黃旭超，林榮文

（福州大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院，福建福州350108）

基于SRMA-UKF的永磁同步電機無傳感器系統(tǒng)設(shè)計

黃旭超，林榮文

（福州大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院，福建福州350108）

為了解決傳統(tǒng)UKF在永磁同步電機無傳感器系統(tǒng)中存在的魯棒性差、由于舍入誤差導(dǎo)致的協(xié)方差矩陣發(fā)散的問題，提出了帶遺忘因子的平方根UKF算法，在濾波過程中采用平方根矩陣代替協(xié)方差矩陣進入迭代運算，有效的克服了系統(tǒng)的發(fā)散問題，并且通過引入了遺忘因子的概念，將原有濾波器改造成強跟蹤濾波器，從而提高了系統(tǒng)的魯棒性。從MATLAB／Simulink仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，與UKF、SR-UKF相比，對于突變狀態(tài)的跟蹤能力，SRMA-UKF有較大的提高，轉(zhuǎn)子速度以及轉(zhuǎn)子位置跟蹤更精確，誤差更小，魯棒性得到提高。

永磁同步電機；SRMA-UKF；強跟蹤濾波器；魯棒性；MATLAB／Simulink

0 引 言

近年來，無跡卡爾曼濾波器作為非線性速度和位置估計器應(yīng)用在永磁同步電機無傳感器系統(tǒng)已經(jīng)取得了很多成果，得到了相當(dāng)?shù)陌l(fā)展，但是這種控制系統(tǒng)始終存在著兩個問題，那就是：在數(shù)值計算上往往存在舍入誤差的問題，有時會得到負定的協(xié)方差矩陣，從而導(dǎo)致濾波器發(fā)散，影響濾波算法的收斂速度和穩(wěn)定性；其次，在提高系統(tǒng)魯棒性上沒有太多的改善。針對第一個問題，可以通過平方根UKF（SR-UKF）［1］解決，將誤差協(xié)方差矩陣“開根號”后帶入卡爾曼迭代過程，從而保證了協(xié)方差矩陣的正定性問題，防止濾波器發(fā)散；另外，在系統(tǒng)中加入遺忘因子，將濾波器改造成強跟蹤濾波器，改善系統(tǒng)對于模型不確定性和突變狀態(tài)的跟蹤性能，提升系統(tǒng)魯棒性。本文構(gòu)建了永磁同步電機無傳感器控制系統(tǒng)，采用帶遺忘因子的平方根UKF（SRMA-UKF）［2］進行永磁同步電機轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速估計，并通過數(shù)字仿真，證明其有效性。

1 SRMA-UKF濾波算法

1．1 UKF算法

UKF算法是Kalman濾波的推廣，它具有Kalman濾波的遞推結(jié)構(gòu)，是UT（無跡）變換和Kalman濾波的結(jié)合，考慮一大類非線性系統(tǒng)：式中xk是k時刻系統(tǒng)n維狀態(tài)變量，wk為加性高斯過程噪聲，vk是加性高斯量測噪聲，wk、vk線性無關(guān)，過程噪聲協(xié)方差矩陣定義為Q，量測噪聲協(xié)方差矩陣定義為R。

初始化：

對初始值進行Sigma點采樣，得到Sigma點集：

λ＝α2（n＋κ－n）為一個比例常數(shù)，α決定采樣點在＾附近的擴展，一般取一個較小的數(shù)，本文選取0．01，κ是一個比例常數(shù)，在高斯分布中一般取，β根據(jù)x的先驗分布設(shè)置，如果x服從高斯分布，則β取2。

狀態(tài)預(yù)測：

其中Xi，k｜k－1為Xk｜k－1的第i列向量。

狀態(tài)預(yù)測協(xié)方差矩陣：

量測預(yù)測更新：

其中Yi，k｜k－1為Yk｜k－1的第i列向量。量測殘差協(xié)方差矩陣：

狀態(tài)量測互協(xié)方差矩陣：

濾波增益：

狀態(tài)更新：

狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣更新：

1．2 SR-UKF算法

在卡爾曼濾波中，隨著濾波計算的逐漸深入，舍入誤差會造成濾波誤差協(xié)方差矩陣P和預(yù)測誤差協(xié)方差矩陣Pk｜k－1失去非負定性和對稱性，進而使濾波增益矩陣計算失真而造成濾波器發(fā)散，如果將濾波過程中的誤差協(xié)方差矩陣P和預(yù)測協(xié)方差矩陣Pk｜k－1分別開根號，并在濾波遞推過程中以其根植的遞推關(guān)系代替p和pk｜k－1的遞推關(guān)系，則可以保證在任何時刻誤差協(xié)方差和預(yù)測協(xié)方差都是正定的。SR-UKF算法是在常規(guī)UKF算法的基礎(chǔ)上進行的，SR-UKF采用協(xié)方差平方根進行遞歸運算，矩陣的平方根分QR分解和Cholesky因子更新兩步［3］：

這時的Kalman增益改寫為：

最后再用一個兩階的Cholupdate更新狀態(tài)協(xié)方差的平方根：

1．3 強跟蹤濾波器

若一個濾波器具有如下優(yōu)良特性：1．極強的關(guān)于突變狀態(tài)的跟蹤能力。甚至在系統(tǒng)達到平穩(wěn)狀態(tài)時，仍保持對緩變狀態(tài)與突變狀態(tài)的跟蹤能力。2．較強的關(guān)于模型不確定性的魯棒性。3．適中的計算復(fù)雜性。則稱其為強跟蹤濾波器（STF）［4］。使一個濾波器成為強跟蹤濾波器的充分條件是滿足正交性原理，即選擇一個時變的增益矩陣，滿足以下的正交性條件：

式中γk為殘差序列，。

文獻［5］給出了UKF滿足強跟蹤濾波時增益矩陣Kk的選取辦法：

引入遺忘因子λk，則Kk可表示為：

對上式求跡，得：

整理得到：

式中Ck的實際值，0≤ρ≤0．95為遺忘因子，遺忘因子對收斂性影響不大，一般取ρ＝0．95。

2 永磁同步電機的數(shù)學(xué)模型

永磁同步電機無傳感器控制的原理圖（見圖1），系統(tǒng)主要分為：逆變器模塊、轉(zhuǎn)子位置與速度估計模塊、坐標變換模塊、電流調(diào)節(jié)器和永磁同步電機，五大部分。

圖1 永磁同步電機無傳感器控制的原理圖

永磁同步電機在αβ坐標系下的方程為：

其中p為微分算子，Ls為電感，Rs為定子電阻，Ψf為轉(zhuǎn)子磁鏈，上式變換后得到：

選取狀態(tài)變量、輸入變量、輸出變量：

離散化后得到系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：

其中Qxx為過程噪聲矩陣對角線上的對應(yīng)元素，同理，可以得到離散化后系統(tǒng)的量測方程：

其中Rxx為量測噪聲矩陣對角線上的對應(yīng)元素。

3 仿真結(jié)果

使用MATLAB7．8對系統(tǒng)進行仿真，設(shè)定系統(tǒng)仿真時間0．1 s。所使用的電機模型參數(shù)為：轉(zhuǎn)動慣量J＝0．8×10－3kg·m2，極對數(shù)NP＝4，定子電阻2．875Ω，定子直軸和交軸電感Ls＝8．5 mH，轉(zhuǎn)子磁鏈ψf＝0．175Wb。系統(tǒng)仿真中解算器使用ode23t，給定速度范圍0～3 000 r／min。轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速估計模塊采用S函數(shù)實現(xiàn)［6］。

SRMA-UKF采樣周期為1×10－4s，由于MATLAB7．8中轉(zhuǎn)角定義為轉(zhuǎn)子q軸和α軸間的夾角，而本文中的坐標變換中，轉(zhuǎn)角定義為轉(zhuǎn)子d軸和α軸間的夾角，相差0．5π，在仿真模型中需要加上1．5π，所以初始狀態(tài)為［0，0，0，1．5π］，估計誤差協(xié)方差矩陣初始值P0＝diag（0．04，0．04，5870，28），過程噪聲協(xié)方差矩陣和量測噪聲協(xié)方差矩陣分別為Q＝diag（1×10－4，1×10－4，1× 10－2，1×10－3），R＝diag（0．01，0．01）

電機空載波形如圖2所示，比較UKF、SR-UKF、SRMA-UKF波形可以發(fā)現(xiàn)，如理論分析一樣，SRMA-UKF最快進入穩(wěn)態(tài)，魯棒性較之SR-UKF有顯著的增加，在系統(tǒng)趨于穩(wěn)態(tài)后，遺忘因子也趨于1，系統(tǒng)退化為普通的SR-UKF，三種估計算法在穩(wěn)態(tài)精度上相近，區(qū)別在于動態(tài)過程的跟蹤精度上，圖3表示了ω＝450 r／min，空載情況下，轉(zhuǎn)子位置角誤差曲線，可以看到，在動態(tài)過程中，SRMA-UKF的轉(zhuǎn)子位置誤差是最小的。

圖2 ω＝450 r／min時，轉(zhuǎn)子速度曲線

下圖顯示了在0．08 s時負載由3 N·m突變?yōu)? N·m負載增加情況下估計器的運行狀況，可以看出，SRMA-UKF在轉(zhuǎn)速估

圖3 ω＝450 r／min時，轉(zhuǎn)子位置誤差曲線

計和轉(zhuǎn)角位置誤差上依然比較優(yōu)秀。

圖4 負載增加時轉(zhuǎn)子速度曲線

圖5 負載增加時轉(zhuǎn)子位置誤差曲線

4 結(jié)束語

本文提出了基于SRMA-UKF的永磁同步電機無傳感器控制系統(tǒng)。通過引入遺忘因子和對協(xié)方差矩陣開根號，從而提高了系統(tǒng)的魯棒性并且保證了協(xié)方差矩陣的正定性，有效的避免了濾波器的發(fā)散。從以上分析可以得出：SRMA-UKF如理論估計的一樣，在魯棒性上較之SR-UKF、UKF有了提升，在計算量上，僅僅增加了矩陣求跡這一過程，并未有太大的增加。因此是一種較為優(yōu)秀的轉(zhuǎn)速、位置估計算法。

［1］曲智勇，姚郁，韓俊偉．基于改進型平方根UKF算法的永磁同步電機狀態(tài)估計［J］．電機與控制學(xué)報，2009，13（3）：452－457．

［2］許迅雷．基于方根分解形式的帶衰減因子UKF算法應(yīng)用［J］．?dāng)?shù)學(xué)的實踐與認識，2012，42（8）：97－101．

［3］劉勝，張紅梅．最優(yōu)估計理論［M］．北京：科學(xué)出版社，2011：100－102．

［4］齊立峰，陶建鋒，馮新喜，等．一種改進的UKF非線性濾波器研究［J］．彈箭與制導(dǎo)學(xué)報，2011，32（2）：179－181＋188．

［5］許波，朱熀秋，姬偉．基于改進UKF濾波的永磁同步電動機矢量控制［J］．微特電機，2012，40（1）：1－4．

［6］葛哲飛．精通MATLAB［M］．北京：電子工業(yè)出版社，2008．

SRMA-UKF-based Design of the Sensorless System for Permanent Magnet Synchronous Motors

HUANG Xu-chao，LIN Rong-wen
（College of Electric Engineering and Automation，F(xiàn)uzhou University，F(xiàn)uzhou Fujian 350108，China）

To overcome shortages of traditional UKF in the sensorless system of the permanentmagnet synchronousmotor（PMSM），such as poor robustness and covariance matrix divergence caused by rounding error，this paper presents an algorithm of square root unscented Kalman filter（UKF）with forgetting factor．In the filtering process，square rootmatrix，in place of covariance matrix，is used in iterative computation，thus overcoming the divergence problem of the system effectively．Furthermore，through introduction of the concept of forgetting factor，the original filter is changed into a strong tracking filter，so as to improve the robustness of the system．It can be seen from the result of MATLAB／Simulink that as compared with UKF and SR-UKF，SRMA-UKF has achieved much improvement ofmutation-tracking ability．The rotor speed and position tracking becomes more accurate with less error and better robustness．

permanentmagnet synchronousmotor（PMSM）；SRMA-UKF；strong tracking filter；robustness；MATLAB／Simulink

10．3969／j·issn．1000－3886．2014．04．002

TM921．2

A

1000－3886（2014）04－0004－03

黃旭超（1989－），男，福建人，在讀研究生，研究方向：新型電機設(shè)計與控制技術(shù)。 林榮文（1963－），男，福建人，教授，研究方向：新型電機理論與控制，電機電器電磁場理論。

定稿日期：2013－10－30