程軍圣，袁毅，喻鎮(zhèn)濤，袁輝

(1.湖南大學汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室長沙410082；2.東風汽車公司技術(shù)中心試驗部，湖北十堰441004)

一般尺度法的振動疲勞強化系數(shù)分析

程軍圣1，袁毅1，喻鎮(zhèn)濤2，袁輝2

(1.湖南大學汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室長沙410082；2.東風汽車公司技術(shù)中心試驗部，湖北十堰441004)

在Dirlik模型的基礎(chǔ)之上，結(jié)合一般尺度法（General scaling law）提出適用于平穩(wěn)寬帶隨機過程的疲勞強化系數(shù)模型。一般尺度法認為結(jié)構(gòu)在原始載荷和強化后載荷下的應力響應功率譜各階譜矩成簡單的線性關(guān)系；與Dirlik寬帶疲勞損傷模型結(jié)合，便得到適用于平穩(wěn)寬帶隨機過程的疲勞強化系數(shù)模型。為了驗證模型的有效性，分別在原始加速度功率譜和經(jīng)一般尺度法強化后的加速度功率譜載荷下；對懸臂梁采用雨流計數(shù)(Rainflow counting)和M iner損傷準則進行疲勞壽命預測，得到它們的疲勞強化系數(shù)，并與疲勞強化系數(shù)模型得到的疲勞強化系數(shù)進行對比。結(jié)果表明：提出的疲勞強化系數(shù)模型精度為99.7%，由此可驗證疲勞強化系數(shù)模型的有效性。

振動與波；一般尺度法；振動疲勞；疲勞強化系數(shù)；疲勞壽命預測

疲勞失效是指零件在經(jīng)歷一定循環(huán)加載之后，產(chǎn)生裂紋并最終失效（斷裂）[1]。在產(chǎn)品設(shè)計階段，對產(chǎn)品進行耐久性分析主要采用有限元法[2，3]；在產(chǎn)品檢驗階段，耐久性分析主要通過振動試驗臺試驗[4]。目前很多零件的疲勞壽命都超過107次循環(huán)，稱之為超高周疲勞零件[5]。對于這類零件，采用傳統(tǒng)的疲勞試驗方法是很耗時的。因此，尋求一種強化疲勞試驗方法來縮短試驗時間是非常必要的。

目前，國內(nèi)對于振動疲勞強化試驗中的關(guān)鍵技術(shù)—疲勞強化系數(shù)模型研究較少。國外只有Allegri研究了適用于平穩(wěn)窄帶隨機過程的疲勞強化系數(shù)模型[6]。Allegri對平穩(wěn)窄帶隨機過程的疲勞強化系數(shù)模型進行的推導存在兩個明顯問題，用隨機應力響應的均方根值代替S-N曲線中的應力值，用應力響應正穿越0點的次數(shù)代替單位時間的應力循環(huán)次數(shù)。以上兩點對于平穩(wěn)窄帶隨機過程可以很好解釋，在平穩(wěn)窄帶隨機過程中可認為應力循環(huán)的次數(shù)等于應力響應正穿越0點的次數(shù)；應力峰值分布只與功率譜密度的0階譜矩有關(guān)。對平穩(wěn)寬帶隨機過程而言，Dirlik提出的應力幅值概率密度模型與功率譜密度的0、1、2和4階譜矩都有關(guān)，而且單位時間內(nèi)應力循環(huán)正穿越0點的次數(shù)小于應力循環(huán)的次數(shù)。

一般尺度法[6]認為結(jié)構(gòu)在原始載荷下的應力功率譜和強化載荷后的應力功率譜具有相同的譜形狀和頻率范圍，而且使得它們所對應的譜矩具有相同比例關(guān)系。由于Dirlik疲勞損傷模型只與0、1、2和4階譜矩有關(guān)，所以結(jié)合一般尺度法與Dirlik疲勞損傷模型就可以得到強化載荷前后疲勞壽命之間的強化關(guān)系——寬帶隨機過程下的疲勞強化系數(shù)模型。

為了驗證疲勞強化系數(shù)模型的有效性，需要對懸臂梁分別在原始加速度功率譜和經(jīng)一般尺度法強化后的加速度功率譜載荷下進行疲勞壽命預測，得到它們的疲勞強化系數(shù)。目前對隨機振動載荷下結(jié)構(gòu)的疲勞壽命預測已經(jīng)產(chǎn)生了很多不同的方法。結(jié)合雨流計數(shù)法[7]（Rainflow counting）和Palmgren-M iner[8]線性累計損傷準則的時域疲勞壽命預測方法憑借其完善的理論基礎(chǔ)[9-10]和較好的預測結(jié)果[11-12]已經(jīng)被普遍接受。

本文首先通過有限元分析獲得懸臂梁危險點在兩種不同載荷下的應力功率譜；接著采用三角級數(shù)法對兩種不同載荷下應力功率譜進行時域模擬；然后采用雨流計數(shù)法（Rainflow counting）和Good-man[13]平均應力修正模型，并結(jié)合Palmgren-M iner線性累計損傷準則分別對兩種不同載荷下的懸臂梁進行了疲勞壽命預測，得到它們的疲勞強化系數(shù)；最后將根據(jù)本文提出的疲勞強化系數(shù)模型得到的疲勞強化系數(shù)和經(jīng)雨流計數(shù)得到的疲勞強化系數(shù)進行對比。結(jié)果表明：本文提出的平穩(wěn)寬帶隨機過程疲勞強化系數(shù)模型精度為99.7%，驗證了疲勞強化系數(shù)模型的有效性。

1 基于一般尺度法的疲勞強化系數(shù)模型

為了計算疲勞強化系數(shù)，本文首先采用一般尺度法對載荷的加速度功率譜密度進行強化，得到強化之后載荷的加速度功率譜密度與原始載荷的加速度功率譜密度之間的關(guān)系，結(jié)合有限元理論得到強化載荷下應力響應的功率譜密度與原始載荷下應力響應的功率譜密度之間的關(guān)系，計算應力響應譜譜矩之間的關(guān)系，最后結(jié)合以Dirlik幅值概率密度模型為基礎(chǔ)的Dirlik疲勞損傷模型得到強化載荷之后的疲勞壽命和原始載荷下的疲勞壽命之間的關(guān)系—疲勞強化系數(shù)模型?；舅悸啡鐖D1所示。

圖1 疲勞強化系數(shù)模型推導過程

1.1 基本假設(shè)

為了得到一個推導相對一致的疲勞損傷，有必要做出一些假設(shè)：

(1)材料是線彈性的；

(2)不存在非線性（只有小應力出現(xiàn)）；

(3)隨機信號是零均值的穩(wěn)態(tài)高斯分布；

(4)等效應力也滿足S-N曲線。

1.2 一般尺度法

將實際條件下的加速度功率譜密度進行簡單的線性放大得到試驗室條件下的加速度功率譜密度，兩者頻率范圍和形狀相同，只是對應頻率處幅值進行了相同比例的放大。兩者關(guān)系如式（1）所示

式中Gsa表示試驗室條件下的加速度功率譜密度，Gra表示實際條件下的加速度功率譜密度，Ksr表示線性放大系數(shù)。

材料承受循環(huán)應力是結(jié)構(gòu)產(chǎn)生疲勞失效的重要原因，這些應力必然的帶來一定損傷，當損傷達到一定程度就會產(chǎn)生斷裂破壞（失效）。因此，必須將外加載荷的加速度功率譜密度轉(zhuǎn)換成應力功率譜密度。

結(jié)合有限元基本理論可以推導出結(jié)構(gòu)中每個單元的應力功率譜密度[6]

式中上標(e)表示結(jié)構(gòu)中的任意單元，Gs表示應力功率譜密度矩陣，D表示結(jié)構(gòu)的材料和形函數(shù)矩陣，U表示結(jié)構(gòu)響應矩陣相關(guān)的函數(shù)，G表示節(jié)點力與節(jié)點速度之間的轉(zhuǎn)化矩陣，Ga表示加速度功率譜密度矩陣。

要推導試驗條件下的應力功率譜和實際條件下的應力譜之間的關(guān)系，還需要做如下假設(shè)：

(1)試驗測試的結(jié)構(gòu)和實際條件是嚴格一致的；

(2)試驗條件下的約束和實際條件是嚴格一致的；

在上述假設(shè)情況下，聯(lián)合式（1）和式（2）得到

式中Gss表示試驗條件下的應力功率譜密度，Grs表示實際條件下的應力功率譜密度。

定義單側(cè)功率譜密度的譜矩為

聯(lián)立式（3）和式（4）可以得到

由上式可知，經(jīng)過一般尺度法的強化之后，試驗條件下的譜矩和實際條件下的對應譜矩也成簡單的線性關(guān)系。

1.3 Dirlik幅值分布模型

Dirlik通過Monte Carlo技術(shù)時域模擬，將寬帶平穩(wěn)隨機振動的幅值概率密度由一個指數(shù)分布和兩個瑞利（Rayleigh）分布的近似[14]

上述Dirlik幅值概率分布模型看似復雜，其實只有四個基本參數(shù)即譜矩M0、M1、M2和M4。

1.4 Dirlik疲勞損傷模型

寬帶隨機分布的損傷模型為

Dirlik疲勞損傷模型為

1.5 基于一般尺度法的疲勞強化系數(shù)

通過式（5）我們可以知道，式（8）中D1、D2、D3、Q、R和E(P)都不會因為對應力功率譜進行放大而放大。因此，可以簡單的得到實際條件下?lián)p傷和試驗條件下?lián)p傷之間的關(guān)系為

又由式（6）譜矩之間的關(guān)系得到

疲勞壽命和損傷之間的倒數(shù)關(guān)系表示為

因此可以得到疲勞強化系數(shù)模型為

從式（13）中可以看出，本文提出的疲勞強化系數(shù)模型只與加速度功率譜線性放大系數(shù)以及材料參數(shù)m有關(guān)。

2 模型驗證

為了驗證本文提出的寬帶隨機過程疲勞損傷模型的有效性，首先通過有限元分析獲得懸臂梁危險點在兩種不同載荷下的應力功率譜。接著采用三角級數(shù)法對兩種不同載荷下應力功率譜進行時域模擬。然后采用雨流計數(shù)法（Rainflow counting）和Good-man平均應力修正模型，并結(jié)合Palmgren-M iner線性累計損傷準則對兩種不同載荷下的懸臂梁進行疲勞壽命預測，得到它們的疲勞強化系數(shù)。最后將經(jīng)過本文的疲勞強化系數(shù)模型得到的疲勞強化系數(shù)和經(jīng)雨流計數(shù)方法得到的疲勞強化系數(shù)進行對比驗證?；舅悸啡鐖D2所示。

2.1 問題描述

結(jié)構(gòu)尺寸如圖3所示的懸臂梁承受來自基座的隨機振動，左端固定約束，材料為45鋼，右圓孔直徑4.1 mm，配重m=2 kg，梁厚度為1 mm，材料參數(shù)m=-10.635 6，左端圓孔為激勵加載點，載荷方向垂直紙面向上。加載載荷為一恒幅加速度功率譜，頻率范圍0～200 Hz。其中原始加速度功率譜幅值為，強化加速度功率譜幅值為

圖2 疲勞強化系數(shù)模型驗證過程

圖3 懸臂梁結(jié)構(gòu)示意圖（mm）

2.2 振動疲勞分析

首先對懸臂梁進行模態(tài)分析，得到其前6階固有頻率分別為2.88 Hz、14.49 Hz、149.23 Hz、1 027.6 Hz、1 057.7 Hz、1 798.4 Hz，隨機振動載荷（頻率為1～200 Hz）會引起結(jié)構(gòu)共振，采用雨流計數(shù)法（Rainflow counting）和Good-man平均應力修正模型，并結(jié)合Palmgren-M iner線性累計損傷準則對兩種不同載荷進行了疲勞壽命預測。

圖4-1 原始載荷下的應力功率譜圖

2.2.1 確定危險點的應力譜

通過有限元分析可以確定危險部位的位置，并得到危險部位的應力響應功率譜圖。如圖4-1和圖4-2所示，分別為原始載荷的應力功率譜圖和強化載荷的應力功率譜圖。

2.2.2 應力譜時域模擬

三角級數(shù)法也稱諧波疊加法，是一種成熟的時域模擬方法，適用于各種譜形隨機過程的時域模擬，基本思想是采用離散譜逼近目標隨機過程的模擬[15，16]。簡諧振動的幅值由隨機振動的過程下的均方根值確定，頻率取自功率譜密度的頻率點，初相位服從0～2π的均勻分布。不斷調(diào)整初相位，得到一組不同的子樣本，計算每個子樣本隨機過程的不規(guī)則因子[1]均值為0.206 6，屬于典型的寬帶隨機過程。

圖4-2 強化載荷下的應力功率譜圖

圖5-1 原始載荷下的應力雨流計數(shù)

圖5-2 載荷強化后的應力雨流計數(shù)

2.2.3 雨流計數(shù)

將不規(guī)則的隨機的載荷-時間歷程，轉(zhuǎn)化成為一系列循環(huán)的方法，稱為“循環(huán)計數(shù)法”。本文采用簡單實用且與變幅循環(huán)載荷下的應力-應變響應一致的雨流計數(shù)法。雨流計數(shù)結(jié)果如圖5-1和圖5-2所示。

2.2.4 平均應力修正

平均應力大于零表示拉伸平均應力，S-N曲線下移，表示同樣應力幅值作用下的壽命下降，或者說在同樣壽命下的疲勞強度降低，對疲勞有不利的影響。平均應力小于零，S-N曲線上移，表示同樣應力幅值作用下的壽命增大，或者說在同樣壽命下的疲勞強度提高，壓縮平均應力對疲勞的影響是有利的。因此，必須對經(jīng)雨流計數(shù)的應力循環(huán)進行Good-man平均應力修正。

2.2.5 損傷計算及壽命預測

經(jīng)過Good-man平均應力修正模型修正后的應力循環(huán)，結(jié)合Palmgren-M iner線性累計損傷準則得到原始載荷下懸臂梁的疲勞壽命為2.197 3×1010min，強化之后載荷下的疲勞壽命為5.492 6×108min。懸臂梁的疲勞壽命強化40.005倍。

2.3 模型驗證

將原始載荷的加速度功率譜和經(jīng)一般尺度法強化的加速度功率譜幅值代入式（13）得到

因此，經(jīng)本文提出的寬帶隨機振動疲勞強化系數(shù)模型計算得到的疲勞強化系數(shù)為39.885 7倍，而經(jīng)雨流計數(shù)和M iner損傷準則進行疲勞壽命預測得到的強化系數(shù)40.005倍。模型驗證表明：本文提出的適用于寬帶隨機過程的疲勞強化系數(shù)模型精度為99.7%，驗證了模型的有效性。

3 結(jié)語

采用本文提出的適用于寬帶隨機過程的疲勞強化系數(shù)模型進行有關(guān)寬帶隨機過程的加速疲勞試驗，只需在知道材料參數(shù)m的前提下按照一般尺度法將原始加速度功率譜按照同等比例進行放大作為強化后的加速度功率譜載荷進行疲勞試驗。然后結(jié)合本文提出的疲勞強化系數(shù)模型就可以得到結(jié)構(gòu)在正常載荷下的疲勞壽命。

（1）從模型驗證的結(jié)果來看，該疲勞強化模型能較好的預測載荷強化之后的疲勞壽命；

（2）疲勞強化系數(shù)只與材料的S-N曲線在雙對數(shù)直線圖中的斜率有關(guān)；

（3）該疲勞強化系數(shù)模型是基于Dirlik模型推導出來的，所以也只適用于平穩(wěn)高斯信號，并不適合非高斯信號。

[1]張然治.疲勞試驗測試分析理論與實踐[M].北京：國防工業(yè)出版社，2011.44-45.

[2]安剛，龔鑫茂.隨機振動環(huán)境下結(jié)構(gòu)的疲勞失效分析[J].機械科學與技術(shù)，2000，19(9)：40-44.

[3]王長武，張幼安.隨機疲勞分析在機載設(shè)備疲勞壽命預測中的應用[J].中國機械工程，2004，15（21）：1906-1908.

[4]吳仁智，楊學良，周金華.平地機半軸疲勞壽命預估及其臺架疲勞試驗[J].中國機械工程，2001，12（12）：1336-1339.

[5]陳沙古，劉榮鳳，等.16MnR鋼超高周疲勞性能試驗[J].西南科技大學學報，2009，24(1)：29-32.

[6]Allegri G,Zhang X.On the inverse power laws for accelerated random fatigue testing[J].International Journal of Fatigue,2008,30:967-977.

[7]Rychlik I A.New definition of the rainflow counting method[J].Int.J.Fatigue,1987,9:119-121.

[8]M iner M A.Cumulative fatigue damage[J].International Journal of Fracture,1945:A159-A164.

[9]Dow ling N E.Fatigue failure prediction of complicated load stress-stain histories[J].ASTM J.Mater,1972,7:71-87.

[10]Wirshing P H,Haugen E B.Probalilistic design for random fatigue loads[J].J.Eng.Mech.Div.ASCE,1973, 99:593-607.

[11]Tovo R.Cycle distribution and fatigue damage under broad-band random loading[J].Int.J.Fatigue,2002,24 (11):1137-1147.

[12]Petrucci G,Zuccarello B.Fatigue life prediction under wide-band random loading[J].Fatigue Fract Eng Mater Struct 2004;27(12):1183-1195.

[13]Sm ith K N,Watson P,Topper T H.A stress-strain function for fatigue of metals[J].Journal of Meterial, 1970,5(4):767-778.

[14]Bishop N W M.The use of frequency domain parameters to predict structural fatigue[D].Ph.D Thesis,Warwick University,1988.

[15]Figwer J.A new method of random time-series simulation [J].Simulation Practice and Theory,1997,5:217-234.

[16]Hu B,Schiehlen W.On the simulation of stochastic process by spectral representation[J].Probabilistic Engineering Mechanics,1997,12(2):105-113.

Analysis of Vibration Fatigue Strength Coefficient Based on General Scaling Law

CHENG Jun-sheng1,YUAN Yi1,YU Zhen-tao2,YUAN Hui2

(1.State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacture for Vehicle Body,
Hunan University,Changsha 410082,China; 2.Test Department,Dongfeng Motor Corporation Technical Center,Shiyan 441004,Hubei China）

Based on Dirlik model and combining with the general scaling law,this paper proposes a new model for analyzing the fatigue strength coefficient,which is suitable to the stationary wide-band random vibration loading.The general scaling law considers that the spectral moments of different orders of the stress-response power-spectra of the structure under original loading and strengthened loading have a simple linear relationship.Combination of the spectral moments with the Dirlik wide-band fatigue damage model can lead to the model of the fatigue strength coefficient for the stationary wide-band random vibration loading.To verify the effectiveness of this model,the rainflow counting method and M iner damage criterion are used to predict the fatigue lifespan of a cantilever beam under the original acceleration powerspectral loads.And the result of the fatigue strength coefficient is compared with that calculated by the current model under the present acceleration power-spectral loads strengthened by general scaling law.It is shown that the accuracy rate of the current model of fatigue strength coefficient proposed here can reach 99.7%.Thus,the effectiveness of this model is validated.

vibration and wave;general scaling law;vibration fatigue;fatigue strength coefficient;fatigue life prediction

TB52；V215.5

代碼： A

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.01.012

1006-1355(2014)01-0047-05

2013-03-13

程軍圣(1968-)，男，湖南永州人，湖南大學教授，博士生導師，主要研究方向為：1.動態(tài)信號分析與處理；2.機電設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷；3.振動與噪聲控制。

E-mail:chengjunsheng_1968@163.com