周其生

（安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽安慶 246133）

關(guān)于Furuichi猜想的注記

周其生

（安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽安慶 246133）

本文將Ando和Furuichi關(guān)于兩個(gè)半正定矩陣多重積的跡的一些不等式推廣到無窮維Hilbert空間，得到關(guān)于算子跡的若干不等式，作為其結(jié)果，得出Furuichi猜想在一定條件下對(duì)算子跡的肯定的回答。

矩陣；算子；跡；不等式；Hilbert空間；Furuichi猜想

文獻(xiàn)［1］介紹了BMV猜想的相關(guān)研究成果，并提出一個(gè)問題。若A，B是兩個(gè)同階半正定Hermite矩陣，記Wm，k（A，B）為長度是m，其中B出現(xiàn)k次的字（即由A，B按通常矩陣乘法組成的單項(xiàng)式（或稱多重積）），這樣的Wm，k（A，B）共有個(gè)。考慮這些字的跡Tr W（A，B）（不一定是m，k實(shí)數(shù)），我們的問題：是否有

成立？例如Tr（AB）6≤｜Tr（ABA2BA3B4）｜≤Tr（A6B6）成立嗎？

我們注意到，即使Tr Wm，k（A，B）是實(shí)數(shù)，一般不一定有Tr W2m，m（A，B）＞Tr（AB）m，并且可舉出一個(gè)3×3矩陣的反例。但（1）式是否成立，仍然是未知的。事實(shí)上，關(guān)于不等式

也曾受到廣泛關(guān)注。在1980年，著名控制論專家R.Bellman教授［2］曾提出（2）式的猜想，后有不少作者圍繞該猜想得到很多矩陣跡的不等式。但事實(shí)上比不等式（2）更一般的不等式早在1976年就已經(jīng)出現(xiàn)，后來被稱之為Lieb-Thirring不等式［3］，即設(shè)A，B≥0，q＞1，k＞0，則有

當(dāng)k=1，q=m時(shí)，由（3）式即可得到（2）式。

H.Araki［4］將Lieb-Thirring不等式推廣為

定理A（Araki-Lieb-Thirring）對(duì)A，B≥0，q≥0，0≤r≤1，下面不等式成立：

對(duì)r≥1，不等式反向。

關(guān)于不等式（1）的相關(guān)研究尚不多見，T.Ando在1994年［5］和2000年［6］討論了兩個(gè)半正定矩陣A，B的多重積，分別得到如下兩個(gè)結(jié)果：

定理B（文獻(xiàn)［5］定理4.1）對(duì)任意兩個(gè)同階半正定矩陣A，B，有

滿足0≤p1≤q1≤p1=q2≤q1+q2≤…≤q1+q2+…+qk-1≤p1+p2+…+pk≤q1+q2+…+qk，這里λ（T）表示T的特征值向量。

因?yàn)閄 log-受控于Y，即X?logY，蘊(yùn)含X?ωY［7-8］，因此有

推論1在定理的條件下，有

S.Furuichi等人也研究了兩個(gè)矩陣的多重積，并證明二階半正定矩陣的情形［9］：

定理D設(shè)正數(shù)p1，p2，…，pm滿足p1+p2+…+pm=1，T，A∈M+（2，C），則有

成立。他們提出如下猜想：

Furuichi猜想：若p1+p2+…+pm=1，T，A∈M+（n，C），下面不等式

后來，文［10］給出一個(gè)反例說明（i）是不對(duì)的，但如下不等式

是否成立仍然是未知的。

事實(shí)上，定理D中的正數(shù)pi（i=1，2，…，m）可以為非負(fù)實(shí)數(shù)。當(dāng)（6）式中qi為非負(fù)整數(shù)時(shí)，可簡化為（12）式的形式。因此，（12）式可看作（6）式的特殊形式，但對(duì)于2階矩陣，不需要pi，qi的限制條件。

本文的目的是將定理B和定理C中的（6），（9）兩式分別推廣到算子的情形。

本文用B（H）表示可分無窮維Hilbert空間H上的有界線性算子全體，Cp表示B（H）中Schatten p-類算子全體，特別地，C1為跡類算子全體所作成的理想，C+1表示全體正的跡類算子，對(duì)算子T∈C1，tr T表示它的跡。關(guān)于跡類算子的相關(guān)概念和基本性質(zhì)參見［11］。為簡便起見，這里討論的對(duì)象主要是跡類算子，不精細(xì)地討論Cp類。

當(dāng)A∈B（H）為緊算子時(shí)，記｛Sj（A）｝為A的奇異值不增序列。由文獻(xiàn)［11］知A∈C+1時(shí)，它總可以表示為這里λj（A）為A（包括重?cái)?shù)）的特征值，且λ1（A）≥λ2（A）≥…≥λn（A）≥…，ej為其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量。顯然當(dāng)A只有有限個(gè)非零特征值時(shí)，則?k使得λj（A）=0（i＞k）。

設(shè)A，B為正跡類算子，記

并記Mn=span｛ej；μj∶1≤j≤n｝，mn=dim Mn

利用定理2，在一定條件下猜想1的（ii）是成立的：

定理3設(shè)T，A∈C+1，非負(fù)實(shí)數(shù)r1，r2，…，rm滿足r1+r2+…+rm=m，0≤r1≤1≤r1+r2≤2≤r1+r2+r3≤3≤…≤r1+r2+…+rm≤m。則

利用以上定理，容易把上述推論2和推論3推廣到算子跡的情形。

［1］周其生.關(guān)于Bessis-Moussa-Villani猜想［J］.安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，19（3）：1-5.

［2］R.Bellman.Some inequalities for positive definitematrices［A］. In：E.F.Beckenbach（Ed.），General inequalities［C］//Proceedings of the2nd International Conference on General Inequalities，vol.2，Birkhauser，Basel，1980：89-90.

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［5］T.Ando and F.Hiai.Log majorization and complementary Golden-Thompson type inequalities［J］.Linear Algebra Appl.，1994，198：113-131.

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［11］R.Schatten.Norm ideals of completely continuous operators［M］.Springer-verlag，New York，1970.

［12］J.Weidmann.Linear operators in Hilbert space［M］.Springer-Verlag，New York，1980：170-172.

A Note about Furuichi Conjecture

ZHOU Qi-sheng
（School of Mathematics and Computation Science，Anqing Teachers College，Anqing 246133，China）

In this paper，we generalize some inequalities of the trace ofmultiple products about two positive semi-definitematrix by Ando and Furuichi to the infinite dimensional Hilbert space，and get some inequalities aboutoperator trace.Consequently，we partly give positive answer to Furuichi's conjecture in infinite dimensional Hilbert space.

matrix，operator，trace，inequality，Hilbert space，F(xiàn)uruichi conjecture

O177.1

A

1007-4260（2014）03-0001-03

時(shí)間：2014-9-15 16：07 網(wǎng)絡(luò)出版地址：http：//www.cnki.net/kcms/doi/10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2014.03.001.html

2014-03-12

周其生，男，安徽金寨人，安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院教授，主要從事算子理論研究。