李海峰馬 力 曾 娟 劉海軍 彭大勇 趙文耀

(中國科學(xué)院水聲環(huán)境特性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100190)

1 引言

水聲低頻相控線陣是“單模(單號簡正波)”激發(fā)的關(guān)健硬件設(shè)備之一，是伴隨這一新概念性技術(shù)而生的新工具。通過開環(huán)或閉環(huán)算法控制相控陣單元的幅度及延遲，經(jīng)聲波相互疊加，可形成穩(wěn)定的單模聲場或有一定指向的多模聲場，實(shí)現(xiàn)較高能效比的遠(yuǎn)程目標(biāo)探測。現(xiàn)有的相控陣研究多集中在雷達(dá)方面，已經(jīng)非常成熟;在醫(yī)療超聲領(lǐng)域也有近三十年的研究歷史;在淺海水聲學(xué)方面，利用相控陣[1，2]進(jìn)行單模激發(fā)的理論、實(shí)驗(yàn)與應(yīng)用研究才剛起步。

自從上世紀(jì)70年代Bucker和Williams把簡正波理論(normalmode)[3]引入水聲傳播聲場計(jì)算以來，水聲傳播理論得到了飛速的發(fā)展，特別是淺海聲傳播的簡正波理論是非常重要的，加之現(xiàn)在聲納主要向低頻發(fā)展，更顯簡正波理論的重要性。八十年代美國的水聲專家 Clay和 Huang[4]以及Gazanhes和Garnier[5]分別在實(shí)驗(yàn)室水槽里進(jìn)行了相控陣激發(fā)單號簡正波(單模)的試驗(yàn)，采用高頻聲源，反饋陣于近場，得到了很好的試驗(yàn)結(jié)果。2008 年，2010 年俄羅斯學(xué)者[6，7]利用小孔徑垂直陣，結(jié)合空間濾波技術(shù)仿真研究垂直陣激發(fā)低號簡正波。在國內(nèi)，中國科學(xué)院聲學(xué)研究所首先解決了相控陣寬帶匹配[8]和一致性差問題，研制了用于淺海低頻的相控垂直陣，并進(jìn)行激發(fā)單號簡正波的實(shí)驗(yàn)，取得了非常好的效果。經(jīng)過近十年的理論與試驗(yàn)研究，在近距離上，單號模(簡正波1號，2號，3號)閉環(huán)激發(fā)能量比達(dá)到95%以上，開環(huán)激發(fā)能量比達(dá)到90%以上，形成了一系列相控陣權(quán)矢量近場(反饋距離＜3倍海深)控制算法。然而，利用相控陣進(jìn)行遠(yuǎn)程探測時(shí)，如何選擇所需的發(fā)射權(quán)矢量還缺乏深入的研究;對如何與常規(guī)主動(dòng)聲納進(jìn)行性能比較以及應(yīng)用什么樣的評估準(zhǔn)則還有待研究。

前期的理論研究與試驗(yàn)工作同時(shí)表明，只要不超過單個(gè)相控陣陣元的發(fā)射極限，通過權(quán)矢量能夠?qū)⑾嗫鼐€陣聲納與傳統(tǒng)主動(dòng)聲納統(tǒng)一起來。結(jié)合簡正波理論與信號估計(jì)檢測理論，本文將給出低頻相控陣的淺海遠(yuǎn)程傳播模型和性能評估方法。評價(jià)相控陣參數(shù)估計(jì)性能理論上有許多這樣的限，本文采用參數(shù)估計(jì)方差下限即 Cramer－Rao界(即CRB)。在國外，文獻(xiàn)[9－11]報(bào)導(dǎo)了已完成的相似工作。2001 年，Aleksandar[9]基于雷達(dá)(聲納)目標(biāo)模型，從純數(shù)學(xué)角度推導(dǎo)有源陣參數(shù)估計(jì)方差下限。1996年，Swingler[10]利用 CRB 評估兩緊鄰目標(biāo)到達(dá)波方位估計(jì)性能。2011年，Saurav[11]研究利用最大信息矩陣設(shè)計(jì)方位估計(jì)最優(yōu)陣形。在本文，首先推導(dǎo)相控陣為聲源的聲納目標(biāo)模型，其次，利用信息矩陣，建立參數(shù)估計(jì)CRB與權(quán)矢量關(guān)系式，最后，在輸入相同能量條件下，仿真比較不同權(quán)矢量遠(yuǎn)場控制效果。首先依據(jù)簡正波理論推導(dǎo)相控垂直陣聲源遠(yuǎn)程傳播模型，建立包含垂直陣權(quán)矢量的聲納目標(biāo)模型;結(jié)合經(jīng)典估計(jì)理論，推導(dǎo)復(fù)包絡(luò)數(shù)據(jù)的回波時(shí)延和多普勒的Fisher矩陣，然后計(jì)算參數(shù)估計(jì)Cramer－Rao界;得到相控陣權(quán)矢量與目標(biāo)參數(shù)估計(jì)CRB之間的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，結(jié)合相控陣總能量一定條件，仿真對比分析相控陣三種工作模式下常規(guī)聲納(單個(gè)陣元發(fā)射)、全1(陣等幅度發(fā)射)、單號模相控(1，2，3號模加權(quán)發(fā)射)的遠(yuǎn)程探測參數(shù)估計(jì)性能。

2 理論推導(dǎo)

本節(jié)從簡正波理論推導(dǎo)相控垂直陣遠(yuǎn)程傳播模型，獲得簡諧點(diǎn)聲源回波信號的頻域表示后反付立葉變換(FT)，推導(dǎo)包含發(fā)射權(quán)矢量的聲納目標(biāo)模型。結(jié)合經(jīng)典復(fù)數(shù)據(jù)估計(jì)理論，借助Fisher信息矩陣，推導(dǎo)統(tǒng)一在權(quán)矢量下相控陣距離估計(jì)與多普勒頻移估計(jì)方差理論下限。由于采取的是相控陣不同加權(quán)矢量發(fā)射和垂直水聽器陣接收，本文僅限于討論目標(biāo)距離與多普勒頻移估計(jì)問題。

2.1 相控陣簡正波傳播模型

在水平分層的海洋環(huán)境中，以 e－iωt形式作振動(dòng)的簡諧點(diǎn)聲源所激發(fā)的聲場被表示為(忽略時(shí)間因子 e－iωt)

式中z為場點(diǎn)的深度，r聲源的水平距離，z0為聲源深度，ψm是簡正波本征函數(shù)，H(1)0(·)是第一類零階Hankel函數(shù)，km為本征值。如果水平距離遠(yuǎn)大于海深h，那么p(r，z)表示成有限個(gè)簡正波的和，如下式:

其中PR是式中可忽略的部分。

簡正波方程的解是一個(gè)復(fù)雜的特征值問題，KRAKEN方法采用有限差分方法求解方程，可以得到快速精確的離散解。已知海洋環(huán)境參數(shù)(聲速剖面、海底海面聲學(xué)參數(shù))和點(diǎn)源的位置，聲源的頻率ω0，利用KRAKEN聲場計(jì)算程序可以計(jì)算出單頻點(diǎn)水聲信道簡正波本征函數(shù)ψm和本征值km。

對于一條沿深度分布N元低頻相控垂直線陣，其所激發(fā)的單頻聲場被表示為:

式中wn為相控陣各陣元發(fā)射系數(shù)，將式(3)中各項(xiàng)寫成矩陣形式，得到距低頻相控線陣水平距離r，接收深度zl的聲場表示為

其中 Q=[q1q2… qN]，W=[w1w2… wN]T，運(yùn)算符T為轉(zhuǎn)置運(yùn)算符，Q 里面元素 qn=。這樣，相控陣激發(fā)頻率為ω0的單頻信號，在聲場中點(diǎn)(r，zl)的頻率響應(yīng)值為

上式中考慮的是簡諧點(diǎn)聲源 S(ω)=δ(ω－ω0)。假設(shè)在(r，zl)處有目標(biāo)，則在接收信號處(0，zk)收到目標(biāo)回波信號，假設(shè)目標(biāo)反射對信號頻譜特性沒有發(fā)生改變，回波經(jīng)過接收信道響應(yīng)p(r，zk，zl)，反射波在接收點(diǎn)zk的信號頻譜為

需要指出，陣聲納的發(fā)射信號，可以通過權(quán)矢量W的幅度和延遲來控制相干疊加或消穩(wěn)，形成穩(wěn)定的同向相加聲場，減少在正向信道中衰減嚴(yán)重的能量激發(fā)，并使照射到目標(biāo)上能量盡可能大(即提高探測目標(biāo)入射波強(qiáng)度)，這對遠(yuǎn)程目標(biāo)探測是非常有意義的。通過權(quán)矢量W的不同取值，還可以討論常規(guī)主動(dòng)聲納，陣元全1發(fā)射和單模發(fā)射之間的能效，評估其優(yōu)劣。選擇相控陣聲納能效最優(yōu)的發(fā)射權(quán)矢量Wopt也是需要研究的問題，本文暫不討論。

2.2 參數(shù)估計(jì)的CRB

對相控陣聲納遠(yuǎn)程探測距離的無偏估計(jì)量的方差確定一個(gè)下限，這種性能評估方法提醒我們不可能求得方差小于下限的無偏估計(jì)量，這在信號處理的可行性研究中是常用的。存在許多的這樣的限(McAulay and Hofstetter 1971，Kendall and Stuart 1979，Seidman 1970，Ziv and Zakai 1969)，其中Cramer－Rao限(CRB)最容易確定。利用參數(shù)估計(jì)方差下限(CRB)，評估相控陣不同權(quán)矢量遠(yuǎn)程探測參數(shù)估計(jì)方差特性，首先要建立CRB與權(quán)矢量關(guān)系式，具體推導(dǎo)見附錄。開始推導(dǎo)前，對式(6)反FT變換轉(zhuǎn)化為時(shí)域信號，提取時(shí)域信號復(fù)包絡(luò)，并考慮加性噪聲，得到經(jīng)目標(biāo)反射接收到復(fù)基帶信號為:

其中x=Q(r，zl)W·TS·qk為接收信號復(fù)包絡(luò)幅度，τ為接收信號時(shí)延，ωD為接收信號多普勒頻移，e(t)為加性噪聲，式(7)為聲納(雷達(dá))目標(biāo)模型。從附錄式(A7)得相控陣權(quán)矢量與時(shí)延估計(jì)與多普勒估計(jì)CRB關(guān)系式如下:

由式(A7)可知，CRB(υ)可以簡單分成兩部分:(1)為回波信號幅度部分和噪聲;逆矩陣為信號形式相關(guān)得成反比，這樣就確立了相控垂直陣權(quán)矢量W與參數(shù)估計(jì)方差下限之間的理論關(guān)系。

由上面分析可知，通過提高入射聲強(qiáng)，理論上能夠使目標(biāo)參數(shù)估計(jì)的方差下限降低。然而對于主動(dòng)聲納來說，最大聲源級是受限的，也就是說，主部分，隱含模糊度函數(shù)概念。對于如何選擇發(fā)射信號的形式的第二部分，這里暫不討論。由式(A7)可動(dòng)聲納發(fā)射功率的增加并非無止境的(聲空化、低頻單換能器熱極限以及匹配網(wǎng)絡(luò)效率等限制)。多個(gè)陣元空間成陣最大功率發(fā)射能解決這個(gè)問題，但本文并不討論。本文討論的是在不超過單個(gè)換能器聲源極限條件下，消耗相同能量條件下，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的參數(shù)估計(jì)。用參數(shù)表示為WWH=C≤Ps下相控陣的參數(shù)估計(jì)性能。

3 仿真結(jié)果

仿真環(huán)境為:水深32.5 m，水中聲速1520 m/s。海底密度 1.8g/cm3，聲速 1680 m/s，縱波衰減1 dB/λ，信號為單頻脈沖信號。間距為1.5 m的21元相控陣，第一個(gè)換能器布于水下1.5 m，最后一個(gè)位于水下31.5 m。就近布放間距1.0 m的32元垂直水聽器陣，第一個(gè)距水面1 m，最后一個(gè)在水下32 m。在距離相控陣10 km處放置水聲應(yīng)答器模擬目標(biāo)反射，應(yīng)答器增益為0 dB。中心頻率為600 Hz時(shí)，簡正波號數(shù)為17，頻率900 Hz時(shí)，簡正波號數(shù)為25，模擬環(huán)境噪聲為高斯白噪聲，環(huán)境參數(shù)示意圖如圖1所示。

圖1 仿真聲場環(huán)境示意圖Fig.1 Schematic diagram of sound field simulating environment

仿真過程中，先根據(jù)KRAKEN聲場計(jì)算程序計(jì)算出簡正波本征函數(shù)ψm和本征值km，然后利用式(8)計(jì)算不同目標(biāo)深度，垂直水聽陣接收信號形式，比較相控陣相同輸入能量條件下，權(quán)矢量為單模(1，2，3號模)，全1和單個(gè)陣元模式下接收回波的強(qiáng)度。選取相控陣發(fā)射系統(tǒng)總能量C為1，相控陣陣元間一致性完好，此時(shí)全1發(fā)射權(quán)矢量為為N×1列1矩陣;對于單模發(fā)射，ψ(z)為本征函數(shù)沿深度采i樣，i=1，2，3;對于單個(gè)換能器權(quán)矢量為單個(gè) 1，并選取深度分別為上(9 m)、中(18 m)、下(27 m)三個(gè)位置相控陣陣元加權(quán)系數(shù)為1，其它陣元為0，權(quán)矢量記為W4、W5、W6進(jìn)行仿真比較。

相控陣各種權(quán)矢量發(fā)射模式具有相同的目標(biāo)回波特性，所以在利用簡正波分解時(shí)，只分析了反射目標(biāo)處虛擬垂直水聽器陣接收的入射聲場特性，討論不同權(quán)矢量發(fā)射下接收聲場強(qiáng)度。分別選擇目標(biāo)位置為10 km、20 km、30 km，兩種頻率 600 Hz、900 Hz仿真計(jì)算接陣得到的幅度歸一化聲能分布(以不同接收聲能中，最大值作歸一，仿真中沒有指明具體信噪比，只指出在相同噪聲級條件下，相控陣不同權(quán)矢量發(fā)射下，接收的信號分布)如圖2－7所示，圖中圖例為W0:權(quán)矢量為W0的全1模式;W1:權(quán)矢量為W1的1號模模式;W2:權(quán)矢量為W2的2號模模式;W3:權(quán)矢量為W3的3號模模式;W4:位于9 m深度單陣元模式，W5:位于18 m深度單陣元模式;W6:位于27 m深度單陣元模式。對W0相控陣發(fā)射模式的權(quán)矢量進(jìn)行簡正波分解，得到600 Hz、900 Hz，1－5 號模的能量系數(shù)如表1所示，總能量為1。

圖2 接收陣10 km處，600 Hz歸一化聲能Fig.2 Receiving normalized acoustical energy distribution of 600Hz at 10km

表1 全1發(fā)射權(quán)矢量簡正波分解1號-5號模能量Table 1 The normalmode decom position of W0

圖3 接收陣20 km處，600 Hz歸一化聲能Fig.3 Receiving normalized acoustical energy distribution of600 Hz at20 km

圖4 接收陣30 km處，600 Hz歸一化聲能Fig.4 Receiving normalized acoustical energy distribution of600 Hz at30 km

圖5 接收陣10 km處，900 Hz歸一化聲能Fig.5 Receiving normalized acoustical energy distribution of900 Hz at10 km

圖6 接收陣20 km處，900 Hz歸一化聲能Fig.6 Receiving normalized acoustical energy distribution of900 Hz at20 km

圖7 接收陣30 km處，900 Hz歸一化聲能Fig.7 Receiving normalized acoustical energy distribution of900 Hz at30 km

直觀上入射目標(biāo)的聲能越強(qiáng)，目標(biāo)參數(shù)估計(jì)的方差越小，同樣的，理論推導(dǎo)也證明了CRB也越小。由圖2－7可知，相同發(fā)射能量下，利用單個(gè)換能器實(shí)行遠(yuǎn)程目標(biāo)探測，其效果是非常差的，這里就不再討論了。W2、W3模式由于本征值km虛部較W1模式本征值值大(掠射角大)，具有較大衰減。遠(yuǎn)程探測時(shí)10 km處，600 Hz、900 Hz的2號?；旧纤p到1號模能量的50%，3號模衰減到1號模能量20%－30%。更遠(yuǎn)程探測時(shí)，由表1－表3可知，高號?；旧纤p掉了。由表1可知，W0模式權(quán)矢量簡正波分解1號模占86%左右，遠(yuǎn)程傳播后，表2－表3所示，基本上只剩下1號模了(95%以上)。

表2 600 Hz，相控陣全1權(quán)矢量發(fā)射，距離10 km，20 km，30 km簡正波分解Table 2 Phased array em itting 600 Hz signal，the normalmode decomposition results of receiver array at 10 km，20 km，30 km

表3 900 Hz，相控陣全1權(quán)矢量發(fā)射，距離10 km，20 km，30 km簡正波分解Tab le 3 Phased array em itting 900 Hz signal，the normalmode decomposition results of receiver array at 10 km，20 km，30 km

4 結(jié)論

基于簡正波理論推導(dǎo)了水聲低頻相控垂直線陣遠(yuǎn)程探測的聲傳播理論模型，將遠(yuǎn)程探測聲場統(tǒng)一成相控陣權(quán)矢量函數(shù)的形式。利用經(jīng)典估計(jì)與檢測理論，導(dǎo)出了目標(biāo)距離和多普勒頻移估計(jì)方差的理論下限表達(dá)式。理論和仿真分析結(jié)果表明，遠(yuǎn)程探測的相控陣模式相比于常規(guī)單陣元模式有較高的能效比，是相對高效的探測聲源。淺海水下波導(dǎo)中，相控陣單模加權(quán)發(fā)送，特別是1號模加權(quán)具有更遠(yuǎn)的探測距離和參數(shù)估計(jì)方差下限。

目前，本文僅仿真比較七種權(quán)矢量下相控陣發(fā)射結(jié)果，1號模權(quán)矢量發(fā)射下具有較好的遠(yuǎn)程探測性能，但是否是最優(yōu)的權(quán)矢量，還有待進(jìn)一步理論研究。

致謝本文工作內(nèi)容得到了聲學(xué)所高天賦研究員的指導(dǎo)，特此表示感謝。

[1]BUCK J R.Single Mode Excitation in the ShallowWater Acoustic Channel Using Feedback Control[D].Doctoral Dissertation of the Massachusetts Institute of Technology and the Woods Hole Oceanographic Institution.MIT/WHOI 97－07，1997.

[2]GINGRAS D F. Single mode excitation，attenuation，and backscatter in shallowwater[J].J.Acoust.Soc.Am.，1998，103(1):195－204.

[3]WILLIAMS A.O. Normal－mode methods in propagation of underwater sound[M].in Underwater Acoustics.NewYork:STEPHENSRWB(Wiley－Interscience)，1970.23－56.

[4]CLAY C S，HUANG K.Single mode transmission and acoustic backscatteringmeasurements in a laboratory waveguide[J].J.Acoust.Soc.Am.，1980，67(3):792－794.

[5]GAZANHES C，GARNIER J L.Experiments on single mode excitation in shallowwater propagation[J].J.Acoust.Soc.Am.，1981，69(4):963－969.

[6]GOLUBEVA E V，ELISEEVNIN V A.Generation of a single normal wave by a vertical linear array in the water layer[J].Acoustical Physics，2008，54(1):52－57.

[7]GOLUBEVA E V，ELISEEVNIN V A.Emission of a single normal wave by a vertical discrete linear array in the pekeris waveguide[J].Acoustical Physics，2010，56(1):66－71.

[8]高天賦，曾娟.壓電陶瓷發(fā)射換能器的Butterworth匹配定理[J].聲學(xué)學(xué)報(bào)，2006，31(4):297－304.GAO Tianfu，ZENG Juan.A theorem on Butterworth matching for piezoelectric ceramic emission transducer[J].ACTA ACUSTICA，2006，31(4):297－304.

[9]ALEKSANDAR D.Cramer－Rao bounds for estimating Range，velocity and direction with an active array[J].IEEE Trans on Signal processing，2001.6，49(6):1122－1137.

[10]SWINGLER D N，GREGORY S.A generalized approximation for the Cramer－Rao lower bound on direction－of—arrival estimates for a pair of closely spaced sources[J].J.Acoust.Soc.Am.，1996.8，100(2).Pt.1:918－924.

[11]SAURAV R，TULADHAR，JOHN R BUCK.Optimum array design to maximize Fisher information for bearing estimation[J].J.Acoust.Soc.Am.，2011.11，130(5):2797－2806.

附錄 CRB與相控陣權(quán)矢量關(guān)系式

從式(7)的聲納目標(biāo)模型出發(fā)推導(dǎo)相控陣時(shí)延估計(jì)和多普勒頻移估計(jì)方差的理論下限與相控陣發(fā)射權(quán)矢量關(guān)系式。為了方便數(shù)值分析，離散式(7)前，有如下信號噪聲模型和有效的基本假設(shè):

假設(shè)一個(gè)水聽器接收到已知復(fù)帶通信號(s(t)exp(jΩct)，Ωc調(diào)制角頻率)的擴(kuò)展的、多普勒頻移和時(shí)延的回波信號。并已知時(shí)延和多普勒頻移ΩD(假定目標(biāo)徑向定速移動(dòng))，目標(biāo)距離r和徑向速度vr有，c為聲速。定義連續(xù)信號s(t)的采樣信號s(n)=s(nΔt)，Δt是采樣間距。定義離散時(shí)延和多普勒頻移為nr=τ/Δt，ωD=ΩD·Δt。將回波信號采樣，變?yōu)殡x散時(shí)間為

這里，n=1，…，N包括整個(gè)相關(guān)處理間隔(CPI:Coherent processing interval)，TCPI=NΔt，x 是復(fù)包絡(luò)幅度(窄帶內(nèi)不變)，未知確定常數(shù)，e(n)是加性噪聲。式(A1)需滿足條件v/c?1，復(fù)包絡(luò)滿足WdT?c/2v(Wd帶寬，T脈寬，也就是說條件滿足后，則徑向速度對復(fù)幅度x的影響可忽略，歸結(jié)為窄帶信號假設(shè))。

式(A1)被稱為離散聲納(雷達(dá))目標(biāo)模型，這里假定x是確定的，然而，x亦是可以建模為零均值高斯隨機(jī)變量的。因?yàn)樵谝粋€(gè)CPI內(nèi)無需對x做過多的假設(shè)，所以不考慮多個(gè)CPI內(nèi)x的分布。根據(jù)式(A1)模型，從Fisher信息矩陣入手推導(dǎo)目標(biāo)時(shí)延估計(jì)，多普勒頻移估計(jì)的CRB表達(dá)式。將式(A1)寫成矢量形式如式(A2):

這里，υ=[ωDnτ]T，γ=[Re{x}Imag{x} υT]T，μ[n，γ]=x·exp(jωDn)s[n － nτ]，y=[y[1]T，y[2]T…y[N]T]T，e=[e[1]T，e[2]T…e[N]T]T，μ(γ)=[μ[1，γ]Τ，μ[2，γ]Τ…μ[N，γ]Τ]Τ，φ(υ)=μ(γ)/x，上角標(biāo)T是轉(zhuǎn)置運(yùn)算符。加性噪聲項(xiàng)e假定是零均值復(fù)高斯，方差為:E(ee*)=C，E(y)=μ(γ)，Cy=E(yy*)，上角標(biāo)*為共軛運(yùn)算符。根據(jù)復(fù)數(shù)據(jù)的經(jīng)典估計(jì)理論，復(fù)數(shù)據(jù)的復(fù)高斯概率分布函(PDF)數(shù)為

因Cy(υ)=C，可得Fisher信息矩陣:

式(A4)中各項(xiàng)偏導(dǎo)有如下表達(dá)式:

此時(shí)Fisher信息矩陣轉(zhuǎn)化為分塊矩陣為

從式(A5)可得，CRB(γ)=I(γ)－1，所以

這里只關(guān)心多普勒頻移ωD和時(shí)延項(xiàng)nτ，所以

上式逆矩陣中各元素為 Γij，i=1，2;j=1，2，具體如下:

由此可得

到此為止，本文推導(dǎo)了相控陣發(fā)射權(quán)矢量與參數(shù)估計(jì)方面差下限關(guān)系式。通過距離時(shí)間關(guān)系r=cτ/2，可以得到目標(biāo)距離估計(jì)的CRBrr與時(shí)延估計(jì)的CRBττ為