張洪雷，呂玉山，王 軍

（沈陽理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110159）

0 引言

研究磨削溫度與磨削區(qū)溫度的分布具有很重要的意義［1］。而對(duì)于磨粒的有序化排布，國內(nèi)外學(xué)者也進(jìn)行了深入的研究。Aurich J C等提出有序化排布超硬磨料電鍍砂輪，基于幾何模型，通過運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真不同的磨料排布方式，應(yīng)用仿真結(jié)果設(shè)計(jì)制造出最佳有序排布電鍍砂輪的結(jié)構(gòu)，并通過實(shí)驗(yàn)證明其一些磨削性能得到提高［2，3］。Koshy P等通過控制磨料之間軸向距離和相鄰行的軸間距來減低工件表面粗糙度，實(shí)驗(yàn)表明磨料的偏移排布使工件的表面粗糙度得到適當(dāng)?shù)母纳疲?］。但是，這些學(xué)者的研究都沒有涉及到磨粒有序化砂輪的溫度場(chǎng)問題，本文將生物學(xué)中的葉序排布理論應(yīng)用于CBN砂輪的磨粒排布設(shè)計(jì)中，采用ANSYS中的熱分析法，研究磨粒葉序排布的電鍍CBN砂輪的葉序系數(shù)和磨削工況條件變化時(shí)的磨削區(qū)溫度場(chǎng)的變化規(guī)律。

1 葉序理論簡(jiǎn)介

植物葉序最常見的排列方式為互生葉序，在莖的每一節(jié)只生有一葉。對(duì)互生植物來說，就是任相鄰兩顆果實(shí)間的相對(duì)位置是相同的，這樣決定了互生植物葉子分布規(guī)律的因素就只有兩個(gè)［5］：①相鄰兩顆果實(shí)中心在莖方向上的距離；②相鄰兩顆果實(shí)中心對(duì)莖的夾角。正常情況下植物葉序分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)著以下序列：

上述序列中分子代表葉序線繞莖的圈數(shù)，比值代表了一片葉子所占的圈數(shù)。易知上述序列是斐波那契序列：1，1，2，3，5，8，…，F(xiàn)n，…的隔項(xiàng)之比，這個(gè)比的極限為：

可以驗(yàn)證當(dāng)生長(zhǎng)角為0.328時(shí)，才可以保證新增的一片葉子不會(huì)在之前的任一片葉子的正上方。

本文所用的CBN砂輪所用的磨粒就是基于這種規(guī)律排布的。該CBN砂輪磨粒排布規(guī)律滿足葉序理論中的柱面坐標(biāo)下的葉序點(diǎn)排布模型，其表示為［6］：

其中：n為磨粒的序號(hào)；φ（n）為序號(hào)為n的磨粒的角度；H（n）為序號(hào)為n的磨粒的高度；h為葉序系數(shù)；α為常數(shù)，取黃金分割角137.508°。

葉序排布可以實(shí)現(xiàn)空間最大包裹，保證磨粒的排布均勻性和互補(bǔ)性。磨粒按照葉序分布規(guī)律設(shè)計(jì)的砂輪模型如圖1 所示。

2 磨削溫度場(chǎng)熱源模型的建立

由于磨削過程的復(fù)雜性，故做如下假設(shè)：

（1）磨削過程是許多磨粒隨機(jī)切削的過程，許多隨機(jī)磨粒點(diǎn)熱源的集合可近似認(rèn)作是一個(gè)連續(xù)分布的平面熱源；假設(shè)它是一個(gè)持續(xù)發(fā)熱的均勻而恒定的面熱源，即均布熱源，其單位時(shí)間單位面積的發(fā)熱量為qm。

（2）假設(shè)磨削時(shí)產(chǎn)生的熱量傳入工件的百分比為Rw：

其中：λw為工件的熱導(dǎo)率；λs為CBN磨粒的熱導(dǎo)率。熱源發(fā)熱強(qiáng)度qm為：

其中：q為磨削區(qū)總的發(fā)熱強(qiáng)度；s為砂輪與工件接觸面積；Ft為磨削切向力；vs為砂輪速度；ls為接觸弧長(zhǎng)；b為工件寬度。

（3）由于磨粒是按葉序規(guī)律排布的，磨粒的平均間距可以計(jì)算。當(dāng)葉序系數(shù)變化時(shí)，導(dǎo)致磨粒數(shù)量、磨粒平均間距的變化，進(jìn)而影響接觸弧長(zhǎng)。在一個(gè)切平面內(nèi)，兩個(gè)相鄰磨粒磨過的軌跡如圖2 所示。

圖1 葉序排布砂輪磨粒形貌圖

圖2 砂輪接觸弧長(zhǎng)示意圖

圖2 中，l1為第一顆磨粒的軌跡長(zhǎng)度，l2為第二顆磨粒的切削長(zhǎng)度，以后的磨粒的切削長(zhǎng)度也是l2，磨粒所走的軌跡都是擺線，可以確定l1方程為：

其中：rs為砂輪半徑；ω為砂輪角速度；vw為工件進(jìn)給速度；t1為相鄰兩個(gè)磨粒轉(zhuǎn)到切削位置所間隔的時(shí)間；t為磨削時(shí)間。

其中：ld為磨粒平均間距；r為磨粒半徑。

將式（7）、式（8）代入式（6）中，得：

對(duì)式（10）進(jìn)行弧長(zhǎng)積分，通過用 MATLAB數(shù)值積分可以計(jì)算l2的長(zhǎng)度，即熱源長(zhǎng)度ls。當(dāng)葉序系數(shù)h變化時(shí)，l2的變化規(guī)律如圖3 所示。

根據(jù)上述情況，平面磨削時(shí)工件傳熱學(xué)模型可近似看作一個(gè)無限寬有限長(zhǎng)的運(yùn)動(dòng)面熱源對(duì)半無限大導(dǎo)熱體的二維導(dǎo)熱作用問題，從而分析不同葉序系數(shù)下磨削溫度場(chǎng)的分布情況并解釋它們之間的差別。

3 平面磨削溫度場(chǎng)的仿真過程

3.1 邊界條件的設(shè)定與有限元模型建立

由以上對(duì)磨削溫度場(chǎng)的各種假設(shè)，可把工件假設(shè)成矩形，磨削工藝條件如表1所示。被磨45鋼工件的導(dǎo)熱性能如表2所示。假定工件的初始溫度和外界環(huán)境一致（θ0＝20℃），工件各面與空氣絕熱。建立的有限元模型如圖4 所示。

圖3 葉序系數(shù)與接觸弧長(zhǎng)的關(guān)系

表1 磨削工藝參數(shù)

表2 工件的比熱容C和熱導(dǎo)率λ與溫度的關(guān)系

3.2 熱流密度計(jì)算

葉序系數(shù)為0.001時(shí)的磨削切向力可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算。根據(jù)磨削切向力與接觸弧長(zhǎng)和磨粒平均間距的比例關(guān)系，可以得出葉序系數(shù)與磨削切向力的關(guān)系，如表3所示。已知磨削切向力，可以由式（4）求得需要施加的熱流密度。

圖4 工件的有限元模型

表3 葉序系數(shù)與磨削切向力的關(guān)系

3.3 計(jì)算過程

在建立了有限元模型后，需要對(duì)模型進(jìn)行熱源加載，施加上述初始條件和邊界條件，并在磨削工件表面添加一個(gè)如圖5 所示的移動(dòng)熱源。由于ANSYS本身不能直接加載移動(dòng)熱源，所以把此過程離散化，在極短的時(shí)間內(nèi)在某一磨削區(qū)加載一固定熱流密度，在下一時(shí)間段內(nèi)移至另一區(qū)域加載固定熱源，將之前的加載清零，并把上一次所得的計(jì)算結(jié)果作為這一次的初始條件。經(jīng)過30次循環(huán)迭代和逐步加載，就可得到磨削區(qū)溫度分布。

4 仿真結(jié)果及分析

圖6 為計(jì)算獲得的工件磨削溫度場(chǎng)分布形態(tài)，圖7 為被磨工件表面的溫度分布。

圖5 三角形熱源加載過程

圖6 不同葉序系數(shù)下的工件磨削溫度場(chǎng)形態(tài)

圖7 工件表層溫度分布

由圖6 可以直觀地看出：不同葉序系數(shù)下都是磨削區(qū)溫度最高，且從表層向內(nèi)溫度梯度變化較大；不同葉序系數(shù)下，溫度梯度分布基本相同，隨著葉序系數(shù)增大，各個(gè)梯度的溫度都有所下降。

由圖7 可以看出：隨著計(jì)算節(jié)點(diǎn)距離的增大，在距離工件磨削起點(diǎn)為29mm處溫度達(dá)到磨削接觸區(qū)域的最高溫度的穩(wěn)定狀態(tài)；在距離為29.5mm處是磨削接觸區(qū)域的溫度最高處；在距離大于29.5mm后，溫度開始下降，趨于常溫，該區(qū)域?yàn)槟ハ鞴ぜ拇ハ鲄^(qū)域。由圖7 還可以看出：隨著葉序系數(shù)的增大，最高磨削溫度也隨之減小。

對(duì)于圖6 、圖7 所顯示的現(xiàn)象的產(chǎn)生原因是，根據(jù)式（2），在磨料排布時(shí)，隨著葉序系數(shù)h的增大，單層磨料砂輪表面磨粒數(shù)減小，繼而導(dǎo)致磨削力的下降（見表3），同時(shí)磨粒的平均間距也加大，有足夠排屑冷卻空間，則磨削溫度和溫度場(chǎng)的梯度也隨之降低。

5 結(jié)論

葉序排布單層磨料砂輪磨削區(qū)的溫度場(chǎng)分布呈現(xiàn)出不均勻性，磨削接觸區(qū)的表層溫度最高。葉序系數(shù)的變化對(duì)磨削接觸區(qū)域的溫度場(chǎng)有較大的影響。在本仿真計(jì)算的磨削條件下，隨著葉序系數(shù)的增大，磨削表面溫度趨于下降，表層相對(duì)底層的溫度梯度也降低。

［1］任敬心，華定安.磨削原理［M］.西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，1988.

［2］Aurich J C，Braun O，Wamecke G.Development of a superabrasive grinding wheel with defined grain structure using kinematic simulation ［J］.Annals of the CIRP，2003，52（1）：275-280.

［3］Aurich J C， Herzenstiel P，Sudermann H，et al.High-performance dry grinding using agrinding wheel with a defined grain pattern［J］.Annals of the CIRP，2008，57（1）：357-362.

［4］Koshy P，Iwasaki A，Elbestawi M.Surface generation with engineered diamond wheels：insights from simulation［J］.Annals of the CIRP，2003，52（1）：271-274.

［5］柴中林，王蘭州.葉序角的最優(yōu)性分析［J］.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005，20（1）：71-76.

［6］Prusinkiewicz P，Lindenmayer A，Hanan J S，et al.The algorithmic beauty of plants［M］.New York：Springer-Verlag，1990.