陳士龍

（安徽大學(xué)藝術(shù)與傳媒學(xué)院，安徽合肥 230011）

關(guān)于單形穩(wěn)定性幾個(gè)不等式的推廣

陳士龍

（安徽大學(xué)藝術(shù)與傳媒學(xué)院，安徽合肥 230011）

本文研究了En中n維單形的穩(wěn)定性，在總結(jié)已有結(jié)論的基礎(chǔ)上，對(duì)單形的穩(wěn)定性進(jìn)行了推廣，同時(shí)也給出了單形幾何不等式的新的穩(wěn)定性版本，改進(jìn)了已有的結(jié)論。

n維歐氏空間En；穩(wěn)定性；單形；內(nèi)切球半徑；外接球半徑

設(shè)n維歐氏空間En中的n維單形Ωn的頂點(diǎn)集為｛A1，A2，…，An+1｝，它的棱長(zhǎng)為αij=｜AiAj｜（1≤i＜j≤n+1），有時(shí)也用表示單形的各個(gè)棱長(zhǎng)，V表示單形的體積，R和r分別表示n維單形Ωn的外接球半徑和內(nèi)切球半徑，F(xiàn)i（i=1，2，…，n+1）表示單形頂點(diǎn)Ai所對(duì)的側(cè)面（n-1維單形）的n-1維體積（面積）。點(diǎn)O是單形的外心，點(diǎn)I是單形的內(nèi)心，點(diǎn)G是單形的重心。以點(diǎn)I為球心，以r為半徑的內(nèi)切球與單形各側(cè)面的切點(diǎn)為頂點(diǎn)的單形Ω′n稱為單形的切點(diǎn)單形。

幾何不等式的穩(wěn)定性最早由Minkowski提出，也稱為穩(wěn)定性版本。文獻(xiàn)［1-5］對(duì)幾何不等式的穩(wěn)定性概念給出了準(zhǔn)確的描述，其具體定義是指在一些含有等號(hào)的幾何不等式中，當(dāng)其中的幾何體為某種特殊的幾何體或幾何體相似時(shí)取等號(hào)。假設(shè)某幾何體使得不等式與相等時(shí)相差很小，那么此幾何體與去等號(hào)的特殊幾何體的“偏差”也很小。比如在平面上凸體K的等周不等式

當(dāng)且僅當(dāng)凸體K為圓時(shí)取等號(hào)，其中P（K）與A（K）分別為凸體K的周長(zhǎng)與面積。

假設(shè)對(duì)ε＞0，如果

能否斷定存在圓B，使得在某種“偏差”度量g（K，B）下，有

這里f（ε）是滿足當(dāng)ε→0時(shí)，f（ε）→0的非負(fù)實(shí)函數(shù)。若存在某種“偏差”度量，使得當(dāng)（2）成立時(shí)必有式（3）成立，則稱式（1）是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。

［1］H.Minkowski.Volume und oberflache［J］.Math.Ann.，1903，57：447-495.

［2］Bonnesen.Probl emes des Isop im de Piphanes［M］.Paris：Gauthier-Villars，1929.

［3］P.R.Goodey，H.Groemer.Stability results for first order projection bodies［J］.Poc.Amer.Math.Soc.，1990，109：1103-1114.

［4］R.Gardner，J.，S.Vaddallo.Stability inequalities in the dual Brun-Minkowski theory［J］.J.Math.Anal.Appl.，1999，231：568-587.

［5］H.Grmer.Stability properties of geometric inequalities［J］.A-mer.Math，Monthly，1990，97：382-394.

［6］馬統(tǒng)一.Veljan-Korchmaros不等式的穩(wěn)定性［J］.數(shù)學(xué)年刊，2008，29A（3）：399-412.

［7］沈文選.單形論導(dǎo)引［M］.長(zhǎng)沙：湖南師范大學(xué)出版社，2000.

［8］S.G.Yang.An inequality for a simplex and its applications［J］. Geometriae Dedicata，1995，55：195-198.

［9］L.Gerber.The orthocentric simplex as an extreme simplex［J］. Pacific，J.Math.，1975，56（1）：97-111.

［10］陳士龍.En中兩個(gè)幾何不等式的改進(jìn)［J］.安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011，17（3）：4-7.

［11］楊世國(guó).關(guān)于內(nèi)接單形的一個(gè)幾何不等式［J］.數(shù)學(xué)雜志，2003，23（2）：218-220.

［12］匡繼昌.常用不等式［M］.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004：256-257.

［13］沈文選.單形論導(dǎo)引［M］.長(zhǎng)沙：湖南師范大學(xué)出版社，2000.

［14］M.S.Klamkin.The circumradius-inradius inequality for a simplex［J］.Math Magazine，1979，52（1）：20-22.

［15］沈文選.單形論導(dǎo)引［M］.長(zhǎng)沙：湖南師范大學(xué)出版社，2000.

［16］毛其吉，左銓如.切點(diǎn)單形的一個(gè)幾何不等式［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，1987（4）：71-75.

［17］Klamkin MS.Inequality for s simplex［J］.SIAM.Rev.，1985，27（4）：210-215.

［18］S.G.Yang.Extersions of Klamkin's theorem［J］.Northeastern Math.J.，1991，7（4）：424-427.

Stability of Some Geometric Inequalities for a Simplex

CHEN Shi-long
（School of Arts and Communication，Anhui University，Hefei230011，China）

Using the distance theory andmethod of geometry inequality to study the problem of stability，which is some geometric inequalities for an n-dimensional simplex in the Euclidean space.From the deviation regularmetric of two simplexes，we proved three importantgeometric inequalities for an n-dimensional simplex are all stable，gave the stability versions of these geometric inequalities for a simplex and improved three well-known results.

Euclidean space，stability，simplex，inradius，circum radius

O178

A

1007-4260（2014）03-0004-03

時(shí)間：2014-9-15 16：07 網(wǎng)絡(luò)出版地址：http：//www.cnki.net/kcms/doi/10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2014.03.002.html

2013-06-14

安徽省高校省級(jí)自然科學(xué)研究課題（KJ2013B043）資助。

陳士龍，男，安徽壽縣人，碩士，安徽大學(xué)藝術(shù)與傳媒學(xué)院講師，主要從事距離幾何與解析幾何的研究。