楊承宇,王延庚,歷智明

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西 西安 710127)

關(guān)于超空間非自治動(dòng)力系統(tǒng)敏感依賴性的一些研究

楊承宇,王延庚,歷智明

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西 西安 710127)

旨在討論非自治動(dòng)力系統(tǒng)和其對(duì)應(yīng)超空間非自治動(dòng)力系統(tǒng)上的敏感依賴性.研究了非自治動(dòng)力系統(tǒng)敏感依賴性和其對(duì)應(yīng)超空間非自治動(dòng)力系統(tǒng)敏感依賴性之間的蘊(yùn)含關(guān)系.得到了一個(gè)使得(超空間)非自治動(dòng)力系統(tǒng)敏感依賴性在其任意次迭代系統(tǒng)上得以保持的充分條件.

非自治動(dòng)力系統(tǒng);超空間系統(tǒng);初值敏感依賴性;集態(tài)初值敏感依賴性

1 引言

探討自治動(dòng)力系統(tǒng)與其對(duì)應(yīng)超空間動(dòng)力系統(tǒng)之間關(guān)系,一直是動(dòng)力系統(tǒng)的一個(gè)研究熱點(diǎn).文獻(xiàn) [1]揭示了自治動(dòng)力系統(tǒng)拓?fù)淙趸旌虾统臻g動(dòng)力系統(tǒng)拓?fù)鋫鬟f是相互蘊(yùn)含的;文獻(xiàn)[2]闡述了自治動(dòng)力系統(tǒng)和其對(duì)應(yīng)超空間動(dòng)力系統(tǒng)拓?fù)潇刂g的關(guān)系,文獻(xiàn)[3]討論了自治動(dòng)力系統(tǒng)Devaney混沌和其對(duì)應(yīng)超空間動(dòng)力系統(tǒng)混沌之間的蘊(yùn)含關(guān)系,特別的,文獻(xiàn)[4]又指出,自治動(dòng)力系統(tǒng)的集態(tài)初值敏感和其對(duì)應(yīng)超空間動(dòng)力系統(tǒng)初值敏感是等價(jià)的.

但是,對(duì)于更一般的非自治動(dòng)力系統(tǒng),它與其對(duì)應(yīng)的超空間非自治動(dòng)力系統(tǒng)又會(huì)有哪些聯(lián)系呢？本文將從初值敏感依賴性這一方面著手,討論非自治動(dòng)力系統(tǒng)初值敏感依賴性和其對(duì)應(yīng)超空間非自治動(dòng)力系統(tǒng)初值敏感依賴性之間的蘊(yùn)含關(guān)系,并同時(shí)討論了其在各自任意次迭代子系統(tǒng)上得以保持的充分條件.

2 預(yù)備知識(shí)

定義 2.1[5]設(shè) (X,d)是一個(gè)度量空間,fi:X → X,i∈,為連續(xù)自映射.記序列=f1,∞.對(duì)于任意的x∈X,點(diǎn)x的軌跡由序列x,f1(x),(x),(x),···,(x)···表示,記作tra(x),其中,

并且對(duì)任意的fi∈f1,∞,當(dāng)n=0時(shí),=id.此時(shí)稱f1,∞為X上的一個(gè)非自治動(dòng)力系統(tǒng),記為(X,f1,∞),記tra(x)構(gòu)成的集合為orb(x),稱為(X,f1,∞)的軌道.

定義 2.2[6]設(shè)(X,f1,∞)是一個(gè)非自治動(dòng)力系統(tǒng),若存在δ>0,使得對(duì)于任意的x∈X和任意的ε>0,存在y∈X和正整數(shù)n,滿足d(x,y)<ε且d((x),(y))>δ.則稱(X,f1,∞)具有初值敏感依賴性.將滿足條件的δ稱作系統(tǒng)的初值敏感依賴常數(shù).

定義 2.3設(shè)(X,f1,∞)是一個(gè)非自治動(dòng)力系統(tǒng),若存在δ>0,使得對(duì)于X中任意有限個(gè)點(diǎn)x1,x2,x3,···,xn和任意的ε>0,存在X中的點(diǎn)y1,y2,y3,···,yn,和正整數(shù)k滿足下面兩個(gè)條件:

(1)d(xi,yi)<ε,i=1,2,3,···,n;

(2)存在1≤i0≤n,使得

成立,稱(X,f1,∞)具有集態(tài)初值敏感依賴性.滿足條件的δ為系統(tǒng)的集態(tài)初值敏感依賴常數(shù).這里給出的集態(tài)初值敏感依賴性的定義是將文獻(xiàn)[4]中的定義在非自治系統(tǒng)上的一個(gè)推廣.

設(shè) (X,f1,∞)是一個(gè)非自治動(dòng)力系統(tǒng),記 K(X)為 X 中所有非空緊子集構(gòu)成的集合,在K(X)上賦予Vietoris拓?fù)?則形如

的集合全體構(gòu)成了拓?fù)涞囊粋€(gè)基,其中Ui,i=1,2,···,n是X中非空開(kāi)集.

還可以定義K(X)上由d誘導(dǎo)的Hausdorf f度量dH如下:對(duì)于任意的A,B∈K(X),

同時(shí),也等價(jià)于

其中S(A,ε)={x∈X|d(x,A)<ε}是A在X中的ε鄰域,S(B,ε)是B在X中的ε鄰域.

由文獻(xiàn)[7]可知,K(X)上的Vietoris拓?fù)浜虷ausdor ff度量dH是相容的.

現(xiàn)在,可由X上的連續(xù)映射序列f1,∞誘導(dǎo)超空間K(X)上的映射序列如下:對(duì)于任意的A∈K(X),任意的.由文獻(xiàn)[8]知,每一個(gè)都是連續(xù)的,所以映射序列是連續(xù)的.因此,(K(X),dH,)構(gòu)成一個(gè)非自治動(dòng)力系統(tǒng),稱為(X,f1,∞)誘導(dǎo)的超空間非自治動(dòng)力系統(tǒng).

3 主要結(jié)果

設(shè)F(X)為X所有非空有限子集,顯然F(X)可以看作是K(X)的一個(gè)子空間,并且對(duì)于映射序列保持封閉性,連續(xù)性.所以是系統(tǒng)的一個(gè)子系統(tǒng).

定理 3.1超空間非自治系統(tǒng)具有初值敏感依賴性當(dāng)且僅當(dāng)其子系統(tǒng)具有初值敏感依賴性.

證明 充分性設(shè)δ>0是系統(tǒng)的一個(gè)初值敏感依賴常數(shù).對(duì)于任意的A∈K(X),任意的ε>0,若A∈F(X),則命題得證.下設(shè)A/∈F(X).

因?yàn)锳是X的緊子集,故存在B∈F(X)滿足dH(A,B)<,又因?yàn)榫哂谐踔得舾幸蕾囆?所以存在C∈F(X)且dH(C,B)<,滿足存在正整數(shù)n使得

并且

由三角不等式

所以存在D∈{B,C},滿足dH(A,D)<ε且存在n>0,使得

必要性同文獻(xiàn)[4]定理2.2.

定理 3.2設(shè)(X,f1,∞)是一個(gè)非自治動(dòng)力系統(tǒng).系統(tǒng)具有初值敏感依賴性當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)(X,f1,∞)具有集態(tài)初值敏感依賴性.

證明 必要性設(shè)δ>0是系統(tǒng)的一個(gè)初值敏感常數(shù).對(duì)X中任意有限的點(diǎn)x1,x2,···,xn.記A={x1,x2,···,xn}和任意的ε>0,不妨取

由 dH(A,B)<ε和ε選取可知,對(duì)于任意的y∈B,存在唯一的xi∈A滿足d(xi,y)<ε.記Bi={y∈B|d(xi,y)<ε},i=1,2,3,···,n,因?yàn)閐H(A,B)<ε,所以A?S(B,ε),因而對(duì)于任意的xi,存在y∈B,使得d(xi,y)<ε.所以Bi?.又由有

至少成立一個(gè).

若 (1)成立,則存在 y?∈Bi0滿足>δ,i=1,2,···,n.現(xiàn)在,對(duì) xi選取yi∈Bi,特殊地,對(duì)于xi0,選取yi0=y?構(gòu)成集合{y1,y2,···,yn}滿足d(xi,yi)<ε并且存在1≤i0≤n,滿足>δ,i=1,2,···,n.若(2)成立,同理存在1≤i0≤n滿足d(xi,yi)<ε并且>δ,i=1,2,···,n.因此,系統(tǒng)(X,f1,∞)具有集態(tài)初值敏感依賴性,并且δ>0就是它的一個(gè)集態(tài)初值敏感依賴常數(shù).

充分性設(shè)δ>0是系統(tǒng)(X,f1,∞)的一個(gè)集態(tài)初值敏感依賴常數(shù).對(duì)于任意的A∈F(X)和ε>0,設(shè)A={x1,x2,···,xn},由系統(tǒng)(X,f1,∞)集態(tài)初值敏感依賴性知,存在X上有限集{y1,y2,···,yn}和正整數(shù)k滿足:

(1)d(xi,yi)<ε,即dH(A,B)<ε;

(2)存在1≤i0≤n,使得

成立.即

所以,有

根據(jù)定義2.1,對(duì)于任意的fi∈f1,∞,任意的正整數(shù)n,記

設(shè)(X,f1,∞)是一個(gè)非自治動(dòng)力系統(tǒng),對(duì)任意的正整數(shù)k,記映射序列

引理 3.3[6]設(shè)(X,f1,∞)是緊度量空間X上的一個(gè)非自治動(dòng)力系統(tǒng),其中映射序列f1,∞一致收斂到映射f.對(duì)于任意的ε>0和正整數(shù)k,存在δ(ε)>0和正整數(shù)N(k),滿足對(duì)于任意的x,y∈X,d(x,y)<δ(ε)和任意的n≥N(k),

定理 3.4設(shè)(X,f1,∞)是緊度量空間X上的一個(gè)非自治動(dòng)力系統(tǒng),其中映射序列f1,∞一致收斂到映射f.若f1,∞具有集態(tài)初值敏感依賴性,則對(duì)于任意的正整數(shù)k,也具有集態(tài)初值敏感依賴性.

證明設(shè)δ>0是f1,∞的集態(tài)初值敏感常數(shù),任意取定k>1,根據(jù)引理3.3,對(duì)于2δ和k,存在對(duì)應(yīng)的εδ>0和正整數(shù)n0(不妨取n0>3k),滿足對(duì)于任意的x,y∈X,d(x,y)<εδ和任意的n≥n0,有

下證εδ是系統(tǒng)(X,)的集態(tài)初值敏感依賴常數(shù).

因?yàn)閄是緊度量空間,所以由映射序列的一致連續(xù)性,對(duì)于任意的00,滿足于任意的0

由于f1,∞是集態(tài)初值敏感依賴的,因而對(duì)于X中任意有限個(gè)點(diǎn)x1,x2,x3,···,xn和ε>0(不妨取ε<ε?),存在y1,y2,y3,···,yn∈X和m>0滿足:

(1)d(yi,xi)<ε,i=1,2,3,···,n,

(2)存存在1≤i0≤n,使得

由ε選取知,m>2n0>6k.故存在正整數(shù)p≥6使得

因?yàn)閙>2n0>6k,1≤q≤k?1所以pk+1>n0.

根據(jù)(*)式,因?yàn)閜k+1>n0,q

由x1,x2,x3,···,xn和ε任意性知,εδ是系統(tǒng)(X,)的一個(gè)集態(tài)初值敏感依賴常數(shù),即系統(tǒng)(X,)具有集態(tài)初值敏感依賴性.

最后,因?yàn)閗的任意性,命題得證.

定理 3.5設(shè)(X,f1,∞)是緊度量空間X上的一個(gè)非自治動(dòng)力系統(tǒng),其中映射序列f1,∞一致收斂到映射f.則以下條件等價(jià):

其中,k是任意正整數(shù).

證明(1)?(2)由定理3.4可得.(2)?(1)根據(jù)定義,可直接得到.(1)?(3),(2)?(4)由定理3.2可得.(3)?(5),(5)?(6)由定理3.1可得.

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Some results about sensitive on non-autonomous dynamical
system in hyperspace

Yang Chengyu,Wang Yangeng,Li Zhiming
(Department of Mathematics,Northwest University,Xi′an 710127,China)

In this paper we mainly talk about the non-autonomous dynamical system and its hyperspace system. We study the relation between non-autonomous dynamical system and its hyperspace system in the aspect of sensitive.If the system is sensitive,we also have a sufficient condition to ensure its iterative system is sensitive, too.

non-autonomous dynamical system,hyperspace system, sensitive dependence on initial conditions,collective sensitive

O189.11

A

1008-5513(2014)02-0201-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.02.012

2014-02-10.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11371292).

楊承宇(1989-),碩士生,研究方向：拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng).

2010 MSC:54A05