李可，孫曉東，楊澤斌

(江蘇大學(xué) a.電氣信息工程學(xué)院；b.汽車(chē)工程研究院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

無(wú)軸承永磁同步電動(dòng)機(jī)(bearingless permanent magnet synchronous motor，BPMSM)具有體積小、重量輕、效率高、功率因數(shù)高、控制特性好等優(yōu)點(diǎn)，還具有磁軸承無(wú)摩擦、無(wú)磨損、不需潤(rùn)滑、高轉(zhuǎn)速和高精度等優(yōu)點(diǎn)，因此在航空航天、生物醫(yī)藥、半導(dǎo)體制造等特殊領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景[1-5]。

為了保證BPMSM的穩(wěn)定懸浮運(yùn)行，必須對(duì)徑向力進(jìn)行實(shí)時(shí)控制，因此徑向力的精確計(jì)算是電動(dòng)機(jī)本體設(shè)計(jì)和控制策略研究的基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[6]對(duì)表貼式BPMSM的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行試驗(yàn)研究，在得到電感系數(shù)的前提下，采用虛位移原理確定了BPMSM徑向力模型，該方法必須依賴(lài)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，因此計(jì)算較為復(fù)雜，影響徑向力模型的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[7-8]分別對(duì)插入式、埋入式BPMSM的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了深入研究，首先得到轉(zhuǎn)矩和懸浮兩套繞組交鏈的磁鏈方程，在此基礎(chǔ)上求得電磁能方程，再根據(jù)虛功原理求得徑向力方程。文獻(xiàn)[6-8]對(duì)BPMSM的徑向力模型進(jìn)行研究時(shí)并沒(méi)有對(duì)轉(zhuǎn)子偏心情況下的徑向力進(jìn)行深入分析研究，是一種比較理想的徑向力方程，但在實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中，BPMSM定轉(zhuǎn)子之間的偏心是存在的。針對(duì)現(xiàn)有模型的不足，結(jié)合麥克斯韋張量法及磁路法，建立考慮偏心位移的BPMSM徑向力模型，并運(yùn)用有限元分析對(duì)其進(jìn)行仿真。

1 BPMSM徑向力產(chǎn)生原理

BPMSM定子中疊繞著轉(zhuǎn)矩繞組和懸浮力繞組，由于懸浮力繞組產(chǎn)生的磁場(chǎng)打破了原有轉(zhuǎn)矩繞組(包括永磁體，下同)建立的氣隙磁場(chǎng)的平衡，從而產(chǎn)生作用在轉(zhuǎn)子側(cè)的徑向力。設(shè)BPMSM的懸浮力繞組和轉(zhuǎn)矩繞組的極對(duì)數(shù)分別為PB和PM(下標(biāo)B，M分別表示懸浮力繞組和轉(zhuǎn)矩繞組的相關(guān)參數(shù))，BPMSM要同時(shí)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)和懸浮運(yùn)行，必須滿(mǎn)足3個(gè)條件：(1)兩套繞組的極對(duì)數(shù)相差1，即PB=PM±1；(2)兩套繞組產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)方向相同；(3)通入兩套繞組中的電流頻率相同[9]。

BPMSM的徑向力產(chǎn)生原理如圖1所示。圖中，PM=1且PB=2；NBa和NBb為懸浮力繞組，NMa和NMb為轉(zhuǎn)矩繞組，兩者疊壓在BPMSM的定子槽中。懸浮力繞組通電后產(chǎn)生四極氣隙磁通Ψ4，原本由永磁體產(chǎn)生的二極磁通Ψ2的平衡被四極氣隙磁通Ψ4打破，由于氣隙磁通的不均勻分布進(jìn)而產(chǎn)生徑向力。如果BPMSM轉(zhuǎn)子位于中心位置，二極氣隙磁通Ψ2主要由BPMSM轉(zhuǎn)子表面的永磁體產(chǎn)生，當(dāng)BPMSM空載懸浮運(yùn)轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)矩繞組中的電流很小，由轉(zhuǎn)矩繞組電流產(chǎn)生的磁通可以忽略不計(jì)。如果NBa和NBb中不通入電流，二極磁通Ψ2保持平衡，此時(shí)徑向力為0。當(dāng)繞組NBa中通正向電流，產(chǎn)生的四極氣隙磁通Ψ4使轉(zhuǎn)子右側(cè)氣隙1處磁通密度增加，轉(zhuǎn)子左側(cè)氣隙3處磁通密度減小，從而產(chǎn)生沿x軸正方向的徑向力；當(dāng)繞組NBa中通反向電流，則會(huì)產(chǎn)生沿x軸負(fù)方向的徑向力。同理，沿y軸方向的徑向力可以通過(guò)在繞組NBb中通入電流獲得。因此，通過(guò)控制懸浮力繞組NBa和NBb中的電流就可以控制懸浮力的大小和方向，從而實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮。

圖1 徑向力產(chǎn)生原理

2 徑向力模型

根據(jù)麥克斯韋張量法，BPMSM轉(zhuǎn)子表面dS面積上沿機(jī)械角θ受到的法向力和切向力分別為[10]

(1)

bt(θ,t)=-Btcos(ωt-PMθ-γM)，

(2)

式中：bn(θ,t)和bt(θ,t)分別為轉(zhuǎn)矩繞組和懸浮力繞組的合成氣隙磁密的法向和切向分量；θ為沿定子內(nèi)表面逆時(shí)針機(jī)械角度；μ0為真空磁導(dǎo)率；Bt為切向氣隙磁密幅值；γM為PM對(duì)極氣隙磁動(dòng)勢(shì)基波的空間初始相位角；ω為電角頻率。

由(1)式可得徑向力在α和β方向上的分量為

，(3)

式中：r為轉(zhuǎn)子外半徑；l為轉(zhuǎn)子鐵芯有效長(zhǎng)度。

BPMSM定、轉(zhuǎn)子之間偏心位移如圖2所示。圖中，O′(α,β)為偏心轉(zhuǎn)子軸心的坐標(biāo)；g0為BPMSM定、轉(zhuǎn)子之間的平均氣隙長(zhǎng)度；R為定子的內(nèi)半徑。定、轉(zhuǎn)子之間的氣隙長(zhǎng)度g(θ)為

圖2 轉(zhuǎn)子偏心位移

g(θ)=g0-g1=g0-(αcosθ+βsinθ)，

(4)

式中：g1為定、轉(zhuǎn)子之間的偏心氣隙長(zhǎng)度；α和β分別為轉(zhuǎn)子沿α和β方向的徑向位移。

由于BPMSM在穩(wěn)定懸浮工況下運(yùn)轉(zhuǎn)，定、轉(zhuǎn)子之間的偏心氣隙長(zhǎng)度g1與平均氣隙長(zhǎng)度g0相比較小，因此可以忽略，則氣隙長(zhǎng)度倒數(shù)為

(5)

單位面積內(nèi)的氣隙磁導(dǎo)分布函數(shù)為

(6)

由BPMSM中PM對(duì)極轉(zhuǎn)矩繞組電流與轉(zhuǎn)子永磁體磁場(chǎng)共同建立的合成氣隙磁動(dòng)勢(shì)的基波分量，以及PB對(duì)極懸浮力繞組建立的氣隙磁動(dòng)勢(shì)的基波分量分別為

(7)

式中：FM，F(xiàn)B分別為PM對(duì)極和PB對(duì)極氣隙磁動(dòng)勢(shì)基波幅值；γB為PB對(duì)極氣隙磁動(dòng)勢(shì)基波的空間初始相位角。由兩套繞組共同產(chǎn)生的氣隙磁通密度分別為

(8)

從而可得BPMSM氣隙磁密的法向分量為

bn(θ,t)=bM(θ,t)+bB(θ,t) 。

(9)

假設(shè)均勻氣隙下PM對(duì)極和PB對(duì)極氣隙磁通密度幅值分別為

(10)

式中：NM，NB分別為轉(zhuǎn)矩繞組和懸浮力繞組每相串聯(lián)有效匝數(shù)；IM，IB分別為轉(zhuǎn)矩繞組勵(lì)磁電流(包括轉(zhuǎn)子永磁體激勵(lì)的磁場(chǎng)等效至轉(zhuǎn)矩繞組中的電流部分)和懸浮力繞組電流幅值。

將(2)式和(8)式代入(3)式進(jìn)行積分，可得α，β方向上轉(zhuǎn)子受到的徑向力?？紤]到徑向位移α和β，以及氣隙磁通密度幅值BM的數(shù)值較小，故忽略其平方項(xiàng)，可得

。(11)

轉(zhuǎn)矩繞組每相氣隙磁鏈值為

(12)

又有

ψM=LMIM，

(13)

式中：ΦM為每相氣隙磁通值；LM為轉(zhuǎn)矩繞組互感。則(11)式可以化簡(jiǎn)為

(14)

由(14)式可知，BPMSM的徑向力由3部分組成：(1)不計(jì)偏心時(shí)，由轉(zhuǎn)矩繞組氣隙磁場(chǎng)與懸浮力繞組電流相互作用產(chǎn)生的可控徑向力(徑向力的主要組成部分)；(2)定、轉(zhuǎn)子偏心引起的單邊磁拉力；(3)由于氣隙磁密沿氣隙圓周在轉(zhuǎn)子表面切向分布不均而產(chǎn)生的徑向力。

3 仿真與分析

為了驗(yàn)證所建徑向力模型的正確性和有效性，采用有限元方法進(jìn)行仿真分析。有限元分析參數(shù)采用試驗(yàn)樣機(jī)參數(shù)：定子外徑140 mm，定子內(nèi)徑77 mm，轉(zhuǎn)子外徑75 mm，永磁鐵厚度2 mm，定子槽數(shù)24，氣隙1 mm，鐵芯長(zhǎng)度100 mm，懸浮力繞組匝數(shù)80，轉(zhuǎn)矩繞組匝數(shù)80，永磁鐵剩余磁感應(yīng)強(qiáng)度1.2 T，矯頑力900 kA/m，轉(zhuǎn)矩繞組極對(duì)數(shù)2，功率2 kW，電動(dòng)機(jī)氣隙2 mm，36槽，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩繞組電阻3.24 Ω，直軸和交軸電感0.012 H，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量0.015 8 kg·m2，懸浮力繞組極對(duì)數(shù)3，懸浮力繞組電阻2.32 Ω，輔助機(jī)械軸承氣隙0.5 mm。

轉(zhuǎn)矩繞組電流為額定值3 A，懸浮力繞組電流分別為1，3和5 A，且定、轉(zhuǎn)子在x軸方向偏心位移為α?xí)r，徑向力與懸浮力繞組電流的關(guān)系如圖3所示。

由圖3可知，徑向力的理論計(jì)算值直線的斜率均相同，即當(dāng)定、轉(zhuǎn)子偏心的變化量相同時(shí)，徑向力的變化量也相同，說(shuō)明當(dāng)轉(zhuǎn)矩繞組和懸浮力繞組中通入的電流大小一定時(shí)，由于機(jī)械軸承氣隙(最大可偏距離)遠(yuǎn)小于電動(dòng)機(jī)氣隙，徑向力與定、轉(zhuǎn)子偏心之間的非線性關(guān)系不明顯，可近似為線性關(guān)系。當(dāng)定、轉(zhuǎn)子在x軸方向偏心時(shí)，x方向徑向力的變化要比y方向徑向力的變化顯著，說(shuō)明x方向的偏心主要影響x方向的徑向力。當(dāng)電流較小(磁路未嚴(yán)重飽和)時(shí)，徑向力的有限元計(jì)算值與理論值非常吻合，隨著磁路達(dá)到飽和，徑向力的有限元計(jì)算值雖然開(kāi)始偏離理論值，但是兩者基本吻合，說(shuō)明考慮定、轉(zhuǎn)子偏心位移的徑向力模型能夠較為準(zhǔn)確地描述BPMSM的徑向力。

圖3 x方向偏心時(shí)徑向力與懸浮力繞組電流關(guān)系

4 結(jié)束語(yǔ)

在對(duì)BPMSM徑向力進(jìn)行深入分析的基礎(chǔ)上，運(yùn)用麥克斯韋張量法和磁路法，建立了一種較為精確的BPMSM徑向力數(shù)學(xué)模型。該模型充分考慮了定、轉(zhuǎn)子偏心位移，為BPMSM懸浮運(yùn)行控制的研究和電動(dòng)機(jī)本體設(shè)計(jì)提供了可靠的理論依據(jù)。利用有限元分析方法驗(yàn)證了該模型的計(jì)算精度，為進(jìn)一步深入研究BPMSM高精度的控制系統(tǒng)打下了基礎(chǔ)。