 力學與實踐2013，35(2)：77-80.

[3] 宋 曦，趙永剛，馬連生. 材料力學[M]. 北京：科學出版社，2010.

[4] 蘇翼林.材料力學[M].天津：天津大學出版社，2001.

[5] 單輝祖.材料力學問題的例題與分析方法[M]. 北京：高等教育出版社，2006.

[6] 北京科技大學，東北大學.工程力學與材料力學合訂版(第4版)[M].北京：高等教育出版社，2008.

[7] 殷有泉，鄧成光. 材料力學[M]. 北京：北京大學出版社，1992.

[8] 張仲毅.細長壓桿臨界撓度確定性的簡單解釋[J]. 力學與實踐，1992，14(5)：60-62.

[9] 張仲毅.對細長壓桿臨界撓度確定性的簡單解釋結(jié)果的改進[J]. 力學與實踐，1996，18(8)：60-63.

[10] 張仲毅.臨界壓力下壓桿撓度的分析與討論[J]. 力學與實踐，1995，17(4)：73-74.

[11] 薛福林.談細長壓桿穩(wěn)定性問題[J]. 力學與實踐，1995，17(5)：65-66.

[12] 梁樞平，鄒時智.談細長壓桿穩(wěn)定性問題[J]. 力學與實踐，1997，19(4)：67-69.

[13] 吳 曉.細長壓桿大撓度問題非線性振動比擬[J]. 力學與實踐，1997，19(2)：71-72.

[14] 陳占清，孫明貴，李天診.從非線性動力學的視角認識細長壓桿的穩(wěn)定性[J]. 力學與實踐，2005，27(2)：40-43.

[15] 陳家駿.關于細長壓桿穩(wěn)定問題的注記[J]. 力學與實踐，1994，16(1)：62.

[16] 陳家駿.關于細長壓桿穩(wěn)定性問題的討論[J]. 力學與實踐，1997，19(5)：65-67.

[17] 李宗義.非封閉形孔沖裁的受力分析[J].制造業(yè)自動化，2012，34(9)：37-40.

[18] 董冠文.沖裁凸?？箟簭澞芰π：说奶接慬J].模具工業(yè)，2010，36(7)：31-36.

The Maximum Deflection Determination of Instability for Slender Columns

DONG Guan-wen, LI Zong-yi, ZHAO Yan-jun, HUANG Jian-ming, WANG Ze-yin,YANG Long, ZHANG qing-hua, DU Jian-xia, Zhao Dian-kai

(GansuMechanical&ElectricalVocationalCollege，TianshuiGansu741001，China)

Engineering mechanics teaching materials in domestic are generally accepted the fault idea that the deflection value of slender compressive bar buckling deformation flexural linearization equation is uncertain, the auther points out the buckling of slender compressive bar deformation flexural linearization equation is derived incorrectly. Taking both ends hinged slender compressive bars as an example, after established its flexural buckling deformation linearization equation, and then considering axial displacement parameters compressive bar instability on both ends of the central section, through eliminating the parameter, the maximum deflection of instability slender compressive bar is determined. Results show that axial displacement of the compressive bar instability on both ends of the central section and the critical pressure have necessary conditions to determine the maximum deflection value of slender compressive bar under the linear instability, the deflection value is directly related with the size of the axial pressure.

buckling deformation; linearization; flexural

2013-11-26

董冠文(1984-)，男，甘肅天水人，助理講師，主要從事模具結(jié)構(gòu)力學方面的教學工作。

O341

A

1007-4414(2014)01-0015-04