高紅艷

（寶雞文理學(xué)院物理與信息技術(shù)系，陜西 寶雞 721016）

基于靜態(tài)傳感器位置誤差的TDOA源定位

高紅艷

（寶雞文理學(xué)院物理與信息技術(shù)系，陜西 寶雞 721016）

從目前靜態(tài)傳感器的隨機(jī)誤差角度研究了使用到達(dá)的時(shí)間差異來進(jìn)行的源定位。開發(fā)一個(gè)約束加權(quán)最小二乘源定位方法，它合并源位置和輔助變量之間的關(guān)系作為一種約束。CWLS源定位被表達(dá)成一個(gè)無限的二次約束優(yōu)化問題，這是一個(gè)非凸問題。通過使用隱藏凸性的原始優(yōu)化問題，能有效地獲得目標(biāo)優(yōu)化源定位估計(jì)。模擬證明有良好的性能。

源定位；到達(dá)的時(shí)間差異；加權(quán)最小二乘法；非凸問題；約束加權(quán)最小二乘法

0 引 言

源定位在信號(hào)處理領(lǐng)域受到廣泛的關(guān)注，因?yàn)槠湓谀繕?biāo)跟蹤、無線通信和傳感器網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域有重要應(yīng)用［1－2］。在這篇文章中，我們通過被動(dòng)的靜態(tài)傳感器網(wǎng)絡(luò)來考慮源定位?，F(xiàn)在有很多基于源定位的TDOA方法，基于Taylor系列線性擴(kuò)張的非線性最小二乘法［3］，它是通過迭代方式獲取的，還有封閉解，它使得TDOA非線性方程變成線性方程，加入一個(gè)依賴源定位的輔助變量。這種重組的想法是最初在文獻(xiàn)［4］中提出，在文獻(xiàn)［5－7］中改進(jìn)，用未知源位置和輔助變量之間的關(guān)系來更好的取得定位。

然而，上述方法都是基于傳感器位置精確確定的假設(shè)。在實(shí)際中，傳感器位置不可能精確地確定，這種現(xiàn)象已經(jīng)成為研究定位問題的障礙了［8－10］。文獻(xiàn)［8］詳細(xì)闡述了甚至一個(gè)很小的傳感器位置誤差都會(huì)引起很大的源定位誤差。在這篇論文中，我們考慮源定位和輔助變量之間的關(guān)系在加權(quán)最小二乘法優(yōu)化問題中作為二階等式約束，以此在目前的隨機(jī)傳感器位置誤差源定位中提高精度。然而在合適的同時(shí)對角化的假設(shè)下，由于隱藏的凸性這個(gè)優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)凸極小化問題。我們驗(yàn)證了當(dāng)傳感器數(shù)量5以上時(shí)同步對角化的假設(shè)的效果很好。在實(shí)際的3維空間源定位中至少要4個(gè)傳感器，所以上述條件很容易滿足。文章剩下的部分安排如下，第一部分制定了定位問題，介紹了一些符號(hào)和標(biāo)志的使用。第二部分介紹了中心限制的加權(quán)最小二乘法源定位。第三部分包含一些仿真結(jié)果來支持我們的理論研究。第四部分是結(jié)論。

1 問題的定義

在一個(gè)被動(dòng)傳感器網(wǎng)絡(luò)中一個(gè)未知位置的源u＝［x，y，z］′，n個(gè)傳感器的位置為，i＝1，2…n，它們從源位置抓取信號(hào)。然而真實(shí)的傳感器位置s0i是未知的，都是含有噪聲的si＝［xi，yi，zi］，在這：

Δsi是si的位置誤差，收集的傳感器位置為s＝s0＋Δs，此處s＝［s′1，s′2，…，s′n］，相應(yīng)的誤差矢量Δs＝［Δs′1，Δs′2，…，Δs′n］，它被假設(shè)成0均值高斯協(xié)方差Qs，假設(shè)視距信號(hào)傳播，TDOA在相關(guān)傳感器接收到的信號(hào)希望是可用的。讓第一個(gè)傳感器相關(guān)，TDOA的測量模型被給出如下：

ti1是傳感器i和1之間的TDOA估計(jì)，t0i1是真實(shí)的TDOA，Δt是零均值高斯噪聲協(xié)方差Qt。TDOA的測量值可以很容易地轉(zhuǎn)換為差異到達(dá)的范圍（RDOA）測量值，模型如下：

從源到真實(shí)位置之間的距離和可用的i傳感器位置定義如下：

收集的ri1形成一個(gè)（n－1）×1測量值向量如下：r＝［r21，r31，…，rn1］，在這篇文章中TDOA和RDOA可以交互使用。

傳感器位置噪聲Δs假定和TDOA的噪聲Δt彼此是獨(dú)立的，對于一個(gè)靜態(tài)傳感器網(wǎng)絡(luò)，給出了TDOA測量值噪聲r(shí)和傳感器位置噪聲s，本文所提的方法會(huì)使得源定位u盡可能的精確。

2 約束加權(quán)最小二乘法源定位

在這里我們研究一種中心約束加權(quán)最小二乘源定位方法。通過弛豫過程利用u和r1之間暗含的關(guān)系，比較加權(quán)最小二乘法封閉源定位方法的兩個(gè)階段［5，8－9］。該方法通過合并u和輔助變量的關(guān)系作為一個(gè)二階等式約束來處理加權(quán)最小二乘法的估計(jì)。不用考慮傳感器位置的不確定性和加權(quán)矩陣的優(yōu)化，需要找出一個(gè)6階多項(xiàng)式根。我們將通過凸優(yōu)化有效解決約束最小二乘法的估計(jì)。

公式（5）是關(guān)于u和r0i的線性方程，確切的說r0i是未知源和傳感器1之間的真實(shí)距離，它不依賴s01，這樣我們就可以在噪聲傳感器位置S1使用Taylor擴(kuò)展把r01擴(kuò)展成一個(gè)線性誤差項(xiàng)r01＝，公式（5）被重新寫成：

方程誤差矢量ε被寫成：

這里二階誤差可以被忽略，?表示兩個(gè)元素乘法運(yùn)算，矩陣B給出：

矩陣D給出如下：

ε1是高斯噪聲Δt和Δs的線性結(jié)合的近似，用已知的協(xié)方差矩陣Qs和Qt，Δt和Δs是獨(dú)立的。在未知的u和r1之間有額外的邊信息，它們能被利用改進(jìn)未知源定位的精確性。所以所有的有用信息對于源定位問題都可以形成以下優(yōu)化問題：

此處C＝diag（［1，1，1，－1］），~s1＝［X1，Y1，Z1，0］′，權(quán)重矩陣：

在加權(quán)最小二乘法估計(jì)量中增加u和r1之間的關(guān)系，這種方法叫做CWLS源定位。

在實(shí)踐中注意計(jì)算加權(quán)矩陣W時(shí)需要真實(shí)的源定位。在文獻(xiàn)［8－9］中方法是類似的，我們設(shè)置W＝（c2Qt）－1，使用加權(quán)最小二乘法（WLS），這種方法忽略了公式（11）中的約束，獲得一個(gè)初始的估計(jì)u。u用來產(chǎn)生一個(gè)改進(jìn)的加權(quán)矩陣W。我們通過1到3次迭代重復(fù)上述過程獲得滿意的W。另外，我們大量的仿真結(jié)果顯示用這種方式源定位的精確性和加權(quán)矩陣的近似相對不敏感，性能的退化不明顯。CRLB為所有無偏差估計(jì)量誤差協(xié)方差矩陣建立一個(gè)下限。我們可以從（FIM）Fisher信息的逆矩陣計(jì)算CRLB。在下面的仿真中我們將使用CRLB作為評(píng)估量的一個(gè)性能指標(biāo)。

3 數(shù)值仿真

這部分包含CWLS源定位的仿真結(jié)果，以及和CWLS源定位方法、封閉源WLS方法［9］的比對。仿真場景包含8個(gè)傳感器，他們的標(biāo)稱位置在表1中給出。在生成的仿真結(jié)果中，TDOA測量通過添加高斯噪聲協(xié)方差c2Qt給真實(shí)值，σt＝，T是一個(gè)（n－1）×（n－1）矩陣，對角線是1，其他是0．5。在不同位置和不同接收器的傳感器位置噪聲假設(shè)是高斯獨(dú)立的噪聲，用表示。σs＝I，I是給3n×3n的單位矩陣。TDOA噪聲和傳感器位置噪聲是獨(dú)立的。我們設(shè)置σt＝0．1p微秒，m，p從0．1到5

表1 傳感器的標(biāo)稱位置（單位m）

我們考慮一個(gè)近場未知源定位［2 000，1 000，0］’m，一個(gè)遠(yuǎn)場源定位［20 000，50 000，0］’m。CWLS傳感器算法的實(shí)現(xiàn)遵循第Ⅲ部分。為了在第二步中得到精確地加權(quán)矩陣W，我們應(yīng)用備注1中迭代三次。第四步的優(yōu)化問題可以用MATLAB的CVX工具箱解決。文獻(xiàn)［9］的封閉WLS方法仿真結(jié)果被產(chǎn)生用以比對。定位的精確性用用平均范圍誤差（ARE）和標(biāo)準(zhǔn)偏差（SD）來評(píng)價(jià)，定義如下：ARE（u）＝整體運(yùn)行的數(shù)量。

在近場源［2 000，1 000，0］’m處，圖1顯示了CWLS方法（用表示未知源位置估計(jì)在l出，L＝1 000是叉表示）和封閉WLS方法（用菱形表示）的定位精確性比較。圖1證明了在近場源p＜＝3，兩種方法都能到達(dá)CR下界精確性。當(dāng)p＝0．1時(shí)CWLS的ARE和SD都比WLS的要高，這主要是因?yàn)橥箚栴}的數(shù)值仿真問題當(dāng)噪聲很小時(shí)。當(dāng)3＜p＜4時(shí)，CWLS的性能和WLS是可比的。然而當(dāng)TDOA的噪聲和傳感器的噪聲增加到p＞4時(shí)，CWLS方法取得了很明顯的效果比WLS方法。

在遠(yuǎn)場［20 000，50 000，0］’m處，圖2顯示源定位的精確性在遠(yuǎn)場中不如近場中好。CWLS方法的性能和WLS方法是可比較的。和理論期望的一樣，在閾值效應(yīng)發(fā)生之前，理論（均方誤差曲線）MSE曲線和CRLB是重疊的。閾值效應(yīng)就是意味著從CRLB而來的源定位精確性突然誤差會(huì)隨著噪聲的增加而改變。這是源定位問題非線性影響的一個(gè)結(jié)果。

圖1 近場未知源處，CW LS和封閉源W LS方法的定位精確性比較；左圖是當(dāng)σt＝0．1p，σs＝時(shí)，定位的平均誤差范圍；右圖是對應(yīng)的CRLB根和標(biāo)準(zhǔn)偏差SD。

圖2 遠(yuǎn)場未知源處，CW LS和封閉源W LS方法的定位精確性比較；左圖是當(dāng)σt＝0．1p，σs＝時(shí)，定位的平均誤差范圍；右圖是對應(yīng)的CRLB根和標(biāo)準(zhǔn)偏差SD

4 結(jié)束語

這篇文章在靜態(tài)傳感器網(wǎng)絡(luò)中用隨機(jī)傳感器位置誤差TDOA的測量方法來進(jìn)行源定位。CWLS源定位方法是在引入一個(gè)輔助變量的情況下，把非線性TDOA方程重新排列成一個(gè)線性方程。我們直接合并未知源和輔助變量之間的關(guān)系來約束WLS的策略。非凸二次約束二次規(guī)劃（QCQP）問題就是通過隱藏凸性來轉(zhuǎn)化成一個(gè)凸問題。當(dāng)TDOA噪聲級(jí)別和傳感器位置噪聲級(jí)別很低時(shí)，數(shù)據(jù)的仿真結(jié)果就可以判斷CWLS源定位能到達(dá)一個(gè)很精確的CRLB。在遠(yuǎn)場中CWLS方法可以和WLS方法比較，但是在近場中高噪聲下，CWLS方法能顯著改進(jìn)源定位的精確性。

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Source Localization through TDOA Based on Static Sensor Position Error

GAO Hong-yan
（Department of Physics and Information Technology，Baoji University of Arts＆Science，Baoji Shaanxi721016，China）

This paper presents a study on source localization using time difference of arrival（TDOA）measurement from static sensors in the presence of random errors in sensor positions．We develop a CWLS（constrained weighted least squares）source localizationmethod，which incorporates the relationship between the source position and an auxiliary variable as a constraint．The CWLS source localization is formulated as an indefinite constrained quadratic optimization problem-a non-convex problem．By employing the hidden convexity of the original optimization problem，the global optimal source location estimate can be efficiently obtained．Simulations prove the good performance of the proposed method．

source localization；time difference of arrival；weighted least squares；non－convex issue；constrained weighted least squares

10．3969／j·issn．1000－3886．2014．04．035

TP312

A

1000－3886（2014）04－0103－03

高紅艷（1981－），女，陜西榆林人，碩士，講師，從事信息融合數(shù)據(jù)信號(hào)處理技術(shù)研究。

定稿日期：2013－11－28

寶雞文理學(xué)院科研項(xiàng)目（ZK13093）