高英

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,重慶 400047)

非可微多目標(biāo)優(yōu)化問題的高階逆對偶定理

高英

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,重慶 400047)

在錐約束非可微多目標(biāo)優(yōu)化問題Mond-Weir型高階弱對偶定理的基礎(chǔ)上,利用Fritz-John型必要條件,在沒有任何約束品性條件下給出了逆對偶定理.最后,考慮了特殊情況,研究了單目標(biāo)情況下對偶問題的逆對偶定理.

非可微多目標(biāo)優(yōu)化,高階對偶,逆對偶定理

1 引言

設(shè)f:Rn→R和g:Rn→Rm二階可微,B是n×n半正定對稱矩陣.文獻(xiàn)[1]首次建立了如下非可微數(shù)學(xué)規(guī)劃問題的一階對偶模型,并證明了對偶定理.

文獻(xiàn)[2]首次提出非線性規(guī)劃問題的二階和高階對偶模型,并在一定條件下建立了對偶定理.文獻(xiàn)[3-4]在一階對偶模型的基礎(chǔ)上考慮了另一種二階和高階對偶模型,并在更簡單的條件下給出了對偶定理.隨后,諸多學(xué)者研究非線性規(guī)劃問題的二階和高階對偶問題,得到了豐碩的成果[5-17].文獻(xiàn)[5]考慮了問題(P)的一階和二階對偶模型,在一定廣義凸性條件下建立了弱對偶、強(qiáng)對偶和逆對偶定理.文獻(xiàn)[6]將文獻(xiàn)[5]中的結(jié)果推廣到高階對偶問題的研究,在高階廣義凸性條件下給出了對偶定理.文獻(xiàn)[7]研究了非可微多目標(biāo)優(yōu)化問題的Mangasarian型和Mond-Weir型對偶模型,在更廣的廣義凸性假設(shè)研究了對偶定理.最近,文獻(xiàn)[8]利用緊凸集的支撐函數(shù)代替問題(P)中的(xTBx)得到了更一般的非線性規(guī)劃模型,研究了其一階和二階對偶問題.

文獻(xiàn)[9]利用Fritz John型必要條件在沒有任何約束品性條件下建立了可微非線性規(guī)劃問題的逆對偶定理,并稱之為Huard型逆對偶定理.隨后,諸多學(xué)者在此基礎(chǔ)上研究了一階、二階和高階逆對偶定理[12-16].最近,文獻(xiàn)[10]考慮了非可微多目標(biāo)優(yōu)問題的統(tǒng)一高階對偶模型,建立了弱對偶、強(qiáng)對偶和嚴(yán)格逆對偶定理.文獻(xiàn)[11]研究了多目標(biāo)優(yōu)化問題的弱對偶和強(qiáng)對偶定理.但在文獻(xiàn)[10-11]中都沒有考慮到文獻(xiàn)[9]提出的逆對偶定理.針對該情況,本文利用Fritz John型必要條件,在沒有任何約束品性條件下建立一類非可微多目標(biāo)優(yōu)化問題的逆對偶定理.

2 預(yù)備知識

設(shè)Rn是n維歐式空間,是非負(fù)象限.對x,y∈Rn給出以下符號:

Φ(x)是定義在 Rn上的二階連續(xù)可微實(shí)值函數(shù),h(x,y)是定義在 Rn×Rm上的函數(shù),?xΦ()表示函數(shù)Φ在點(diǎn)的梯度向量,?xxΦ()表示在點(diǎn)的Hessian矩陣,?xh(,)表示函數(shù) h關(guān)于變量 x在點(diǎn) (,)處的梯度向量,?xxh(,)表示關(guān)于變量 x在點(diǎn) (,)處的Hessian矩陣.同理,還有以下符號:?yh(,),?xyh(,),?yyh(,).為簡便起見,?xΦ()記為?Φ().設(shè)C?Rn為緊凸集.集合C的支撐函數(shù)定義為:

支撐函數(shù)是凸函數(shù),故有次微分.即,存在z∈Rn,使得

從而s(x|C)的次微分為:

凸集D?Rn在點(diǎn)x∈D的法錐定義為:

若C是緊凸集,則y∈NC(x)當(dāng)且僅當(dāng)s(y|C)=xTy,或等價(jià)地x∈?s(y|C).

錐K?Rn的極錐定義為:

考慮如下多目標(biāo)優(yōu)化問題(簡稱MNP):

其中,f:Rn→Rl,g:Rn→Rm是二次可微函數(shù),Di是凸緊集,i=1,···,l,C?Rm是內(nèi)部非空的閉凸錐.

(MNP)的可行解集記為 S={x∈Rn:g(x)∈?C?}.

定義 2.1(i)可行解x0稱為問題(MNP)的弱有效解,若不存在x∈S,使得

(ii)可行解x0稱為問題(MNP)的有效解,若不存在x∈S,使得

3 Mond-Weir型高階對偶

本節(jié),考慮問題(MNP)的Mond-Weir型高階對偶模型(MND).

其中,e=(1,···,1)T∈Rl,h(x,y):Rn×Rn→Rl和k(x,y):Rn×Rn→Rm是二階連續(xù)可微的函數(shù),

注 3.1(i)若C=,則問題 (MND)退化為文獻(xiàn)[11]中的Mond-Weir型高階對偶模型.

且問題(MNP)和(MND)退化為文獻(xiàn)[12]中考慮的問題.

定理 3.1(逆對偶定理) 設(shè)是問題(MND)的弱有效解.假設(shè):

證明因是問題 (MND)的弱有效解,由 Fritz-John型必要條件可知,存在α∈Rl,β∈Rn,η∈C?,ξ∈Rl和θ∈R,使得

由假設(shè)(i)和(6)式,有

因此,(3)式和(4)式分別退化為:

由假設(shè) (ii)得 δ=0.由 (16)式,(4)式和 (5)式得 β=0,θ=0和 η=0. 從而有 (α,β,δ,ξ,η,θ)=0.這與(14)式矛盾.因此,α0.

下面證明 δ/=0.假設(shè)δ=0,則(16)式表明β=0.由(15)式得αi=0,i=1,···,l.因?yàn)棣?=0故=0.由假設(shè)(v)可知(17)式退化為:

因α/=0,這與假設(shè) (iii)矛盾.從而,δ/=0.

因δ>0,故以上兩個(gè)等式退化為:

這表明

4 特殊情況

本節(jié),考慮單目標(biāo)情形下的逆對偶定理.

問題(MNP)中取l=1.其對偶問題(MND)退化為問題:

定理 4.1(逆對偶定理)設(shè)是問題 (ND))的最優(yōu)解.假設(shè)

證明因是問題(ND)的最優(yōu)解,故由Fritz-John型必要條件存在α∈R, δ∈R,β∈Rn和η∈C?使得

[1]Mond B.A class of nondif f erentiable mathematical programming problems[J].J.Math.Anal.Appl., 1977,46:169-174.

[2]Mangasarian O L.Second and higher order duality in nonlinear programming[J].J.Math.Anal.Appl., 1975,51:607-620.

[3]Mond B,Weir T.Generalized convexity and higher-order duality[J].J.Math.Sci.,1981/1983,16/18:74-94.

[4]Mond B,Zhang J.Higher Order Invexity and Duality in Mathematical Programming[C]//Generalized Convexity,Generalized Monotonicity:Recent Results.Kluwer:Dordrecht,1998.

[5]Zhang J,Mond B.Duality for nondif f erentiable programming problem[J].Bull.Austral.Math.Soc., 1977,55:29-44.

[6]Mishra S K,Rueda N G.Higher-order generalized invexity and duality in nondif f erentiable mathematical programming[J].J.Math.Anal.Appl.,2002,272:496-506.

[7]Jayswal A,Kumar D,Kumar R.Second order duality for nondif f erentiable multiobjective programming problem involving(F,α,ρ,d)-V-type I functions[J].Optim.Lett.,2010,4:211-226.

[8]Yang X M,Yang X Q.On duality for a class of nondif f erentiable programming problems[J].Pacif i c J. Optim.,2008,4:113-124.

[9]Mangasarian O L.Nonlinear Programming[M].New York:McGraw Hill,1969.

[10]Ahmad I.Unif i ed higher-order duality in nondif f erentiable multiobjective programming involing cones[J]. Mathematical and Computer Modelling,2012,55:419-425.

[11]Mishra S K,Wang S Y,Lai K K.Higher-order dualty for a class of nondif f erentiable multiobjective programming problems involving generalized type I and related function[J].J.Syst.Sci.Complex,2011,24:883-891.

[12]Yang X M,Teo K L.A converse duality theorem on higher-order dual models in nondif f erentiable mathematical programming[J].Optim Lett.,2012,6:11-15.

[13]Yang X M,Yang X Q,Teo K L.Converse duality in nonlinear programming with cone constraints[J]. Europ.J.Oper.Res.,2006,170:350-354.

[14]Yang X M,Yang X Q,Teo K L.Huard type second-order converse duality for nonlinear programming[J]. Appl.Math.Lett.,2005,18:205-208.

[15]Yang X M,Zhang P.On second-order converse duality for a nondif f erentiable programming problem[J]. Bull.Austral.Math.Soc.,2005,72:265-270.

[16]Chandra S,Abha.A note on pseudo-invexity and duality in nonlinear programming[J].Europ.J.Oper. Res.,2000,122:161-165.

[17]高英.一類多目標(biāo)廣義分式規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件和對偶[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2011,27(4):477-485.

On higher-order converse duality for nondif f erentiable multiobjective programming problems

Gao Ying
(Department of Mathematics,Chongqing Normal University,Chongqing 400047,China)

In this paper,based on the weak duality theorems of Mond-Weir type higher-order dual for nondif f erentiable multiobjective problems with cone constraints,we derive converse duality theorems by using Fritz-John type necessary condition without any constraint qualif i cations.Finally,we consider the special case of the result, and establish converse duality theorem for single objective programming problem with con constraint.

nondif f erentiable multiobjective programming problems,higher-order dual models, converse duality theorems

O221.6

A

1008-5513(2014)02-0136-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.02.003

2013-09-08.

國家自然科學(xué)基金(11201511,11201379);重慶市科委重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室專項(xiàng)基金(CSTC,2011KLORSE03).

高英(1982-),博士,副教授,研究方向：最優(yōu)化.

2010 MSC:90C32,90C46,90C47