戰(zhàn)德軍，戴東凱，張忠華王省書，黃宗升

（1.中國(guó)衛(wèi)星海上測(cè)控部，江陰214431；2.國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 光電科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073）

單軸旋轉(zhuǎn)INS/GPS組合導(dǎo)航中重力垂線偏差引起的姿態(tài)誤差分析

戰(zhàn)德軍1，2，戴東凱2，張忠華1，王省書2，黃宗升2

（1.中國(guó)衛(wèi)星海上測(cè)控部，江陰214431；2.國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 光電科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073）

重力垂線偏差是高精度慣性導(dǎo)航中的一個(gè)主要誤差源。在INS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)中，由于GPS可以提供位置和速度修正信息，垂線偏差對(duì)組合導(dǎo)航系統(tǒng)精度的影響主要體現(xiàn)在姿態(tài)上。從慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的誤差方程出發(fā)，推導(dǎo)INS/GPS組合導(dǎo)航姿態(tài)估計(jì)誤差和陀螺零偏估計(jì)誤差的解析表達(dá)式，從理論上分析組合導(dǎo)航模式下垂線偏差對(duì)姿態(tài)誤差的影響。通過(guò)仿真驗(yàn)證理論分析的正確性。分析結(jié)果表明：東向姿態(tài)誤差角由北向垂線偏差決定，北向姿態(tài)誤差由東向垂線偏差決定；航向誤差受東向垂線偏差和北向垂線偏差的一階導(dǎo)數(shù)的共同影響，垂線偏差的劇烈變化將引起較大的航向誤差。

垂線偏差；組合導(dǎo)航；姿態(tài)；單軸旋轉(zhuǎn)

由于地球形狀的不規(guī)則、地形的起伏以及密度分布不均等因素，實(shí)際的重力場(chǎng)與正常重力模型之間存在差異稱為重力擾動(dòng)，其垂直分量稱為重力異常，水平分量體現(xiàn)為垂線偏差。重力擾動(dòng)誤差，特別是垂線偏差（deflection of the vertical，DOV）是慣性導(dǎo)航系統(tǒng)（INS）的一個(gè)重要的誤差源[1]。在中低精度導(dǎo)航應(yīng)用中，由于慣性器件自身的誤差相對(duì)較大，采用正常重力模型即可滿足需求。然而，高精度慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中，隨著慣性器件的精度不斷提高，重力擾動(dòng)誤差的影響逐漸突顯出來(lái)[2]，成為慣性導(dǎo)航中最主要的誤差因素。

在INS/GPS組合導(dǎo)航的模式下，由于GPS可以提供位置和速度修正信息，垂線偏差對(duì)組合導(dǎo)航系統(tǒng)的影響主要體現(xiàn)在姿態(tài)誤差上。垂線偏差一般為幾角秒，在一些地形變化劇烈的區(qū)域（如山脈、海島、海溝等）甚至大于 1′[3]，在沒(méi)有進(jìn)行精確補(bǔ)償?shù)那闆r下將引起較大的系統(tǒng)姿態(tài)誤差，這在高精度測(cè)繪、航天測(cè)控等[3-4]更為關(guān)注姿態(tài)測(cè)量精度的應(yīng)用中是尤其需要引起重視的。利用單軸旋轉(zhuǎn)式INS[5]與GPS組合導(dǎo)航可以顯著提高系統(tǒng)的可觀測(cè)度，減小甚至消除慣性器件零偏水平分量的影響，但對(duì)垂線偏差誤差則無(wú)法抑制和消除。

本文在慣性導(dǎo)航誤差模型的基礎(chǔ)上，從理論上分析垂線偏差對(duì)單軸旋轉(zhuǎn) INS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)的影響，推導(dǎo)了組合導(dǎo)航姿態(tài)誤差和陀螺零偏估計(jì)誤差的解析表達(dá)式，并通過(guò)仿真對(duì)理論分析的結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證。

1 單軸旋轉(zhuǎn)INS/GPS組合導(dǎo)航中垂線偏差引起的姿態(tài)誤差的理論分析

為了便于分析，本文假定慣性器件中只存在零偏誤差，只討論載體勻速運(yùn)動(dòng)的情況。在當(dāng)?shù)氐乩碜鴺?biāo)系n系下，慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的誤差方程[6]為式(1)～(4)。

式中：δV為速度誤差，nf為n系下的比力，Φ為姿態(tài)誤差角，是n系下等效加表零偏，是重力擾動(dòng)矢量，為地球自轉(zhuǎn)角速度，為n系相對(duì)于地球坐標(biāo)系 e的旋轉(zhuǎn)角速度，分別為和的誤差，是n系下等效陀螺零偏。

1.1 垂線偏差引起的水平姿態(tài)誤差分析

在組合導(dǎo)航模式下，速度誤差和位置誤差都是可以直接觀測(cè)的狀態(tài)量，因此可令：

此時(shí)，式(1)可化簡(jiǎn)為：

由于慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中天向速度通道與水平通道是解耦的[7]，這里只分析水平通道的速度誤差。將式(5)寫為分量的形式如下：

式中：下標(biāo)E、N、U分別表示東向、北向和天向分量。東向和北向的垂線偏差定義為 ：，。

由于載體沿水平方向勻速運(yùn)動(dòng)，fU=g，。在單軸旋轉(zhuǎn)式慣導(dǎo)系統(tǒng)中，加表零偏的水平分量▽E、▽N是可觀測(cè)的[8]，將式(6)(7)改寫為：

式(8)(9)左邊均為可觀測(cè)量，姿態(tài)誤差的估計(jì)值可寫為如下形式：

由式(12)(13)可知東向和北向姿態(tài)誤差角分別由北向和東向垂線偏差分量直接決定。

1.2 垂線偏差引起的航向姿態(tài)誤差分析

航向誤差和陀螺零偏估計(jì)誤差可通過(guò)式(2)求解。式(2)中為可觀測(cè)量，且數(shù)值較小，可以忽略其影響，將式(2)簡(jiǎn)化并寫為分量的形式如下：

以下將分別討論東向和北向垂線偏差對(duì)δUφ和δUε的影響。

1.2.1 只存在北向垂線偏差

該條件下有：

由式(18)可知Nφ為可觀測(cè)狀態(tài)。此外，在單軸旋轉(zhuǎn)式慣導(dǎo)系統(tǒng)中，陀螺零偏的水平分量Eε、Nε是可觀測(cè)的[8]，由式(10)(14)得：

將式(17)(21)代入(22)得：

1.2.2 只存在東向垂線偏差

在該條件下可得到水平姿態(tài)誤差為：

由式(16)得：

將式(24)(27)代入式(30)得：

2 數(shù)值仿真

本節(jié)將通過(guò)仿真對(duì)以上理論分析進(jìn)行驗(yàn)證。

2.1 仿真條件

1）設(shè)置載體的初始位置為北緯45°，東經(jīng)120°，高度為0 m，以14 kn的速度勻速沿東向航行，航行中保持高度和航向不變。單軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)采用兩位置、四次序調(diào)制方案，停止時(shí)間設(shè)為270 s。仿真的采樣頻率為20 Hz。

2）仿真中設(shè)定陀螺常值零偏為0.01(°)/h，為了便于分析常值零偏的估計(jì)誤差，假定陀螺角度隨機(jī)游走較小，將其設(shè)置為0.000 02 (°)/√h；加表的常值零偏為20 μg，噪聲為 1 μg/√s；GPS 的速度精度為 0.03 m/s，位置精度為2 m。

3） 在正常重力模型的基礎(chǔ)上加入東向和北向的垂線偏差，以下將分別討論不同垂線偏差條件下單軸旋轉(zhuǎn)INS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)的姿態(tài)誤差。

2.2 只存在北向垂線偏差的情況

由式(21)(23)可知，在只存在北向垂線偏差的情況下，航向估計(jì)誤差和天向陀螺的零偏估計(jì)誤差分別由決定。為驗(yàn)證該理論，設(shè)置航跡上的垂線偏差分布如下：設(shè)置航跡上的北向垂線偏差ξ的分布如圖1所示：在航行前4 h內(nèi)設(shè)置ξ=0，此后以0.0005 (″)/s的速率勻速增大，當(dāng)ξ增大到15″后保持8 h，此后以0.0005 (″)/s的速率勻速減小到1″。

圖1 航跡上北向垂線偏差的分布Fig.1 Distribution of DOV north component on the trace

仿真利用Kalman濾波實(shí)現(xiàn)INS/GPS的組合導(dǎo)航，組合導(dǎo)航選取為狀態(tài)量，不對(duì)北向垂線偏差ξ建模，選取GPS和INS輸出的速度之差作為觀測(cè)量。仿真得到的組合導(dǎo)航系統(tǒng)的姿態(tài)估計(jì)誤差如圖2所示：載體的北向姿態(tài)誤差為，東向姿態(tài)誤差很好地跟蹤ξ的變化。航向誤差在1～4 h內(nèi)接近0，隨著ξ的勻速增大迅速收斂到-10″；當(dāng)ξ繼續(xù)保持15″不變時(shí)，迅速減小到3″；此后ξ勻速減小，也隨之迅速地收斂到8″。該仿真的結(jié)果表明：主要受北向垂線偏差的一階導(dǎo)數(shù)的影響，與式(21)得出的結(jié)論是一致的。

圖2 INS/GPS組合導(dǎo)航的姿態(tài)測(cè)量誤差Fig.2 Attitude errors of INS/GPS integrated navigation

圖3 陀螺零偏估計(jì)結(jié)果Fig.3 Estimation result of gyro biases system

圖3為仿真得到的組合導(dǎo)航系統(tǒng)的陀螺零偏估計(jì)結(jié)果。仿真結(jié)果表明：當(dāng)慣導(dǎo)系統(tǒng)采用單軸旋轉(zhuǎn)調(diào)制時(shí)，東向和北向陀螺零偏估計(jì)精度較高，但天向陀螺的零偏誤差受ξ的影響較大，在4 h處仿真得到的誤差迅速增大到約為6e-4 (°)/h，在該時(shí)刻北向垂線偏差變化率˙由0突變到0.0005 (″)/s?？紤]采樣時(shí)間為 20 Hz 該時(shí)刻˙=0.01 (″)/s2，由式(23)可計(jì)算得到。該理論計(jì)算的結(jié)果與仿真結(jié)果一致項(xiàng)為小量，影響較小。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證北向垂線偏差對(duì)航向誤差的影響，本文仿真了不同北向垂線偏差變化速率下航向誤差角的響應(yīng)情況，設(shè)置航跡上的垂線偏差分布在航行前4 h內(nèi)為ξ=0，此后分別以0.0002 (″)/s、0.0006 (″)/s、0.0010 (″)/s的速率勻速增大，仿真的結(jié)果如圖4所示。仿真結(jié)果表明，隨著北向垂線偏差變化速率的增大，航向誤差也隨之近似線性增長(zhǎng)，當(dāng)˙=0.0010 (″)/s時(shí)，在8 h時(shí)刻ξ≈12″，此時(shí)的航向誤差已大于20″，因此當(dāng)航跡上的北向垂線偏差變化較大時(shí)，將引起嚴(yán)重的航向姿態(tài)誤差。

圖4 北向垂線偏差變化率引起的航向誤差Fig.4 Yaw errors induced by derivation of north DOV

2.3 只存在東向垂線偏差的情況

設(shè)置航跡上的東向垂線偏差η分布如圖5所示：在航行前4 h內(nèi)設(shè)置η=0，此后以0.0003 (″)/s的速率勻速增大，當(dāng)η增大到15″后保持不變。組合導(dǎo)航采用的濾波算法與情況一相同。仿真得到的組合導(dǎo)航系統(tǒng)的姿態(tài)估計(jì)誤差如圖2所示：載體東向姿態(tài)誤差；北向失準(zhǔn)角很好地跟蹤η的變化，航向誤差的變化趨勢(shì)也基本與η一致，該結(jié)果與式(27)得出的結(jié)論相符，即在只存在東向垂線偏差時(shí)，直接由η決定的。

圖5 航跡上東向垂線偏差的分布Fig.5 Distribution of DOV east component on the trace

陀螺零偏的仿真估計(jì)結(jié)果如圖7所示：東向和北向陀螺零偏的估計(jì)誤差都較小，天向陀螺的零偏估計(jì)誤差受η的影響較大。當(dāng)，緩慢收斂到接近 0.0003 (°)/h（即 0.0003 (″)/s）；當(dāng)時(shí)，又緩慢地向0收斂，由于收斂速度較慢，這一現(xiàn)象并不明顯。由此可見：主要由η的一階導(dǎo)數(shù)η˙決定，該結(jié)論與利用式(31)直接計(jì)算的結(jié)果相吻合（為小量，影響較?。?/p>

圖6 INS/GPS組合導(dǎo)航的姿態(tài)測(cè)量誤差Fig.6 Attitude errors of INS/GPS integrated navigation

圖7 陀螺零偏估計(jì)結(jié)果Fig.7 Estimation result of gyro biases

3 結(jié) 論

本文從理論上分析了INS/GPS組合導(dǎo)航模式下垂線偏差對(duì)系統(tǒng)姿態(tài)精度的影響，給出姿態(tài)估計(jì)誤差的解析表達(dá)式，并通過(guò)仿真驗(yàn)證了理論的正確性。理論和仿真的結(jié)果表明：東向、北向姿態(tài)誤差分別直接由北向、東向垂線偏差決定；航向姿態(tài)誤差同時(shí)受由東向垂線偏差和北向垂線偏差變化率的影響，在某些地形復(fù)雜的區(qū)域，垂線偏差的變化較為劇烈，北向垂線偏差的快速變化將會(huì)引起很大的航向角誤差。

此外，本文還分析了垂線偏差對(duì)陀螺零偏估計(jì)誤差的影響，在GPS信號(hào)失鎖的情況下，由垂線偏差引起的陀螺零偏估計(jì)誤差將進(jìn)一步影響系統(tǒng)的自主導(dǎo)航精度。本文的分析表明：在采用高精度單軸旋轉(zhuǎn)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)和GPS組合導(dǎo)航的情況下，由垂線偏差引起的系統(tǒng)姿態(tài)誤差仍然無(wú)法得到抑制。因此在高精度INS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)中，垂線偏差的補(bǔ)償是影響系統(tǒng)的姿態(tài)測(cè)量精度關(guān)鍵因素。

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Analysis of gravity vertical deflection-induced attitude error in single-axis rotation INS/GPS integrated navigation system

ZHAN De-jun1，2，DAI Dong-kai2，ZHANG Zhong-hua1，WANG Xing-shu2，HUANG Zong-sheng2
(1.China Satellite Maritime Tracking and Controlling Department，Jiangyin 214431，China;2.School of Opto-Electronic Science and Engineering，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China)

Gravity deflection of the vertical(DOV) is one of the main error sources in high-precision inertial navigation.As the gravity-induced position error can be easily dumped in GPS/INS integrated navigation，the attitude estimation errors are more affected by DOV.In this paper，theoretical analysis of the gravity-induced GPS/INS navigation attitude errors is presented.The analytical results of attitude errors due to DOV are derived based on the inertial navigation error model，and the gyro bias estimation errors are analyzed accordingly.The numerical simulation results agree well with the theoretic analysis.The analysis results show that the east and north attitude errors are affected by north and east DOV respectively，while the yaw error is affected by east DOV and the first derivative of north DOV，meaning that the abrupt change of DOV may result in significant yaw error.

deflection of the vertical;integrated navigation;attitude;single-axis rotation

U666.1

A

1005-6734(2014)03-0301-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2014.03.005

2014-01-21；

2014-05-05

中國(guó)博士后科學(xué)基金（2012M512123）；自然科學(xué)基金（61275002）

戰(zhàn)德軍（1979—），男，講師，主要從事光電儀器與測(cè)控技術(shù)研究。Email：zdj4444@sina.com