袁偉亮，張雷雨，楊 洋

（北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京 100191）

0 引言

傳統(tǒng)的連桿機構(gòu)設計可分為3類問題：剛體導引、軌跡發(fā)生和函數(shù)發(fā)生。按照預定的軌跡離散點設計平面連桿機構(gòu)，確定機構(gòu)的各尺寸參數(shù)和連桿上的描點位置，使該點所描的連桿曲線與預定的離散點相符，即為剛體導引［1］。連桿的設計方法可采用解析法、作圖法［2］、實驗法或圖譜法，但隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，解析法得到了廣泛的應用。解析法通常采用位移矩陣法和矢量環(huán)封閉法，建立預定軌跡與平面連桿機構(gòu)參數(shù)之間的非線性方程組［3，4］。

普通的連桿機構(gòu)設計方法需要明確的約束條件，如給定軌跡離散點、軌跡曲線或軌跡函數(shù)等，但在工程問題中往往只能給出空間約束條件和剛體位置變化，通過普通的設計方法很難找到合適的軌跡點，使設計出的機構(gòu)在規(guī)定的空間內(nèi)運動。針對上述工程問題，本文提出了一種自尋優(yōu)軌跡離散點的方法，結(jié)合四位置導引鉸鏈四桿機構(gòu)計算理論［5，6］，把連桿機構(gòu)剛體導引問題轉(zhuǎn)化為二桿組的求解問題，并通過實例計算和分析，證明了所提出方法的可行性。

1 連桿機構(gòu)設計的自尋離散點

在實際機構(gòu)設計中，通常已知剛體導引的空間約束、剛體初始和終止位置及連桿機構(gòu)安裝空間限制，需要以四連桿機構(gòu)實現(xiàn)為基礎，根據(jù)要求自尋軌跡曲線或軌跡離散點。其中，如何確定中間一系列軌跡離散點是一個很重要的問題。

平面運動剛體上的兩點B，P可以確定剛體的位姿，設定其中一點B作圓周運動，通過尋求剛體上另一點P的運動，實現(xiàn)給定剛體在運動平面上的位姿調(diào)整，從而避開約束邊界。圖1 為剛體運動軌跡簡圖，以oB為搖桿，鉸鏈點B做圓弧運動，搖桿oB及剛體兩點連線BP組成一個二桿組，通過另一鉸鏈點P的軌跡來計算出另一組二桿組，從而構(gòu)成四桿機構(gòu)。

圖1 剛體運動軌跡簡圖

鉸鏈點P的軌跡尋求應遵循下列原則：①能避開所有的邊界約束且在關(guān)鍵點取值；②軌跡點取值間距均勻；③兩相鄰軌跡點的曲率過渡不能過大。

約束邊界函數(shù)為：

剛體邊界函數(shù)為：

其中：m，n分別為各邊界個數(shù)；θ為搖桿擺角。剛體邊界在搖桿活動范圍內(nèi)與邊界約束無交點，說明剛體與邊界無干涉。

2 二桿組的運動設計

平面連桿機構(gòu)一般可以分解為一系列的二桿組，圖2 為二桿組矢量圖。由圖2 可以寫出二桿組r2，r5在第Pi個位置的矢量環(huán)封閉方程式：

式（5）中，i（i＝1，2，3，…，k）是被導引剛體的精確位置個數(shù)。當給定的位置數(shù)為k時，則式（3）含有k個方程式。在四位置剛體導引機構(gòu)的設計中，剛體的4個精確位置是給定的（即k＝4），故式（5）中Pix，Piy和Δδi（4組）是已知值，而待求的參數(shù)是r2，r5，A0x，A0y和δ0。

將式（5）中的已知量和未知量分開，可得一組非線性方程組。對于非線性方程組，采用變量置換、逐步消元法來求解，式（5）可寫成：

其中：fji，F(xiàn)i為置換后新已知量；Sj為新未知量。

給定鉸鏈A0的一個坐標A0x，可計算出待求的4個機構(gòu)參數(shù)（也有m組解）：

圖2 二桿組矢量圖

3 約束空間連桿設計與分析

在邊界約束的空間內(nèi)，實現(xiàn)細長鋼材從豎直位置舉升到水平位置。在舉升過程中鋼材從打剖面線的直孔W處抽出而且不能越過外邊界中的左邊邊界，舉升連桿機構(gòu)的動作要在內(nèi)邊界空間內(nèi)完成?？紤]鋼材的抓持方便和重心位置，在鋼材中引出兩點P和B，取上端支點B作為主要支撐點，如圖3 所示。

由已知的起始點B1和終止點B4，通過作圖法確定搖桿oB的固定鉸鏈點o，該搖桿為連桿機構(gòu)的主要支撐桿。根據(jù)實際情況優(yōu)化連桿長度，取整為l＝800 mm。在o點建立笛卡爾坐標系xoy，B點繞o點做圓弧軌跡運動，桿oB和桿BP構(gòu)成一個二桿組。

在圓弧軌跡B1B4上均勻取兩點B2和B3，如圖4 所示，調(diào)節(jié)剛體的相對初始位置的轉(zhuǎn)角。離散點坐標的選取直接影響計算出的連桿機構(gòu)的優(yōu)劣，因此需要重復修整相對初始位置的轉(zhuǎn)角，計算出多組數(shù)據(jù)進行比較，然后選取最優(yōu)離散點坐標。經(jīng)多次調(diào)整取得P點較合理的4個精確位置坐標及轉(zhuǎn)角，見表1。

圖3 邊界條件示意圖

圖4 P點位置坐標

表1 P點坐標及轉(zhuǎn)角

利用數(shù)值分析軟件MATLAB編寫計算程序，得出A0點坐標和r5，r2的相應關(guān)系圖，如圖5 所示。取不同A0點x坐標值計算相應的y坐標值、桿r5長度和桿r2長度。從圖5 可知：A0點y坐標變化不大；r5長度隨著A0點與o點的距離減小而增大；r2長度隨著A0點與o點的距離減小而減小。根據(jù)連桿受力情況和運動空間，鉸鏈A0點坐標要離鉸鏈o點有一定距離，桿r5和桿r2長度比要較小。選擇A0點x坐標值為470mm，得相應y坐標為265.2mm，r5為326.3 mm，r2為245.7mm，所有值歸整為：A0y＝265mm，r5＝326mm，r2＝246mm。

由歸整后的參數(shù)繪制機構(gòu)圖，在動力學分析軟件ADAMS中對該機構(gòu)進行虛擬樣機的建模與仿真分析，得到連桿P點和關(guān)鍵頂點M的軌跡曲線，如圖6 所示。由圖6 中可知，連桿P點始終在內(nèi)邊界范圍內(nèi)，關(guān)鍵頂點M未與邊界約束發(fā)生干涉，從而驗證構(gòu)造的連桿機構(gòu)滿足邊界約束的要求。

4 結(jié)論

圖5 A0點坐標及r5，r2長度

圖6 P點和M點軌跡圖

本文通過對四位置導引鉸鏈四桿機構(gòu)的綜合分析，用實例介紹了約束空間內(nèi)平面連桿機構(gòu)的設計。利用MATLAB通過多次調(diào)整離散點的坐標及相對轉(zhuǎn)角來尋求合理的連桿尺度參數(shù)，在ADAMS中驗證了所設計連桿機構(gòu)的合理性。在計算過程中還可改變自定參數(shù)來計算出相應的未知參數(shù)，從而擴展該綜合方法的應用。

［1］梁崇高.平面連桿機構(gòu)的計算設計［M］.北京：高等教育出版社，1993.

［2］郭衛(wèi)東.機械原理［M］.北京：科學出版社，2010.

［3］Shirazi K H.Symmetrical coupler curve and singular point classification in planar and spherical swinging-block linkages［J］.Journal of Mechanical Design，Transactions of the ASME，2006，128（2）：436-443.

［4］Russell K，Sodhir S.Kinematic synthesis of RRSS mechanisms for multi-phase motion generation with tolerances［J］.Mechanism and Machine Theory，2002，37：279-294.

［5］譚曉蘭.四位置鉸鏈四桿機構(gòu)綜合與分析的可視化軟件系統(tǒng)［J］.機械設計，2004（7）：58-60.

［6］馮立艷.實現(xiàn)期望軌跡的平面連桿機構(gòu)的尺度綜合［J］.機械設計與制造，2007（9）：55-56.